Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

220

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

4)	dy =			(arcsin \ r 2x)' dx — —= = L = X
								\| / l -	( ^ ) 2
у ____!____. 9		r f y = ________ ^
2 V 2 x					V T ^ 2 J c V 2 J c			У 2 x (1 — 2 x ) '
989.		1)		</ =	(1 — л:2)5;		2)	у = (ax2+ bf\		3)	y = (ax*+ l)2n.
990.		1)		г/= Ѵ Т ^ 2 ^ ;			2) у = 1 / ^ Т ;			3)	у = -7=!==.
991.		1) у — ln cos2х; 2) у = In -і=; 3) у = ln tg —.
								К	л:		X
992.		1) у —arccos х2;					2)	у —arctg У~2х;		3) у = arcctgy.
Найти дифференциалы второго порядка функций.
993.		1)		у —ln sin22 л:;			2)	у — е~х.
Ре ше ние .					Для нахождения				дифференциала второго
порядка		найдем вторую					производную от данной функции
и умножим ее на квадрат дифференциала аргумента!,
1)	У' —			■Іо	•2 sin 2хcos2л:• 2 = 4 C0So2x- = 4 ctg 2x\
'	u		sm2 2 x						sin 2л:		°
					У" — —4 ■		1		8
						sin2 2л:			sin2 2x 1
					d2y = y’ dx2 — — 8 dx!
									sin2 2л: '
2) у' —— егх\ у’ = е~х;								d2y = у' dx2 = е~х dx2. -
994.		1)		ÿ = l n c o s 2x;			2)	у — ln tg 2лг; 3)		у — ln У 1— х2.
995.		1)		y —etgx‘, 2)		у —а3х; 3)			у = е ^х.
996.		1)		у — arccos х;		2)		г/ = arctg л:2; 3)		«/= arcctgx:.

§54. Приложение дифференциала

кприближенным вычислениям

I. Абсолютная и относительная погрешности

При различного рода измерениях или приближенном вычислении какой-либо величины х мы допускаем не зави сящую от нас погрешность Ax(dx, так как Ax — dx).

Пусть X — приближенное значение аргумента (измеряе мой величины), Ах — абсолютная погрешность, допущенная при измерении х, а лг + Ал: будет истинным значением изме ряемой величины (Ал: может быть как положительным, так и отрицательным числом).

Тогда X определяет приближенное значение функции f(x), а х + Ах — истинное значение функции / (х+ Ах), откуда следует, что абсолютная погрешность функции равна:

\&y\ = \f (x + kx) — f (х)\.

При малых значениях Ах (близких к нулю) можно вели чину Ау приближенно заменить дифференциалом dy:

Аг/ = / (х + Ах) — / (х) «й /' (х) dx = dy.

Выгода замены приращения функции Ау ее дифферен

циалом dy состоит	в том, что dy зависит от Ах линейно,
а Ау представляет	собой обычно более сложную функцию
от Ах.

Положим, что некоторая величина у находится из урав нения y = f(x). Абсолютная погрешность Ах при нахожде нии величины X повлечет за собой абсолютную погрешность Ді/ величины у.

Положив Ау я« dy, получим выражение для относитель ной погрешности р:

Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности измеряемой величины к ее приближенному значению назы вается относительной погрешностью.

Относительная погрешность выражается в процентах. 997. Сравнить относительные погрешности при вычисле

нии площади круга при г=125 см, рассматривая: а) абсо лютную погрешность, равную приращению площади круга; б) абсолютную погрешность, равную дифференциалу площади круга.


Р е ш е н и е .		1. Вычислим приращение AS площади
круга и	относительную		погрешность AS при		вычислении
площади	круга	S = nR2.	Будем считать, что погрешность
при измерении		радиуса не превышает \|± 0 ,5			см!.
AS = л (R + AR)* -			n R 2= я [2#ДЯ + (А/?2)] =
	= я (2 • 125 • 0,5 + 0,25) =			125,25л;
	T	■= ÏTriSr = 0,008016		0 ,8 %.

