книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Найти производные функций.

Найти

/'(2).

795.

f {х) = 3 arctg х — 2 arcctg х.

на­

Р е ш е н и е .

По формулам

(6.1),

(6.25а)

и

(6.26л)

ходим:

з

5

/'(*) =

1.

1+х2

1+Л '2 ’

796.

1)

/ (х) = arctgX.

Найти

/ ' (]/3 ).

2)

у =

= X(arctg X+

arcctg х).

797.

у = arctg 2х.

(6.25) имеем:

Р е ш е н и е .

По формуле

У =

1 +

(2л:)2 ^ ’

У

=

1+4л:2 ' 2 =

1+4х2 '

798.

1)

у = arctg х2;

2)

у = arcctg Зх;

3)

у = arctg

Решение. г/' =

\ + {Ѵ2х)г (V2х)'

1+ 2* 2 Ѵ2х X

X (2х)' = -

------ • 2 =

—

'

1 +

2х 2 Ÿ 2 X

(l+2x)-V2x *

800.

1)

J/=

arctg уѴ,

2) у — arctg -)=■.

у = arctg

У*

801.

1)

2) «/= a rc tg ^ |- .

у как функцию от х:

Зг/' + 15х2 = 0.

Решив последнее уравнение относительно у', получим:

у' = —5х2.

803.

1)

2х2 —5м+ л:= 0; 2)

2у —х — х2+ 1 = 0.

804.

у2- 5 х + х2 = 0.

Р е ш е н и е .

Рассматривая у как функцию от х, най­

дем производную по переменному

х :

откуда

(у2)' -

(5X)' +

{X2)' = 0;

2уу' -

5 + 2* = 0,

805.

1) г/2- * 2+

4 * - 5 = 0;

2)

2у2-

Зх2+ х = 0.

806.

4 - + -S-“ 1-

а2

о2

рас­

Р е ш е н и е . Дифференцируем по переменному х,

сматривая у как функцию от х:

4 г +

і г

^' = 0 ;

Рх + а*уу' = 0 ;

=

807.

1)

х2 + у2 = а2-, 2)

3)

у2 = 2рх.

808.

Составить

уравнение

касательной

и нормали к

X2

и2

эллипсу -gÿ—I—§4“= 1 в точке (—3; —4).

Р е ш е н и е .

Дифференцируем

уравнение

эллипса

по

переменному х,

рассматривая у как функцию от х:

| f +

4 ІГ = 0’

8х+9уу' = 0,

откуда у' = — ^~ .

Найдем

угловой

коэффициент

касательной

в

точке

( - 3 ,

-4 ):

...

8 (—3)

2

— 3 Ух = 3

g (—4)

3 *

Составим уравнение касательной к эллипсу в

этой

точке

(см. задачу 686):

у-{-А —— о'С’с +

З),

2х -f- Зу-\-18=

0.

Найдем

угловой

коэффициент

нормали

в

точке

( - 3 ,

-4 ):

1

_

_3

kнорм ■

^КЯГЯТ

2

Запишем уравнение нормали

в этой точке:

У+ 4 = ~2 (х-\- 3),

Зх —2у-\-1—0.

809.

Составить

уравнения

касательной

и

нормали:

1) к окружности х2 + у2 = 25 в точке

(—3;

+4);

2)

к ок­

ружности х2-\-у2= 169

в

точке

(12;

—5);

3) к эллипсу

+

1 в точке (—8 ; 3);

4) к гиперболе

-

у~ =

= 1

в

точке

(—5;

6);

5)

к

параболе

у2 —8х

в

точке

(2; —4); 6) к

параболе у2 —9х

в точке

(1; 3);

7)

к

пара­

боле у2 — 6х

в

точке

з |.

810. х2—Зхг/ —4 = 0 .

ху — произведение

Решение,

(х2)' — (Зху)’ — (4)' = 0 ;

переменных

величин,

поэтому

(ху)'= х ' у у ' х ;

2х —

- 3 ( х ' у + у'х) = 0-, 2х — 3у — Зу'х — 0;

у’ = ^ ^ L .

811.

1) х2+ хі/ +

1 = 0;

2) ху= 1,

3)

ху2—

812.

1)

у2 + у —х =

0 ;

2)

у2 + х2 — х — у = 0 ;

— х2у == 2 .

y3 -

813.

1)

(г/+ I)2— 5х = 0;

2)

( у - 1 )2+ х2= 0;

3)

Реш ен ие, (sin у)’ = (хг/2)';

cos у - у ’ = х'г/2+

(у2)'

cos у-у' = у2А?2уу'х; cos у • г/' -

2xyÿ = у2; г/' =

^ f _ 2xy•

815. 1) cos2г/= х2; 2) tgу = ху.

818.

