книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

716.

1) у-

1

2)

Г

1

3)

у- sin (хэ— 1) ’

~ sin JC

sin За: ’

4) У

1

6) У

1

5) у =

sin3 2х

sm у ;

sin2 л:

717.

у —У sin2x.

(6.12)

и (6.15)

получим:

Решен ие . 'По формулам

У'

1

(sin 2х)';

у' ■

cos 2х (2x')j

2 У sin 2а:

2 У sin 2х

У'

1

cos 2х • 2 :

cos 2х

=

ctg 2х ] / sin 2х.

2 У sin 2 а :

У sin 2х

718.

1) / (t) = У sin t ;

2)

i/ = y s in x 2.

719.

у —У sin2 5х.

радикал

дробным

показателем:

Р е ш е н и е .

Заменим

2_

у = У sin2 5х = (sin 5х)3.

О

_ ±

у'

о

_ ±

У ^-(sin5x)

3 (sin5x)';

(sin 5х)

3 cos5x(5x)';

и

,

2 /

.

г ч—-г

г

с

10 cos 5л:

— — (sin 5х)

3 cos5x-5 = —

- -

*

3

3 У sin 5х

720.

\) у = У

s\n3x\

2)

г/=

j/sin

j / x .

721.

1) у-

----ö “ *

2)* 7 УУ

- і / —r - s — »

U

8/"~r—X— •

У sm

Зх

У sin3 X

3) у = -у

sin2 х

линейно

по закону s=4sin3^ в момент

времени t = у

(s в м, t

в с).

2) Найти ускорение точки, движущейся прямолинейно

по закону и — sin 2t в момент времени 1= |

( S B м, і в с),

Реш ение . Найдем

производную

функции y — sïnx

при

л

'-

X ~ Y

у' — COS X,

у'

л — COS-Î-

1

X —

-Z-

о

2 *

а —arctg Y (рис.

78)

724.

Найти

угол

на­

клона касательной

к

оси

Ох, проведенной к

кривой

у —smx

в точке

2л

x = -g-.

725.

Найти

координаты точки,

в которой

касательная

кривой г/= sin л; ( 0 <

л:<

_____

___

__уСз

-g-J образует

угол arctg

726.

Найти,

под

каким

углом кривая г/= sin л: пересе­

кает

ось

Ох в точке х = п.

Р еш ен и е .

1.

Найдем

угловой

коэффициент каса­

тельной к синусоиде в точке

х = я:

kx=n —(sin х)х=л =

= (cos х)х=п = cos Я = — 1

(рис.

79).

2.

Найдем

угол ос,

образуемый касательной

в точке

х = п:

I

4

Зя

tg a = — 1, а = -4- .

727.

Найти

под каким

углом

кривая

t/ = sin л; пересе­

ной к кривой y = sin3x в точке

oj:

k — у' = 3 cos Зх; k

я = 3 cos 3 •

= 3 cos я = — 3.

,

*=з

3

. 1

(

Ѵ ъ \

вой у — sm-g-л: в точке Ія;

—g—I.

Реш ен ие .

По

формулам (6.5),

(6.1), (6 .8) и

(6.16а)

получим:

f ix )

(cosx-f-1)' (cos X— 3) — (cosX—

1)' (cos x-\-1)

_

(cos X — l)2

- sin X (cos.r— 1) — (— sin x) (cos x-\-\) _

2 sin л

(cosx— l)2

(cosx— l)2 ’

2 sin

я

Ѵз

=4 / 3 ,

r (4 ) =

я

,

l -

l

2

cos 3 -

1

731. 1) /(*) = т Т І £ 7 -

Найти

2) */= 2 s i n x -

— cosx + 3;

3)

*/= 3 sin x +c o sx — x;

4)

/(x) = 2 s in x —

- 2 cosx. Найти

732. 1) f (() = sin t cos/;

2) f (x) = sinx (1 — cosx); 3) у =

= xcosx; 4)

/ (x) = cosx(1 + sinx).

733. у —cos (x2— 3).

получим:

Р еш ен и е . Применяя формулу (6.16),

734.

1) у = cos*3;

2)

у — cos-^-;

3)

у =

cos] / 2л.

735.

1) у = cos3x;

2)

г/= cos2—

3)

у = cos2- ^ .

К*

I

736.

1) у-

cos 2х

2) у = .

/ 3 Î

’

3) у-

cos2* ’

COS

4) У ~ cos3 (x2 — I) ‘

737.

1) t/=> j/^cos 2л:;

2)

I/ = | / C O S A :3;

3) I/ = ]A;os У 2л:.

738.

1) y = y^cosx\ 2)

у--

1

;

Q.