2. Найдем дифференциал dS и относительную погреш-

ность -£~ при вычислении площади круга:

dS = 2nRAR = 2я • 125 • 0,5 = 125л;

dS	_2nRAR	__ 0	dR
Т	~ я/?*	1 '	R '■

Относительная погрешность при вычислении площади круга равна удвоенной относительной погрешности, полу ченной при измерении радиуса:

dS _ 9	dR_ _ п	0,5	= 0,8%.
S	‘ R ~~ ^	125	= 0,8%.

Итак, видим, что во втором случае вычисление было значительно проще и выполнено без ущерба для точности вычисления.

3. Определим относительную погрешность приближе ния при замене приращения AS дифференциалом dS:

	AS — dS =			125,25л — 125л = 0,25л;
	A S - d S			0,25it	0,002 =		0,2%.
		dS		125я

Относительная			погрешность			приближения составила
всего 0 ,2 %.
	998. Найти относительную погрешность при вычисле
нии длины окружности				при R = 50 см (AR = 0,5 см).
999. Найти относительную погрешность при вычисле
нии	величины,	заданной уравнением					у — х3 при	х = 2 и
Ах = 0,01.
	II. Вычисление приближенного значения приращения
	функции при помощи дифференциала
Пусть дана		функция y — f(x)\				приращение этой функ
ции			Ay = f(x + Ax) —f{x),

ее	дифференциал		dy = f (х) dx.			При	достаточно	малых
(близких к нулю)			приращениях			аргумента Ах будем при
нимать:

Ау я« dy,

поэтому при нахождении приближенного значения прира щения функции будем находить дифференциал функции и принимать его равным приращению функции.

1000.			Найти приближенное значение приращения функ
ции у = 2л:3+ 5 при х = 2 и Ах = 0,001.
Решение .				di/ = 6x2dx = 6-22-0,001 =0,024.
Найдем относительную погрешность приближения. Ис
тинное значение приращения
Ау = 2 (х + Ах)3+ 5 — 2х3— 5 = 6х2Ах+ 6х (Ах)2+
		+ 2 (Ах)3 = 6 • 4 • 0,001 + 6 • 2 • 0,000001 +
			+ 2-0,000000001 =0,024012002;
		Ау -		dy = 0,024012 -				0,024 = 0,000012;
			Ay— dy		0,000012		= 0,0005 = 0,05%.
			dy		0,024
Погрешность				приближения				оказалась		очень	малой,
что еще раз подтверждает целесообразность замены при
малых	Ах		громоздкого			приращения Ау				более	простым
и удобным для вычислений дифференциалом dy.
1001.		Найти приближенное значение приращения функ
ций:	1)	г/= 3х2+ 5х+1				при		х = 3	и Дх = 0,001;		2) у =
= X3+ X— 1			при х = 2 и			Ах = 0,01;			3) у = 1пх при х = 10
и Ах = 0,01.

1002. На сколько увеличится при нагревании объем шара радиуса R, если его радиус удлинился при нагрева нии на величину AR.

Ре ше ние . Объем шара вычисляется по формуле V —

= у nR3. Полагая приращение аргумента R равное AR

малым, положим, что A R ^ d R , тогда приращение объема заменим дифференциалом A V ^ d V . Следовательно, для

вычисления приращения объема шара достаточно найти

дифференциал от функции V = -g nR3:

dV = 4nR*dR.

1003. На сколько увеличится при нагревании объем куба, ребро которого равно 10 см, если удлинение ребра равно 0,02 см.

III. Вычисление приближенного числового значения функции

Пусть дана функция y — f{x)\ приращение этой функ ции

Ay = f(x + A x)- f(x),

ее дифференциал dy = f'.(x)dx. При достаточно малых Ах

имеем: Ду я» dy.

