книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Уравнение касательной к данной кривой y = f(x), про­ ходящей через точку на ней М (хх; уг) имеет вид

Это уравнение получено из уравнения прямой, прохо­ дящей через данную точку М (xx; ух) с данным угловым коэффициентом k, где

£*=*,=/' (хг).

Нормалью к кривой у = f (х) в данной ее точке М (хх; у,) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания М (xx; г/х).

Уравнение нормали MN (рис. 71) имеет вид

Уравнение (6.14) — уравнение прямой, перпендикуляр­ ной к прямой (6.13); по условию перпендикулярности двух прямых имеем

в этой точке, и осью Ох.

Углом между пересекающимися прямой и кривой назы­ вается угол между прямой и касательной к кривой, про­ веденной через точку их пересечения (рис. 72).

Углом между двумя пересекающимися кривыми назы­ вается угол между касательными к этим кривым, прове­ денными в точке их пересечения (рис. 73).

і.Вычисление углового коэффициента касательной, проведенной в данной точке данной кривой

680.Найти угловой коэффициент касательной, прове­ денной к параболе у = 2х2 в точке, абсцисса которой равна единице.

Р е ш е н и е . Для вычисления углового коэффициента касательной к параболе у = 2хг найдем производную функ­ ции у — 2х2 и вычислим производную при х — \\

х= 2 .

685.Найти угол наклона касательной к оси Ох, про­ веденной к кривой у = х3 в точке х = —2 .

III. Составление уравнений касательной и нормали, проведенных в данной точке данной кривой

686. К параболе у = 3х2 — х в точке х = — 1 проведены касательная и нормаль. Составить их уравнения.

иугловой коэффициент касательной.

1.Найдем ординату точки касания, подставив в урав­

нение параболы значение х = —1:

Ух—1= 3 • (—I)2— (—1) = 4; М (—1; 4).

2. Вычислим угловой коэффициент k:

—1= у'х=-1 = (Зх2— х) ; = _ 1 = (6х — 1)*__і =

=6 - (—1) — 1 = —7.

3.Составим уравнение касательной, подставив в урав­

нение (6.13) координаты точки М (—1; 4) и значение k =

у — 4 = —7(х-{-1), 7х-}-£/-(-3 = 0 .

4. Составим уравнение нормали, подставив в уравнение (6.14) координаты точки касания М (—1; 4), через которую проходит нормаль, и значение углового коэффициента

kx—1= —7

у — 4 = — ^ ( х + 1 ) или X — 7у-\- 29 = 0.

687. Составить уравнения касательной и нормали к па­ раболе у = х2— 7х+10 в точке х = 4.

688. Составить уравнения касательной и нормали к кри­ вой у = 2х3 в точке х — —1.

IV. Вычисление координат точки данной кривой,

вкоторой касательная к этой кривой образует данный угол с осью Ох

689. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у = х2 —х — 12 образует угол в 45° с осью 0%.

Реш ен ие . 1. Найдем тангенс угла наклона касатель­ ной, проведенной в искомой точке к оси Ох:

tga —у' — (х2 —X — 12)' = 2х — I.

692. Найти, под какими углами парабола t/=x2+2x—8 пересекает ось Ох.

VI. Нахождение точки данной кривой, в которой касательная к этой кривой параллельна

(перпендикулярна) данной прямой

693. На параболе г/= х2— 2х — 8 найти точку М, в ко­ торой касательная к ней параллельна прямой 4х + «/+ 4=0.

Ре шение . 1. Определим угло­ вой коэффициент касательной к па­ раболе у — х2 —2х —8:

694.На параболе у = —х2+ 7х — 10 найти точку, в ко­ торой касательная к ней параллельна прямой х + у — 1 = 0 .

695.В какой точке касательная к параболе у — —х2+ 4 перпендикулярна прямой х —2у + 2 = 0 .

VII. Вычисление углов, образованных при пересечении данной прямой и данной кривой

696. Вычислить острые углы, образуемые при пересе­ чении параболы х2—4«/ = 0 и прямой х — 2г/ + 4 = 0.

Р е ш е н и е . 1. Найдем точки пересечения параболы и прямой; для этого решим систему уравнений

( х2—4у = 0 ,

\ х - 2 у + 4 = 0.

Корни этой системы Xj = —2, ух=1 и х2= 4, у2 = 4, следовательно, парабола и прямая пересекаются в точках А (—2, 1) и В (4, 4) (рис. 76).

1 + 2

697. Вычислить острые углы, образуемые при пересе­ чении параболы у2 —х —О с прямой х-\-у — 6 = 0.

VIII* Вычисление углов, образованных при пересечении двух данных кривых

698. Вычислить острые углы, образуемые при пересе­

чении двух парабол у2 — 4х и х2= 1 ÿ.

>Найти производные функций.

______и____

~1— ѴТ^Пй**

7 0 6 . Вычислить острые углы, образуемые при пересе­ чении параболы у —хг2 и прямой х — у + 6 = 0 .

Контрольная работа

Iв а р и а н т

707.Найти производные функций при данном значении аргу­ мента (1— 3):

(s в м, < в с). Найти ускорение точки в конце второй секунды.

5. Составить уравнение нормали к параболе у ~ х %— 6x-j-8 в точке с абсциссой х = 4.

710. 1) f(x) = sî ^ ~ ± t Найти / ' ( £ ) ; 2) y = *2+ sinx;

3)г/= л: sin л:.

711.y = sin (2л:2+ 3).

у' — 3 sin2« (sin и)';

у’ = 3 sin2«^cos и • и' = 3 sin2mx cos тх (тх)';

у' = 3 sin2тх cos тх -т = 3т sin2тх cos тх.

714. 1) y — sin2x; 2) f = sin3 5<p2; 3) г/ = 5Іп2 — ; 4) у —

= sinзу гх.

у(sin2 З*)2' (sin2 Зх> ’

у' = — ---J э--- • 2 sin Зх cos Зх (Зх)';

У' = — ш Ь 7 - 28Іп3хс083х-3 ~ Ш § -

2-й способ. Введем отрицательный показатель: