книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

xA + Kxß

__ _

УА + кУв

(1.3)

Хс~

1+Х ’

Ус

1+Х

где (хА, 'уА) и (хп\

ув) — координаты

концов

'данного

отрезка А В;

X= АС — отношение,

в котором отрезок

AB

делится точкой С (хс\

Ус)-

С пополам, то Я=1

Если отрезок AB делится точкой

и формулы (1.3) примут вид:

Хс

ХА + Хв

’ Ус

Уа + Ув

(1.4)

2

2

*

Нужно иметь в

виду,

что в задачах X обычно да­

ется как отношение длин отрезков, а поэтому предыдущий

и последующий члены отношения не

выражают длин отрезков в данной еди­

нице измерения. Например, АС = 12см,

СВ =

16 см: X-

АС

12см

£

СВ

16 см

4 '

1.

Вычисление координат середины отрезка

по координатам

его концов

19.

Точки А (— 2; 3) и В (6; — 9) —

концы

отрезка

AB.

Найти

точку

С —середину отрезка

AB.

задачи

Рис. 7

Решен ие .

В

условии

дано;

хА = — 2;

хв — 6; уА = 3

и

Применяя

Ув = — 9. Найти

С(хс; ус)-

формулы

(1.4), получим:

*с:

2 + 6

0

3 + (— 9)

— 3.

------ = А Ус— -

2

2

—

—

Серединой

отрезка

AB служит

точка С (2; — 3)

(рис.7).

іо

_9 _

5 +У в

* '

2

Решив

первое

уравнение относительно

хв

и

второе

относительно

ув,

найдем:

хв = 9;

ув = 1, т. е.

искомой

точкой будет

В (9;

1)

(рис.

8).

22.

Концом отрезка служит точка А (8; —5), а его середи­

ной точка С (5; — 2). Найти второй конец отрезка —точку В.

23.

По

и

концу

отрезка

В (— 3; — 2)

его

середине

С (— 2;

3)

найти

второй конец

отрезка — точку

Л.

III. Вычисление координат

вершин

треугольника

по координатам

середин его

сторон

24.

Серединами

сторон тре­

угольника служат точки D (1; 3),

Е (— 1; —2)

и F (4;— 1). Найти

Рис.

9

вершины треугольника.

Р еш ен и е .

Пусть точки Л,

В

ка, точка D — середина

и С — вершины

треугольни­

стороны

AB,

точка

Е —середина

стороны ВС и точка

Е —середина

стороны

АС (рис. 9).

Требуется

найти координаты точек Л,

В и С.

ХА + ХЯ

3

^ У а+ Ув

2

»

2

2 =

Ув + Ус

~

2

’

ХА+*С

1 =

Уа +Ус

Приведем уравнения к целому виду:

I хд-\-Хв —2,

I Уа -\-Ув = 6,

I Xß-hxc = — 2,

I Ув

Ус ~ — 4,

I Ха ~\~Хс ~ 8,

I Уа -\г Ус =

— 2.

Решив системы уравнений (вычисления предлагаем про­

делать

самостоятельно), получим:

и

Ха — 6, Хц — — 4, хс — 2

Уа = 4, ^д = 2,

Ус —

6.

Вершинами

треугольника

служат

точки

Л (6; 4)

В (— 4; 2) и С (2; - 6 ) .

середин

сторон

треугольника:

25.

Даны

координаты

(2; 1),

(0; —4)

и( —4 ; —1). Найти вершины

треугольника.

IV.

Вычисление координат

точек,

делящих отрезок, заданный координатами

его концов, в данном отношении

26.

Точка

С делит отрезок А В в отношении 3: 5 (от А

к В).

Концами

отрезка служат точки Л (2; 3) и 5(10;

11).

Найти точку С.

Р е ш е н и е .

В

условии

задачи

дано:

Хд= 2, xß=10;

Уа = 3,

ув = 11;

^ ==£§ = -§-•

Найти С (хс; ус)

(рис.

10).

По формулам (1.3)

получим:

2 + 4 - 1 °

3 + 4-11

=

6,

С (5,6).

хс = ------Ц — = 5, ус = ----- Ч -

*+Т

1 + І

АС

ЗѴ2

3

Проверка: ЛС = ЗѴА2, СВ = 5 ]/~2< ^ : СВ

5]f~2

5'

27.

Отрезок с концами

А (— 3;

В(ЮЦ1)

— 2) и В (9; 6)

делится

точкой

С

в

отношении

1:3

(от

В

к

А).

Найти точку С.

Замечание.

Первой

точкой

берется

точка

В,

поэтому

формулы

(1.3)

для

этой задачи

примут

вид:

-Хх.