Заменив приращение функции ее дифференциалом, по

лучим:

/' (х) dx я« / (х + Ах) — f (х),

откуда

/ (х + Ах) / (х) + /' (х) Ах.

Применение этой формулы дает значительное упроще ние вычисления числового значения функции; геометри чески это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.

1004. Найти приближенное значение функции / (х) = =5х3—2х + 3 при х = 2,01.

Р е ше н и е . Примем х = 2 и Ах = 0,01. Для выше при веденной формулы найдем каждое слагаемое отдельно:

/(х) = /( 2) = 5-23 —2-2 + 3 = 39;

/' (X) Ах = f' (2) • 0,01 = (5х3 - 2х + 3)' Ах = = (15х2 — 2) Ах = (15 • 22— 2) • 0,01 = 0,58.

Тогда приближенное значение функции будет:

/(2,01) = 39+ 0,58 = 39,58.

Найдем точное значение функции:

/ (2,01) = 5 • (2,01)3- 2 • 2,01 + 3 = 39,583005.

Вычислим погрешность приближения:

	39,583005 — 39,58	0,008%.
	39,58

Погрешность приближения очень мала.
1005.	Найти приближенные значения функции: 1) f (х) =
= 2х2—х + 1	при х = 2 ,01; 2) / ( х) =х 2+ 3х+1 при х =

= 3,02; 3) / (х) = у Xs +у X2— 2х + 4 при х= 1,1\

IV. Вычисления по способу строгого учета погрешностей

При вычислениях нередко возникает необходимость знать границы допущенной погрешности промежуточных вычислений и окончательного результата. Такой способ ведения приближенных вычислений называется способом строгого учета погрешностей. Для этого необходимо знать,

как вычисляются границы относительных погрешностей алге браической суммы, произведения, степени, корня и частного.

1006.	Доказать, что относительная погрешность произ
ведения не превышает суммы относительных погрешностей
ее сомножителей.		Пусть дана функция у — иѵ,
Д о к а з а т е л ь с т в о .
где и — f (х)	и V= ф (х).	Прологарифмируем ее и возьмем

дифференциал:

,	,	, .
l n y =	1пы +		1п£>;
v		'

du	du	. dv	.
— =	----и	-----v
у

Но так как абсолютная величина суммы не превы шает суммы абсолютных величин слагаемых:

d u	.	d v	d u	+	d v
----------------U	'	V	U		V

то

d y	d u	+	d v
У	U		V

или р (иѵ) =	d u	d v
или р (иѵ) =	и +	V

1007. При измерении прямоугольного поля нашли, что длина его и = 60 м и ширина ѵ = 23 м. Погрешность при измерении длины не превышает 0,3 м, а при измерении ширины 0,2 м. В каких границах лежит погрешность, ко торую мы допускаем, принимая площадь прямоугольника равной 60-23=1380 м2, и найти относительную погреш ность, допущенную при вычислении площади.

Р е ш е н и е . |e?«j<0,3, \dv\<.0,2.

При наихудших условиях | du ( = 0,3, \dv\ = 0,2. Най дем абсолютную погрешность произведения:

d (uv) = duv-\-dvu = 0,3 • 23 + 0,2 • 60 = 18,9 «=? 19 (м2).

Это будет наибольшая величина абсолютной погреш ности, которую мы можем допустить, принимая площадь участка равной 1380 м2. Округляя погрешность в сторону увеличения и принимая ее равной 20 м2, найдем границы, в которых будет лежать погрешность при вычислении

площади. Она будет не более			1380 + 20=1400 (м2) и не
менее 1 3 8 0 -2 0 =	1360 (м2).
Относительную погрешность вычислим по формуле
	р (иѵ) =	d u	dv
I \— ° '3_	р (иѵ) =	и	+ V	’
I \— ° '3_	1 °-2 _	_ L J _ J L		: 0,014 =	1,4%.
P (uv) — 60	+ 23 —	200 +	230 :
Относительная	погрешность не превышает				1,4%.

