книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

956.Найти интервалы выпук'лости и вогнутости кривой

у— х*—2х3+ 6х — 4.

Р е ш е н и е . Найдем вторую производную: у' —Ах3 — - 6х2+ 6, у" — 12х2— 12л:.

Решим неравенство 12х2—12х<0; х2—х<С0.

D = l > - 0 (табл. 2, случай III, стр. 157). Корни урав­ нения х2—х = 0, Хі = 0, х2= 1 . Неравенство справедливо при всех действительных значениях х в интервале (0 , 1).

Кривая в интервале (0, 1) выпукла. Решим неравенство X2— х > 0 . Неравенство справедливо при всех действитель­ ных значениях х в интервалах (—оо, 0) и (1, +оо).

Вэтих интервалах кривая вогнута.

957. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривых:

1)у ^ х 3- 6х2+ 2 х - 6 ; 2) // = X4— 2х3— 12х2+ 24х + 8.

§ 50. Точки перегиба

Точка кривой y = f(x), в которой выпуклость отде­ ляется от вогнутости, называется точкой перегиба.

П р а в и л о н а х о ж д е н и я т о ч е к п е р е г и б а к р и в о й у — f(x)

I. Найти вторую производную функции y = f(x):

У" = Г(х).

II. Приравнять вторую производную нулю и решить уравнение f” (х) = 0 .

III. Найти знак второй производной в каждом из ин­ тервалов, ограниченных найденными корнями.

IV. Если знаки второй производной в двух смежных интервалах, разделенных данным корнем, разные, то имеется точка перегиба при данном значении корня; если знаки одинаковые, то точки перегиба нет.

V. Найти ординаты точек перегиба, т. е. вычислить функцию для тех значений корней, для которых имеет место перегиб.

958. Найти точки перегиба кривой t/= уХ3.

Р е ш е н и е . По правилу нахождения точек перегиба имеем:

1) у ' = х 2; у” — 2х;

2) 2х = 0 ; х = 0 ;

3)Ух>о = (—); */*>о= (+ )'.

4)при х = 0 имеется точка перегиба, так как вторая

производная содержит разные знаки в смежных интервалах, разделенных корнем х = 0 ;

5) Ух=о“ у ‘03==0. Точка перегиба (0; 0).

Знаки второй производной рассматриваются в интер­ валах, разделенных корнями -х — 2 и х — 3: (—оо; 2), (2 ; 3) и (3; +оо);

у'х:<2 == (—) ( — ) = (+ ); */2<*<3 = (+ ) ( — ) = ( — ); Ух>з —(+ ) (+ ) = (+);

4) знак второй производной в интервале (—оо; 2) — плюс, в интервале (2 ; 3) —минус и в интервале (3; +оо) —•плюс, т. е. знаки второй производной в смежных интервалах, разделенных корнями х = 2 х — 3, разные, следовательно, при х=&2 х = 3 имеет место точка перегиба;

§ 51. Построение графиков функций

П р а в и л о д л я в ы ч е р ч и в а н и я к р и в ы х _

III. Найти координаты точек пересечения кривой с осями координат (если это не вызывает затруднений) или найти координаты нескольких дополнительных точек.

IV. Записать найденные точки в таблицу (в порядке возрастания их аргумента) и, построив эти точки, провести через них плавную кривую. Если значения ординат ока­ жутся очень большими, то следует уменьшить масштаб с таким расчетом, чтобы кривая могла уместиться в выбран­ ной системе осей координат.

Построить графики функций. 962. г/= х2+ 4.

Функция при лг = 0 имеет. минимум ух=о = 4;

966. у = 2х2- \2х+ 10.

И с с л е д о в а н и е и п о с т р о е н и е . 1) у' — Ах — 12;

Ах — 12 = 0; х = 3, у " — А.

Функция при х = 3 имеет минимум:

ух~з= 2 -З2- 1 2 - 3 + Ю- —8 ;

2) точек перегиба у кривой нет, так как вторая про­ изводная при любом X положительна;

3)найдем точки пересечения с осью Ох:

у—0 ,2х2—12х + 10 = 0; лу=1, х2 — 5.

4)составим таблицу точек пара-

следовательно, точки кривой расположены симметрично относительно оси Оу:

1) у' = X3; х3= 0, х = 0; t/ ; < 0 = (—), ^ > о = (+).

Функция при л:= 0 имеет минимум ух-0 = 0;

2)у" = Зх2. Точек перегиба у кривой нет, так как вторая производная при любом х положительна;

3)кривая пересекает оси координат в точке (0 ; 0);

4) составим таблицу точек кривой:

Построим по этим точкам кривую (рис. 119).

969.у = ~ х і — 1.

970.у —х3 — 3х.

И с с л е д о в а н и е и п о с т р о е н и е . 1). у’ —Зх2— 3;

Построим по этим точкам кривую (рис. 120).

971. 1) у —Зх3—х; 2) у — —х3+ х; 3) у — ^ х3 — 9.

течению от пристани А до пристани В, вернулся на при­ стань С. Какова скорость течения реки, если катер про­ шел путь АВС в кратчайшее время при его средней ско­ рости 35 км/ч?

985. Для следующих функций 1) z/= x3+ 6x2+ 9x + 8 ; 2) у = 2х3- З а-2- 1 2 х — 1; 3) у = х3 - 6х2+ 16; 4) у=*2х? +

4- t2-\- — 1-{-1. Найти максимальную скорость движения этой точки

((вс, SB м).

IIв а р и а н т

987.Найти: 1) интервалы возрастания и убывания функции у =

тость; 4) у — -і- х3 + х2 + -І- на точки перегиба.

ОО

О

4-51 + 3. Найти максимальную скорость движения этой точки (Івс, SBM ).

Г Л А В А 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

§ 53. Вычисление дифференциала функции

Дифференциалом функции y = f(x), или дифференциалом первого порядка, называется произведение производной этой функции /' (л:) на произвольное приращение аргумента Ах:

dy — f (X) Ах.

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента;

dx = Ах.

Поэтому дифференциал функции равен:

dy = /' (л:) dx.

Дифференциалом второго порядка называется дифферен­ циал от дифференциала первого порядка: d2y = f"(x)dx2, т. е. дифференциал второго порядка функции y —f(x) равен произведению второй производной этой функции /" (л:) на квадрат дифференциала аргумента.

Для нахождения дифференциала первого порядка функ­ ции y = f (х) нужно ее производную /' (л;) умножить на диф­