книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Исследуем функцию с помощью второй

производной:

1) V '= 4 - S — §-*»; 2) ± S _ | x 2= 0, х =

=

3) K” = - 3 x ; 4) V " ^ i yg _ < 0 .

6

максимум. Сторона основания параллелепипеда х =

}f6S.

S - 2 f l l ^ 6 S y

___

Высота параллелепипеда у —------ \—

' ■= -7r ] / 6S .

4 . - i ya s

80см

и затем загибая жесть, чтобы

образовать

боковые

стенки.

- I

і -

Какова должна

быть

длина

см

стороны у

вырезаемых

квад­

!5 0 -2 X

!

ратов (рис. 107)?

50

1

80-2Х

!

933.

параллелепипедов

с

объе­

I

1

мом

V,

в

основании ко­

х|г

торых лежит

квадрат,

найти

Рис. 107

тот,

который

имеет

наимень­

Р е ше н и е .

Пусть

шую

полную

поверхность.

сторона

основания

параллелепи­

педа X

и высота у , тогда объем

Ѵ= х2у, откуда

г/= - ^ .

1) S' = 4 x - ^ r - 2) 4 * ~ ^ = 0,

x = i V- 3) 5 ' =

4хЗ - 4 Ѵ _

4 (x3— V)

^ 4 ( x - Y У) (x2 + x s/ V

+ ^ V 2) _

X 2

X 2

X 2

’

J

( Y V f

frpi

V

Наименьшую поверхность имеет куб.

крышки) ящика

934. Найти

размеры

открытого

(без

с квадратным дном наименьшей полной

поверхности при

заданном объеме V.

Решение . Объем цилиндра V — nR2H, откуда Н =

.

Полная поверхность

S = 2nR2 + 2nRH;

S = 2л/?2+ 2 л /? - ^ ;

5 =

2я/?2-f

(/? >

0).

Исследуем

функцию с помощью

первой производной:

1) S' = 4 n / ? - - ^ - ;

2)

4nR — R2 = 0;

4я/?3-2 Ѵ = 0;

4nR3—2V

4л R3 - Л

2л/?3■ i,=°;

Ь

з>s'=

R2

2л/

R2

4л [R — ‘

2л

- b

S'

2л

R2

R<y

R>V

2л

= ( - ) ( + ) = ( - ); s '

r = ( + ) ( + > “ (+)-

Производная меняет знак с (—) на (+), следовательно,

функция при

R

2^- имеет минимум.

f

y

цилиндра

Н =

2^- • Высота

м Г .4л2Y1

■V’ н “ 2*-

939. Из бумажного

круга радиуса R вырезан сектор

и из оставшейся части

круга склеена коническая воронка

(рис. 108). Какой угол

должен иметь вырезанный сектор,

Имеем функцию

К = ÿ я (R2H — Н3), где аргумент Н:

0 < Я < / ? .

на

максимум

и минимум

Исследуем функцию

с

помощью второй

производной:

1)

V = у л (R2— ЗЯ2);

2) — л (R2 —ЗЯ2) = 0;

R2 — ЗН2 = 0;

=

’

3) V" =

з

у з

=

л (— 6Н) = — 2лЯ; V J

< 0 ,

следовательно, при

3R2 — R2

' - Ÿ K ^

- Ÿ

- * Ѵ -

940.

Из всех

цилиндров,

вписанных в данный конус

(R и Н даны), найти

тот, у которого боковая поверхность

наибольшая.

Р е ш е н и е . Пусть

у

искомого

цилиндра г —радиус

основания

и

А — высота

(рис.

109).

Из подобия

тре-

„

угольников АВОі

и

СВО имеем:

R

_

Я

откуда

г

H - h

'

R ( H - h )

H

Подставив значение г в фор­

мулу боковой

поверхности цилин­

дра 5 = 2лrh,

получим:

S = 2nh-R(H~ h)-,

ИЛИ

ГІ

r

S = * £ - ( H h - h * ) (0 < h < H ) .

Исследуем

функцию

с

помощью

второй

производной:

1)

(Я-2А);

2) 2 ~ ( Н

— 2/і) = 0, Я —2А = 0;

1

Н

о\

о//

h = T ’

3)

S

= -----J T -

Вторая производная отрицательна, следовательно, функ-

ция

при

,

н

А = -g- имеет максимум.

Найдем

г

цилиндра:

« ( Я - Т

я я

■Я

Я

Я • 2

2

941.