1008. При измерении	площади параллелограмма полу
чили, что основание его	а = 70 см (Да = 0,4	см) и высота
h = 48 см (Д/г= 0,3 см). Найти относительную		погрешность,

допущенную при вычислении площади параллелограмма. 1009. Доказать, что относительная погрешность степени равна относительной погрешности основания, умноженной

на показатель степени.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана функция у —хп. Про логарифмируем ее и находим дифференциал: In у = п In х\

du	dx
~	— п — .
у	X		dx
			dx
	Относительная погрешность будет: р (хп) — п — .
	Частные случаи:	HY	п = 3; р (х®)=
	Частные случаи:	1)п = 2, р (х2) —2 — ; 2)	п = 3; р (х®)=

= 3 — .

1010. Найти относительную погрешность, допущенную при измерении объема куба, если его ребро равно 12,5 бм.

Р е ше н и е . Примем dx = 0,05 см.

р М _ з | = 3 . “ - і1|б«,0,012-1,2%.

1011. Найти относительную погрешность, допущенную при измерении площади квадратной комнаты, если взято округленное значение стороШ равное 6,4 м (абсолютную погрешность примем равной 0,05 м).

1012. Доказать, что относительная погрешность корня равна относительной погрешности подкоренного числа, де

ленной на показатель степени корня.			_
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть		дана	функция у = У х .
Прологарифмируем ее и находим дифференциал:
In у = — In х\	dy	1	dx
	у	п	X *

Относительная погрешность будет:

1 dx

Рп X ’

Частные случаи: 1) п = 2, р (|/гх ) = у ^ ; 2) п = 3,

/ з / — \ 1	dx
Р ( ^ ) = 3 7 -
1013.	Найти относительную погрешность, допускаемую
при вычислении стороны квадрата, если площадь квад
рата равна	37,7 см2.

Р е ше н и е .	Обозначив сторону квадрата	через у и
площадь через	х, получим: у — у гх = у г37,7,	efx= 0,05:
р (]/3 7 ^) = у - щ = = ^ ^ 0 ,0 0 0 6 6 4 ^ 0 ,1 % .
1014. Найти	относительную погрешность, допускаемую
при вычислении	стороны квадрата, если площадь квадрата
равна 68,5 см2.

1015. Доказать, что относительная погрешность част ного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана функция

y = - j , где « = /(*) и ѵ= (р(х).

Прологарифмировав и взяв дифференциал от функции у = ~ , получим:

,	,	,	du	du	dv	.
ln y — ln « — Inn,			-- =	--------- и	V	.
	J		у	--------- и	V

Но так как абсолютная величина разности не превышает суммы абсолютных величин уменьшаемого и вычитае мого* то

du dv

Уи + о ‘

Граница относительной погрешности частного

du	do
и +	о

1016. Для нахождения плотности тела определена его масса т х = 484 г и масса вытесненной им воды т 2= 62 г. Абсолютные погрешности А/п1= 0,5 г и Д т2= 0,4 г. Найти относительную погрешность при вычислении плотности тела.

Р е ше н и е , у = — .
	а	т 2
dy_	dm1	+	dm2	0ф	,	^ -^ 0 ,0 0 1 0 3 +
У	mx	+	Щ	484		^ -^ 0 ,0 0 1 0 3 +
	+ 0,00645 = 0,00748 ^ 0,7%.

1017. Даны два приближенных числа 82,6 и 64,8. Найти относительную погрешность их частного.

V.Приближенное вычисление степеней

Пусть	в функции	/(х) = хл X	получает малое прираще
ние Ах.	Вычислим	приближенное значение функции
f (х+ А*) = (х + Ах)п,		применяя	формулу для вычисления

приближенного значения функции:

/ (X +Ах) ъ * f (х) + /' (х) Ах.

