книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

852.

I)" y = arccosУ I — x2; 2)

u = a r c c t g ~ ~ ;

3) y =

= arctg У х + arcctg У x .

853.

1) y = arccos У 1 — eiX; 2)

y = arcsin

: 3) y =

Контрольная работа

I в а р и а н т

854.

Найти

производные

при

данном

значении

аргумента:

1)

f (x) =

sin2 ln e*f

Г

(0):

2)

f (x) =

ln

. f

(К б )î

3)

f (x) =

=

arccos K*»

^

^

Составить уравнение касательной

к гипер-

боле -x—

[ß

в точке (—3;

2). 5) Точка движется

прямолинейно

^ -= 1

по

О

о

Найти

момент времени t,

когда ускоре­

закону

S — —і3 + 6/2-{-5.

ние точки равно нулю.

II в а р и а н т

855.

Найти

производные

при

данном

значении

аргумента:

1)

f(x) = ln tg22x,

f ' ^ y ,

2)

f{x) = 2 ln K ü ïïlï,

f ' i ^ y ,

3)

f(x)=

= a r c tg i;,

f

{0).

4). Составить

уравнение

нормали

к

эллипсу

yß

{fi

l в

точке

(—4;

3).

5). Точка движется прямолинейно по

jg =

закону

s = — -*-<3 +

4/2 — 8 / + 1. Найти момент

времени

t,

когда

ускорение точки будет равно 6м/с2.

§ 44.

Возрастание и убывание функции

Функция

У = !{х)

называется возрастающей в интер­

вале (а, Ь) изменения аргумента х, если значений функ­

ции у — f (х)

в этом

интервале возрастают с возраста­

нием X.

называется убывающей в интервале

Функция y — f{x)

(а, Ь) изменения аргумента х, если значения функции

вает,

называются интервалами

монотонности изменения

функции.

П р и з н а к и в о з р а с т а н и я и у б ы в а н и я

ф у н к ц и и

Если

производная

данной

функции

положительна

для

всех

значений х

в интервале (а,

Ь), то функция

всех значений х в интервале (а, Ь),

то функция в этом

интервале убывает.

У‘

Найти интервалы возрастания и

убывания функций.

856. у = х 2- 8 х + 12.

g

Р е ш е н и е . Найдем производную

данной функции у' = 2х — 8.

В интервале убывания производ­

ная от данной функции отрицатель­

А(ь;-Ч

на и в интервале возрастания произ­

водная положительна, поэтому ре-

Рис. 81

шим неравенства:

т < 4 , т. е л

изменяется в интер­

1) 2х —8 < 0 , 2х < 8 ,

вале (— оо; 4); в этом интервале функция убывает;

2) 2х —8 ;> 0 , х > 4 ,

т. е. х изменяется в интервале

(4, + ° о ) ; в этом интервале функция

возрастает (рис. 81).

857. 1) у = х2- 6х + 5;

2) # = 2х2 -4л: + 5;

венство Зх2— 12ж с О, X2— 4х <

0.

D=16>>0 (табл. 2, случай III, стр. 157). Корни урав­

нения X 2 — 4х — 0, лу= 0, х 2 = 4.

Неравенство справедливо

при всех действительных значениях

х в интервале (0, 4).

Следовательно, в интервале (0, 4) функция

убывает.

интервал возрастания

Зх2—

А(о;4)

Найдем

/

— 12х > О, X2 — 4х >

0.

Неравенство справедливо при всех дей­

0

!

*

ствительных

значениях

в

интервалах

1

(— оо,

4) и (4, + со). В

этих

интервалах

1

функция возрастает (рис. 82).

1

859.

1) у = х3- 3 х 2 + 1;

1

2) У = - | * 3 + у *2+ 2.

1

- V

880. у=X* — 4л:+

3.

В(к\-28)

Р еш ен и е .

Вычислим производную

Рис.

82

данной

функции

у' = 4л:3 — 4.

Найдем

интервал

убывания

функ­

х с і ,

ции

4л:3 — 4 < 0 ,

Xs —1-<0,

х3<

1,

следовательно,

интервал

убывания

(— то;

1).

Найдем

интервал

возрастания

функции

4л:3 —4 > 0 ,

X3— 1 > 0 ,

л? >

1, х > 1 — интервал возрастания (1;

+ то).

Реш ен ие .

Вычислим производную

данной функции

у' — 6х2 — 18л:+

12.

Найдем интервал убывания функции 6х2 — 18х+ 12 < 0,

X2 — Зх + 2 < 0 .

1 > 0 (табл. 2, случай III,

стр. 157). Корни

D — 9 — 8 =

в этих интервалах функция

возрастает (рис. 83).

863. у = 2х3- 15х2 + 36х

—20.

— —

Область определения функции 'у — (— сю; 0) и

Р е ш е н и е .

Найдем

область

определения функции:

х — х2^ 0

или X2 — х ^ О .

III, стр.

157). Корни уравнения

D^> 0 (табл. 2, случай

х2 — х — 0,

^ = 0

и х2— 1. Неравенство (равенство нулю)

вале [0 ; 1].

производную

от данной

функции

Найдем

,

__ 1—2х

У

~~2

■

одинаковые знаки.

Знаменатель

2 У х —х2 > 0 ,

следова­

тельно, числитель

1 — 2х > 0. Имеем:

I 1 — 2х > 0,

[ 2 у гх — х2> 0 ,

откуда

—2л:> — 1,

х < у .

Учитывая,

что область

определения

функции

[0 ;

1],

имеем

0 ^ х ^ ~ .

Знаменатель 2 У х —х2>

0 , но

при

х = 0

и

х=П он

обращается в

нуль,

а

так

как

функция

определена

Д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к м а к с и м у м а

ф у н к ц и и

у — f (х)

Функция y —f (х) при х — а имеет максимум, если:

1)

f'(a) = 0 ;

f

(х)> 0 ;

2)

при х < а

3)

при X > a

f

(.X) < 0 .

Д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к м и н и м у м а

ф у н к ц и и

у = f (х)

Функция y = f(x) при х = а имеет минимум, если:

1)

Г(«) = 0 ;

/ ' (х) < 0 ;

2)

при х< .а

3)

при X > a f' (х)> 0.

ные корни (стационарные точки); хг, х2, х3,

,

хп.

III. Расположить найденные корни хъ

х2,

х3, ..., хп

Затем найдем

знаки производной

f

(х) для

х <

и для х > х 2—и

так для каждого

из

корней

произ­

водной.

IV. Найти максимальные и минимальные значения

функции. Для этого надо вычислить

значения функции

Построив эти

точки, получим параболу у —х2 — 4х

(рис. 86). Точка

минимума функции (2; —4) является

Рис. 86

Рис. 87

При

х < 1

знак

производной у'х <х = { —) ( _ ) = (-]_)

[первый

знак

( —) знак перед скобкой и второй знак ( —)

знак скобки

(х — 2)].

ух > і = ( — ) ( + ) = ( —).

При

х >

1

знак

производной

Производная меняет знак с (+ ) на ( — ), следова­

тельно, функция при X — 1 имеет максимум.

4. Найдем максимальное значение функции при л:= 1 і

Ух-і ——12+ 2 - 1 = 1.

5. Составим таблицу:

X

0

1

2

У

0

1

0

Максимум

Точка пе­

функции

ресечения

с осью Ох