Из

всех цилиндров, вписанных

в данный

конус

942. Из всех

цилиндров,

вписанных в данный

конус

(R и Н даны), найти

тот,

у

которого

объем

наи­

больший.

у

искомого

цилиндра

г —радиус

Ре ше ние . Пусть

основания и А —высота (рис. .109).

Из

подобия треуголь­

ников ABOj_ и АССі имеем:

Я _

R - r

,

,

H (R — г)

Я —

А

откуда А = —

— -

Подставив

значение

h

в

формулу

объема

цилиндра

V —nr2h,

получим:

V = яг2 И

~

/г

(R r 2 -

г3)

( 0 < г < Я ) .

Исследуем

функцию

с

помощью

второй

производ­

ной:

1)

V

—

(2Rr — Зг2);

2)

(2 R r - 3 r2) = 0;

2.SV — Зг2= 0;

r(2 tf-3 r) = 0;

/4 = 0 ,

г2= -|Я ;

3) V" =

= 2jL(2R -br);

V

г~

г

= — 2яЯ. '

*

отрицательна, следовательно,

Вторая

производная

л.

при

2 п

имеет максимум.

функция

r — -^R

Найдем высоту цилиндра:

h =

H R

R

H.

R

943.

Из всех цилиндров,

вписанных в шар радиуса R,

найти тот, у которого объем наибольший.

г —радиус

Р е ш е н и е .

Пусть

у

искомого цилиндра

его основания

и h —его

высота (рис. ПО). Объем ци­

линдра

V = я r2h.

Из

Д АВС

имеем: 4r2-\-h2 — 4R2.

Откуда

r * = 4Ri-

h2. = R2 + ^

h2'

Подставив

это

значение

г2

в формулу

объема

цилиндра,

получим:

К = я h (R2—

h2

или

Ѵ = я (R2h - \ № )

(0 < / z < 2£).

Рис. ПО

1)

=

2)

я ( я 2- - |/ г 2) = 0;

R2- ~ h 2 = 0■;

h —

2R

.

3) V " = - ■я/г,

/ з

’

основания

и DC = h —высота

(рис. 111). Объем конуса

Ѵ = у л г 2/г. Из

/\В А С

по тео­

реме

о метрических соотноше­

ниях в прямоугольном треуголь­

нике имеем:

AD2 = BD'DC или

r2 = {2R-h)h.

Подставив значение г2 в фор­

мулу

объема

конуса,

получим:

V = ~ n { 2 R - h ) - h - h =

Рис. ш

= 1

я (2Rh2 -

h3), 0 < h <

2R.

Исследуем эту функцию с помощью второй производ­

ной:

1)

V' = ~ n ( 4 R h - 3 h 2);

2) у я (4Rh -

3h2) = 0 ;

4Rh — 3h2= 0;

h (AR - 3h) = 0;

^ = 0;

4 tf-3 /i = 0;

h2=

= y /?;

3)

Ѵ" = ± я ( 4 Д - 6 А) = |-я (2 Д -З й );

V'’=i_R =

= I я ( 2 « - 3 4 « ) = 4 ” ( - « ) “ - Т Г -

аргу­

Вторая

производная отрицательна при

значении

мента

h = ~ R ,

следовательно,

функция

при этом значе­

нии аргумента имеет максимум.

Найдем значение г при h — -4^R:

г2 —

8

9 R \

2V2*

*

3

*

повесить фонарь над центром кру­

говой

площадки радиуса а,

чтобы

площадка была максимально

осве­

щена у ее

границы.

Р е ш е н и е .

Из курса физики

известно,

что

освещенность Е

обратно пропорциональна квадрату

расстояния

от

источника

света

и прямо

пропорциональна

коси­

нусу угла падения (угла, обра­

зованного

нормалью к

поверх­

потока)

(рис. 112):

ности

с

направлением

светового

E = k cos а

где k

зависит

от силы

источника

света,

помещенного

в точке А. Из треугольника

ОАВ имеем:

Л

и г = ф/7і2+ й2.

cos а = у

Приняв

h за независимую переменную, получим:

h

3 (А >

E = k УЛ2+ а2(Л2+а2)

0).

(/г2+ а2)2

следовательно, v = s ' = v0 — gt = 0 ,

откуда / =

у .

Исследуем данную функцию: 1) s = — gt;

2)

■0=

=0 , / = | ; 3) s' = g ( % - t

t< Va

— (+ )»

g = (- -)■

при t Уо она имеет максимальное значение.

g

Найдем величину s при / = ^

V° g

1 /о*

2g

2 ^ g a