Имеем:

f(x + Ах) = (х+ Ах)"; /(х) = хл; /' (х) Ах = пхл-1Ах,

откуда

(х+ Ах)л я« хл + пхп~1Ах.

Частные случаи этой формулы, встречающейся в вы


числительной			практике:
1)	Ах < 0, (х — Дх)л я« хл — пхп~хАх\
2)	л = 2 ,		(х + Дх)2я«х2+ 2хАх;
3)	п = 3,		(х + Ах)3я» Xs+ Зх2Ах;
4)	л = 2 и Ах <			0,	(х — Ах)2я^ х2 — 2хАх;
5)	п — 3 и Ах <Г 0,				(х — Ах)3я« х3— Зх2Дх;
6)	X =	1,	(1 + Ах)л я» 1 + лАх;
7)	х =	1 и Ах <		0,	(1— Ах)л «а 1 — лАх;
8) л = 2 и X = 1,				(1+ Ах)2		1 4 -2Ах;
9)	л = 2, X = 1 и Ах < 0,					(1 — Ах)2я» 1 — 2Ах;

10)л — 3 и X = 1, (1 +Ах)3яа 1+ЗАх;

11)л = 3, X = 1 и Ах С 0, (1 — Ах)3 яв! 1 — ЗДх. Найти приближенные значения степеней. 1018. (4,012)2.

Р е ш е н и е . Применяя частный случай (2), положим х = 4, Ах == 0,012, тогда (4,012)2= (4 + 0 ,0 12)2я=! 42+ 2 • 4 х

X0,012 =	16,096 я» 16,1			(точный ответ 16,096144).
Относительная			погрешность			приближения
			16,1-16,096			0,025%.
			16,1		!
Погрешность		приближения				очень мала.		(случай 10);
1019.	1) (9,6)2		(случай		4);	2)	(1,012)3
3) (9,95)3	(случай		5);	4) (1,005)10			(случай	6); 5) (0,975)4
(случай 7).
	VI.	Приближенное вычисление корней

Пусть в функции /(x )= v /"x X получает малое прира щение Ах. Вычислим приближенное значение функции

f (x 4 - Ля) = У x + Ах, применяя формулу для							вычисления
приближенного значения функции:
	f(x + A x ) ^ f ( x ) + f'(x)Ax.
Имеем:
	f (х-\-Ах) = у гх + Ах;			/		(х) — угх\
f (x) A x — {xn) Дх = —х" *Дх =						1 А*1	I	Ддг
f (x) A x — {xn) Дх = —х" *Дх =						1 А*1	п	п
						1——		у хп
откуда	П,--- ;-----		ПГ--			Ах
	П,--- ;-----		ПГ--			Ах
	у х + A x f ^ V x + —
				п у хп
Частные случаи:
1) Д х < 0 , У x —Ах я« У х -------- — :
			п Ух-
2) п —2, y j + A x ^ V x + ^ ,
3) п — 2 и Д х < 0 ,			У х —Дх«» \ гх —
4) п = 3, Y х + Ах ъ і У х + - ^ = г;
			Зу Г
5) /і = 3 и Д х < 0 ,			x — Дх я« У x ------—=•;
6) x = 1, У 1 + Д х «й 1 + ^ ;
7) x = 1 и Дх С 0,			у^І — Ах ^		1 — ~ ;
8) п = 2 и x = 1, ]/ 1 -f Дх я» 1 + ^ :
9)	/г= 2, х = 1	и Дх < О, У 1 — Дх я« 1 — Y					;
10)	п = 3 и x =	1, К Г + Д * ^ 1 + у ;
11) п = 3, x = 1 и Д х < 0 , у^1 — Дхя« 1 —
Найти приближенные значения				корней.
1020. У Х Ш .						случай (8), положим
Р е ше н и е . Применяя частный						случай (8), положим
Дх = 0,006, тогда		1,006= 1 + 0 ,0 0 6 = 1 + ^ = 1 ,0 0 3 .

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