книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Вторая

производная положительна, следовательно,

при X ~ Y

функция имеет минимум. Число а надо разде­

Р е ше ние .

Пусть один из сомножителей равен х,

тогда другой будет

Сумма

этих сомножителей — пе­

ременная величина; обозначим

ее через у,

тогда у — х-\-

Исследуем

эту функцию на максимум и минимум

с

помощью

второй

производной:

1)

у' =

1 ---- ;

2)

1 — -^- = 0 ,

хг —а,

х = Ѵ~й (по

условию

* > 0);

3)

у

X4

X3

4) У**=ѴТ — тгг^тз >

0»

следовательно,

( у а )

Р—2*_Р

2 х ’

2

Площадь прямоугольника — переменная величина. Обоз-

значив ее через у, имеем:

# = *(-§ --* ) = y x - x 2 ( 0 < x C - Ç j .

угольников

при данном

периметре наибольшую площадь

имеет квадрат.

910., Из куска проволоки длиной в 50 см согнуть

прямоугольник

наибольшей

площади.

данного

периметра

911.

Из

всех

прямоугольников

найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Р е ше ние .

Пусть

периметр прямоугольника равен 2р

и одна из сторон прямоугольника равна х,

тогда другая

2р—2,^

сторона будет

— —р —х. Диагональ прямоугольника —

переменная

величина.

Обозначив

ее

через

у,

получим

по теореме Пифагора:

у2 — X2+ (р — х)2

или

у2 = 2х2— 2рх + р2,

откуда

у —У 2х2 —2рх -f р2 (0 < х < р ) .

Исследуем

функцию

с

помощью

первой

производной:

1) и ' —

4х ~ 2р

2х— р

. о ,

2х — р

= п .

2 У 2х2 — 2рх+ р2

Y 2х2— 2рх+ р2 ’

\f-2x2—2рх+ р2

’

2х— р = 0; х = — (квадрат);

3)

2 ( х - £ )

у' —-7= À = = J =

Н

2

' '

н

у

Ѵ2х2- 2 р х + р *'

Знаменатель

производной

положительный,

поэтому

исследуем только

числитель

производной:

У’

р <

0

и

у

р >

0.

Х<Т

х > ~2

R

вписать

прямоугольник

наибольшей площади.

Решение .

Обозначим

одну

из

сторон

прямоуголь­

ника через X (рис. 101), дру­

гую

сторону

выразим

через

сторону X и радиус R по тео­

реме Пифагора У R2— хг.

Рис. 101

Площадь

прямоуголь­

ника

со

сторонами

х

и

2 Y R? — X2, —переменная

величина; обозначив

ее через у,

получим:

y = x - 2 V R 2- x 2 = 2 x V R 2- x 2 (0< x < R ) .

Исследуем

эту функцию с помощью первой про­

изводной:

1)

у'

=

2 [х' У R2 — X2 +

( ] /R2 — х2) ’ х\ =

2 (У Я2

— 2х-х

R2-

:2\ _

2 (/?3—2х2)

2 V RI — X*

y w ^

V R>2_у2

2)

YRI—X*

0 ;

R* — 2х2 = 0 ;

* =

3)

у'

4 /4

-

V R Z - X*

У

2

* UÄ

+X

; г/

я —(+) (+) — (+).

У Ж

Х < —

Yï

у

T"2

Производная меняет знак с (+) на (—), следовательно,

функция

при

X = Y = имеет максимум.

Стороны

прямо­

угольника X =

У 2

и

2 ] /

R2

R2

7 Г ) 1 =

2У

« ’

2

=

2 і / " -

= .2R

Г 2

К 2 ‘

Примем постоянный

коэффициент

k = \ ,

тогда

р —

— x(d2 —x2) или p = d2x — x3 (0 < x< ld ) .

Исследуем

функцию

с

помощью второй производной:

1) p' = d2- 3 x 2; 2) d2- 3 x 2 = 0, х = - 7 ;

3) р " = —6х.

Vз

Вторая производная отрицательна, следовательно, при

X =

d функция имеет максимум.

7 1

Размеры сечения х ~ у ^

и

d2—

= J^~^2-~ у

=

г

■

Отношение

d |/ ~ у

:

.

Построение прямоугольника

со

сторонами

d

и

W

Разделим

диаметр

AB

круга на три равные части

(рис.