1

v<

3) y = -

739.

i/ = (1 -f- sin 2л) cos 2л:.

' cos *2

'

cos2*3

производной

произведения

Решение.

По

правилу

получим:

«/' = (!-{- sin 2л:)' C O S 2л +

( C O S 2х )' (1 +

sin 2л:).

Применив

далее

правило

дифференцирования суммы

и формулы (6.15) и (6.16),

получим:

740.

1) у — (1 — cos 2л) sin 2л; 2) у ■

cos2 л

X

; 3) fix)

1 + COS2

— cos3л • sin л. Найти f

741.

Найти

скорость

и ускорение

точки,

движущейся

прямолинейно

по закону

s — — 2 cos 21 в момент времени

t =

-я-

1

6 '

Составить уравнения касательной и нормали к кри­

742.

вой y = cos3x

в точке

0).

Найти производные функций.

753.

i/ =

ctgx + .x;.

(6.18а) и (6.9), получим:

Р еш ен и е .

По формулам (6.1),

1

, j __— 1 + sin2 X _______ 1 — sin2 X

ctg2X.

sin2а:

'

sin2X

sin2*

754.

1)

/(х) = 1 +

| р ;

2) /(*) = c t g * - t g x .

Найти

755.

y — cig (ax-\-b).

(6.18) получим:

Р е ш е н и е .

По формуле

У

sin2 (ах+ 6 )

(а х ~Т~Ь) ,

У

sin2 (ах + Ь) '

756.

1)

г/= ctg JC3;

2)

y = c t g ~ ' , 3) i/ =

ctg- ^- ;

4) г/= ztgV 2x .

____

757.

1) у = ctg3x; 2) y = Vctg2x;

3) у = — ctg~ — -j X

X Ctg3 y .

758.

1) y = —

2) у

I

ѴЯГ*'

ctg2 2A£

При условии Я= ф (X)

При условии и = X

1

(Іп и )'= ~ и '

(6.19)

<Іп *>, = т

(6.19а)

и

(lg и)’ (0,4343 In «)' =

(6.20а)

0,4343 ,

(6.20)

(.g *r

° ’Г

= ---------- и'

и

1

w

а — х

(а+ х)2

1 — (а+ х) — (а — х) _

1

— а — х — а + х

а — х

а + х

а — х

а + х

_ — 2а

2а

а2— X2

ж2 — а2

’

г,

/0 ^

2а

2а

2а

2

I

— (2а)2 _ а 2 ~ 4а2 — а2 — За2 ~

За*

4

т («+*)' =

= ____ 1_________1 _ _

2а

а — х

а + х

X2 — а2 ‘

Второй способ нахождения

производной значительно проще

0,4343

1Ох- 4,343*

5*2+ 1

5дс2- г 1

у = у In (2х) = у In 2 + у ln X.

По формулам (6.1), (6.8) и (6.19а) получим: у' = \

• - - J - .

Z

X

ZX

770. 1)

y = lnVr2x= l ; 2) t/= In

3)

у =

= lg j/x 2-f 4;

4) у — \п |/ ~ yïpj-

779.

1) f (х) = 1пхех; 2) /( х) = хЧх\ 3)

f(x) = ex - x e x;

4) у —

Зхех\ 5) y = Çc", 6) f (х) = 5\пх-\-ех.

Найти ^ (1).

f/ л л

{ех + \ ) '{ е х - \ ) - ( е х - \ у { е х + 1) .

/

W —

(е^—1)2.

ех {ех — 1) — ех (ех + 1 )

_

2ех

*=

(ех _

1)2

—

(ех — 1)2;

/'( — 1) = —

2е~»

2е

2-й способ. Прологарифмировав функцию, находим

производную логарифма:

In / (х) =

In (ігх+

1) — ln (ех — 1);

1

« м .

**

_

е*

_

(ех -{-\)(ех — 1) *

f ( x ) '

W — e* + i

е-*—1

Находим /' (х):

f'(x) - f(x)

~ 2е*

-

е*+ 1 ____~ 2^

2е*

(е* -1)2

*

К_р*

1_р*

781.

1)

2)

г/ =

у = ^

;

1

782.

еЛ +

2 ’

7

д

у = 32х\

(6.21)

получим:

Р е ш е н и е . По формуле

у ' =

З2*2In 3 • (2х2)';

у'=

З2*2In 3 • 4х = 4х • З2*2In 3.

783.

1)

у = 5*3;

2)

у = 2Ѵх\ 3)

у = Зіпх; 4) y = 2~cosx.

784.

у = е2х.

имеем:

Р е ш е н и е . По формуле (6.22)

у' = е2х(2х)'\

у' — егх-2 = 2е2х.