1) е~ѵ= х3; 2)

1пу = х2; 3) \пеУ = х.

§ 42.

Вторая производная

и ее приложения в механике

Если

функция y = f(x) имеет производную у’ — f

(х),

то производная от f' (х) по х (если она существует)

на­

порядка.

второй

производной:

Обозначения

У ,

Ух,

<Ру

или /" (х);

Pf(x)

dx2

dx2

При прямолинейном движении точки ускорение

а в

данный момент

t = tt есть вторая

производная

d2S

от

пути s по времени t,

вычисленная

для данного момента

t = tv

Найти вторые производные функций.

819. г/= X3 — 2х2+ 4х — 5.

произ­

Р е ш е н и е ,

у '= Зх2—4х + 4. Приняв первую

водную за функцию,

найдем вторую

производную:

1

■(2 Ѵ^х)';

У '2 Ÿ 7 ’

У'

(2 Ѵ х ) ‘

У =

1 . 2 -

1

4*

4х

2 Ѵ"л:

823.

1)

s = — y ;

2)

s — (2i2 — l)2; 3) s = - ^ - .

824.

y = sin2x.

Реш ен ие, y' = 2 sin x cos x = sin 2x;

y'' —cos 2x (2x)' = cos 2x ■2 — 2 cos 2x.

825.

1)

y — cosx;

2)

y = igx.

826.

1)

s — eco^ ;

2)

s = e~sint.

У ~ V x 2 V x ~ 2 x ’’

У = —

= ~ 4^ -2 = — à?-

жущейся

прямолинейно

по

закону:

1)

v = t3 — 2t, t = 2;

2)

у = 2 sin у ,

t = ~ .

Р еш ен и е .

1) a — ~

— Zt2 — 2\ су- 2= 3 - 22— 2 =

10;

0 ч

do

0

t / 1 У

0

„ , £

1

, f

2) й —

— 2 cos у

—

2 cos -g- • у

— соь у ;

а

2л

я

1

2* = cos 5^

= cos т

= т .

з

830. Найти ускорение точки в указанные моменты

времени t, движущейся прямолинейно по закону:

1)

y = 6 sin^-,

t —л; 2)

y =

4cos-^-,

t = ^-;

3)

v = t3 — t2 + 1,

t = 3; 4) v = t3- 2 t 2 + t, t — 2.

831.

Найти

скорость

и ускорение точки в указанные

».

ds

nt fn tV

0

nt n

2n

nt

V =

d t =

2 c 0 S -з Ы

= 2C0S

3 - y =

T

COS3-

V f-і -

2я

я

2я

1

я

“ Т

c ° S y =

■ —

:

= Г

2

¥

tPs

do

2я /

.

n t\

l nt y

_

й ~ dP — di ~= 3 (

s i n y )

U

--

“

2я

я/ Я

2я2

я/

3~ sin

п

=

"

T

sm "3 :

.

2я2

. я

=

2л2

ѴЗ

Ö/-1 = —

-g"

Sill y

9 ’

2

832. Найти

скорость

и ускорение точки в указанные

вверх,

находится

из уравнения

s = v0t —4,9/2, где t —вре­

мя

(в

секундах),

за ^которое

тело

достигает высоты s

(в

метрах),

ѵ0— начальная скорость

(в

м/с). Найти

ско­

рость

и ускорение движения тела в момент / = 5 с,

если

ѵ0— 100 м/с (сопротивление

воздуха

не учитывается).

Через

сколько секунд тело достигнет

наивысшей точки

и на каком

расстоянии от земли?

подъема

в момент / = 3 с; 2) скорость и ускорение в мо­

мент / =

3 с; 3) наивысшую точку подъема тела и время,

закону

s = 3e“2*. Найти скорость и ускорение движения

тела в

момент / = 0 .

закону

s = e'3<. Найти скорость и ускорение

движения

тела в момент / = 0 .

прямоли­

839.

Материальная точка массы т движется

843.

Составить уравнения касательной

и

нормали:

1) к кривой у — sin 2а: в точке

2)

к кривой

y = cos2x в точке

844.

Определить острый угол между кривыми у — sin*

847.

Отыскать острый угол между кривыми y = tgx и

у = ctgx

в точке их пересечения в интервале ^0 ,

Найти производные функций:

___

848.

1)

у = In ( х - 1 / ^ 1 ) ;

2)

y = \n x+Ÿ £ =À:

X—y X2—1

э

у - ^

Ѵ

Ш

-

______

849.

1)

=

2) У= ln sin2 <JC— 1);

3)

U —

=

lntg2z2.

850.

1)

y — ln У х lnx2;

2)

т/ = 1п^1п^-);

3)

y =

=

ln (in V x 2-

l).

851.

1) s =

lnesin2*; 2) у = е?іпх cosx;

3) y = e ^ x cos2x.