книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

4) найдем максимальное значение функции:

Ух.2,5= — (2,5)2+ 5-2,5 — 6 = 0,25;

5)составим таблицу:

ипостроим параболу у — — х2-\-5х — 6 (рис. 89).

881.1) у — — х2+ 2х + 3; 2) у — —х2— х + б.

Рис. 92

885.1) у — 2х* — х; 2) г/= ^-х4+ 8х.

886.у = х3 —Зх2.

Ре ше ние . I) у —Зх2 —6х; 2) Зх2 —6х —0 ; х2— 2х = 0, х(х —2) = 0 ; Хі = 0 , лг2= 2 ; 3) у' = Зх (х — 2).

а) Исследуем критическое значение лу= 0:

Ух<о = ( —■)( — ) = ( + ); У х > о — (- {- ) ( — ) — ( — )•

Первый знак ( —) относится к сомножителю х, второй ( —) —к сомножителю х —2. Производная меняет знак с ( + ) на ( — ). Следовательно, функция при х —0 имеет максимум.

Производная меняет знак с ( —) на ( + ), следовательно, функция при х = 2 имеет минимум;

§46. Исследование функции на максимум

иминимум с помощью второй производной

вт о р о й п р о и з в о д н о й

1.Найти производную данной функции y ' —f'(x).

II. Приравнять найденную производную нулю: /' (х) = 0 и решить уравнение /' (х) = 0 , т. е. найти действительные корни уравнения (стационарные точки).

III. Найти вторую производную данной функции.

IV. Найти знак второй производной в каждой из ста­ ционарных точек.

Если при этом вторая производная окажется отри­ цательной, то функция в этой точке имеет максимум, если положительной — то минимум.

Если вторая производная обращается в нуль, то иссле­ дование нужно проводить с помощью первой производной.

V. Найти максимальные и минимальные значения функции. Для этого надо вычислить значения функции в стационарных точках (точках максимума и минимума).

VI. Построить график функции по найденным точкам кривой (точки максимума и минимума функции, точки пересечения кривой с осями Ох и Оу). (Точки пересече­ ния кривой с осью Ох в случае, если кривая представлена уравнением выше второй степени, находить сложно, так как в курсе элементарной алгебры рассматриваются только частные случаи решения уравнений высших степеней.)

У' = 2.

4. Вторая производная положительна, следовательно, функция в стационарной точке х = 1 имеетминимум (рис. 94).

891. 1) у = 2х2; 2) у = 2х2 — 2; 3) у = х2 — 2х; 4) у = = —х2+ 4х; 5) у = 2х2—5х + 2;6) у — —х2+ х + 6 .

у2_1

2) —— = 0 . Дробь обращается в нуль, если числитель

равен нулю (знаменатель не равен нулю):

§47. Наибольшее и наименьшее значения функции

Втеоретических вопросах и прикладных задачах нередко приходится находить те значения аргумента х, которым отвечает наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции y — f(x) на отрезке [а, Ь].

Наибольшее и наименьшее значение может быть соот­ ветственно максимумом и минимумом функции (рис. 98), но может и не быть ими (рис. 99). В этом случае наиболь­ шее и наименьшее значение функции принимаются на кон­ цах отрезка [а, Ь], т. е. в точках х = а и х = Ь.

Если функция непрерывная на отрезке [a, b] имеет единственный экстремум, то в случае максимума это будет

ее наибольшее значение, а в случае минимума — наи­ меньшее.

При нахождении наибольшего и наименьшего значения функции будем руководствоваться следующими правилами:

1) найти стационарные точки;

2) найти значения функции в стационарных точках и на концах^ отрезка. Наибольшее и наименьшее из этих чисел

будет соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке.

Вычислим значение.функции в точке * = 0:

f (0) = 2 sin 0 — cos 0 — — 1.

Наибольшее значение функции равно 3, наименьшее (—1). 902. f (x) = sin 2х на отрезке ^— у , y j .

§ 48. Задачи на наибольшие и наименьшие значения величин

903. Сумма двух положительных чисел равна а. Найти эти числа при наибольшей величине их произведения.

Ре ше н и е . Пусть одно из слагаемых будет х, тогда другое будет равно а —х. Произведение этих слагаемых — переменная величина; обозначив ее через у, имеем:

904. Разбить число 24 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.

905. Сумма двух положительных чисел равна а. Каковы эти числа, если сумма их кубов будет наименьшей?