102). Из точек деления С и D проведем перпендику­

ляры к AB (по разные сто­

роны от AB) до пересечения

с окружностью в точках /Си L.

Докажем, что прямоугольник

AKBL

искомый.

На основа­

нии

теоремы о

метрических

Рис.

103

соотношениях в прямоугольном треугольнике

имеем:

AK2 = AC-AB = - d - d = ~ d 2;

АК = ~4=\

3

з

}/з

’

^BK2 = BC-BA = ~ d

- d = ^ d 2;

BK = d

^

у -

у = ~ к (а — х) или у ■- 2 ах~

2 х

(О < х с а ) .

Исследуем эту функцию с помощью

второй

производ-

ной:

1)

у'

1

r>\

1

/ч

X =

а

У " ~ - 1.

а — х; 2)

-g а —X =

О,

2 3)

Вторая производная отрицательна, следовательно, функ­

ция

при

х==~

имеет

максимум.

Основание

треуголь-

ника

а

и высота

треугольника

С

Y

чения

(рис.

104)

ОС = ОА = а,

OD- х ,

S A A B C — У, тогда AD = ] Ѵ а2— х2, AB = 2V'a2 — Xs

и

DC■■х+

а,

=

*2]/ а2— X2 (х+ а) или у — (х-\- а)Х

X | / Û2— X2(0 < Xс а).

Исследуем полученную функцию с помощью первой

производной:

1) у ' = (х-\-а)' ]/а2—•х2+ (]/ а2—х2)' (х + о) =

= V c Ä ^ X 1

■2х (х-(-о)

а2— X2— х2

2х2+

ах -

2 |/ а2

У " а 2 — X 1

Va

2) У —

2л:2+ах

0;

2х2+ ах — а2= 0.

лПлЦ

V

Я2—X

Корни

уравнения

Хі = — а и

х2 = -

3)

у ’ =

2 (*+

а)

V о2—X2

Исследуем только критическое значение л:=

так как

0 С X

а:

#'

£ = ( —) ( + ) ( —) — (+ ); У‘

;(—)( + )( + ) = (—)•

Х<' 2

Л5 = 2 |/ " а 2- (

| )

2= а1/‘3; %АС = ВС

= Ѵ (AD)2+ (DC)2= ] /"

У з

+ ^ У - а Ѵ з .

Треугольник

равносторонний.

926. В круг радиуса а вписан прямоугольный тре-

угольник. При—

каком

отношении

катетов

треуголь­

ник будет иметь наибольшую пло­

щадь?

927.

а

В

треугольник,

основание

которого

и

высота

h,

вписан

прямоугольник

наибольшей

площади

(основание

прямоугольника

лежит

на основании треугольника). Найти

стороны этого прямоугольника.

Ре ше ние .

Введем

обозначения

(рис.

105):

AB —a, CD = h, DE —x,

ЕС = h — x.

треугольников АВС

Из

подобия

и

лл\тг>

имеем:

MJV

ЕС

или

MNC

Исследуем эту функцию с помощью

второй

производной:

1 \

y

/

2 Û

m

t

2 Û

r\

h л »

f f

=

2 CL

J'

= a - - Trx;2)y

= a - - r

x = 0, x = - T \ 3 ) y

-----r-.

h

h

как

у" <Е0.

При х — -іу функция имеет максимум, так

Высота наибольшего прямоугольника равна у

и осно­

вание

MN = ^

[h —-|-) =

у Y = Y '

Высота

и

основание

периметр

р,

найти

сектор

с наибольшей

площадью.

Ре ше ние .

p = 2R + / (рис. 106), но l = aR, гдеа — ра-

дианная

мера

дуги

/, тогда

р —

= 2R + aR.

п

Площадь сектора

или

S = l - ~

о

г> R

1

no

p — 2R

S = aR-^- = у і? 2а, но а =

— »

тогда

5 = J Ri2ЕЙ Г ~ = І

R (р ~ 2R) =

= у PR — R2

Рис.

106

1) S' = l p - 2 K ; 2) і - р —2Р = 0,

3 ) 5 " = - 2.

„ S —2*а

Объем параллелепипеда Ѵ = х2у,

‘Ù________

или Ѵ —х'■

Ах