Ув + ХуА

1 + Х

Ус =

1+ Л

го

28.

Отрезок,

концами

которо­

Рис. 10

служат

точки

А (3; —2)

и

отношении 2:5. Найти

В (10;

— 9),

делится

точкой С в

точку

С.

концы

которого

Л (— 11; 1) и 5 (9; 11),

29.

Отрезок,

Ре ш е н и е .

Обозначим точки деления

от А к В через

С и D. В условии задачи дано:л:л = — 11, хв —9,

уА= 1,

=11

и AC\CD:DB = 2 : 3 : 5 .

Найти С (хс;

ус) и

D {хо\ Уо)-

Точка С делит отрезок AB в отношении

АС

Х = СВ

3 + 5

По формулам (1.3)

получим:

Хс-

-1 1 + І . 8

= -

7 ;

і + -

11

С ( -

7;

3).

Ус-

1 + -

:3;

Точка

D служит

серединой

отрезка

AB.

Применив

формулы

(1.4),

найдем:

xD =

— 11+ 9

1 +

п

6; D ( -

1; 6).

= — 1;

Уо =

30.

Отрезок,

концами

которого

служат точки

А (—5;

— 2) и В (4;

2, 5), разделен в отношении 3 : 4 : 2 от А

к В.

Найти точки деления.

V. Вычисление координат

точек деления

отрезка

по координатам его

концов и числу частей,

на которые разделен этот отрезок

31.

Концами

отрезка

служат

точки

Л( — 8;

—5)

и В (10; 4).

Найти

точки

С

и

D,

делящие

этот

отрезок

на

три

равные

части.

В

усло­

Ре шен ие .

вии задачи дано : хА= —8,

хв = 10, уа — — 5, г/з =

4 и

п = 3. Вычислить С (хс\ Ус)

и

D ( X d -, yD)

(рис.

11).

Найдем

сначала точку С,

делящую

отрезок

AB

в

отношении

Я = у ,

де-

ление производим от Л к В.

По

формулам

(1.3)

имеем :

- 8 + І . 1 0

- 5 + ~ -4

Хс =

—2, ус = ------- ?—

= — 2;

* + Т

С ( -

2 ;

- 2 ) .

—— 2 10 л

— 2 -{- 4

ч

г\ / л

1 \

XD — ---- 2----- = 4>

Уй — ^—g—

= 1

D (4;

1).

Точки деления С (-“- 2 ;

—2) и D (4; 1).

Замечание. Точку D можно найти, деля

отрезок AB в отношении

2 : 1, тогда надо будет снова применить формулы (1.3).

32.

Найти точки, делящие отрезок AB на три равные

части.

Концы отрезка Л (3;

— 3) и В (— 3 ; 9).

33.

Концами

отрезка

служат

точки

Л (5; — 6) и

В (— 5;

9).

Найти

координаты точек, делящих этот отре­

зок на пять равных частей.

Р еш ен и е . Обозначим последовательные точки деления

от Л

к

В

через С (хс;

ус),

D (xD\ yD), Е (хв;

уЕ) и F (xF\

Ур).

В условии задачи

дано: хА — 5,

хв — —

5, уА = — 6,

Ув = 9,

п — Ъ. Найдем по формулам (1.3) точку С, делящую

отрезок

AB в отношении Я = -^:

* с=

5

+ і . (

- 5)

= 3 ,

---------

І-----

» + T

_

6 +

т .

Ус-

и +

■=

—

3 ;

С (3;

- 3 ) .

Найдем

точку

D,

делящую

отрезок

AB в отношения

Я

2_.

: з :

5+ 4 ' ( - 5 )

1,

- 6 + 4 - 9

=

0;

0(1;

0).

xD= ----- ----------=

yD = ---------4 —

1 + 4

1 + 4

Найдем

точку

Е,

делящую

отрезок

AB

в отношении

5 + 4 (-5 )

- 6 + 4 9

Хе — — -----о—

= — 1» Уе — ------- з— — 3;

Е (—1; 3).

1+2

1+ 2

'

Найдем

точку

F,

делящую

отрезок

AB

в отношении

Хр-- 5 + 4 . (— 5)

3 ,

ур--

- 6 +

4- 9 = 6;

F (— 3;

6).

=

1 + 4

:

1 + 4

Точки деленияС(3;

—3), D (1; 0), Е (— 1; 3) H F( — 3; 6).

34г

Концами

отрезка служат

точки

М (— 7;

—2) и

N (13; 3).

Найти координаты точек, делящих этот отрезок на пять

равных

частей.

VI.

Вычисление

координат конца отрезка

по координатам другого

его

конца и отношению,;

в котором он делится данной точкой

35.

Точка

С (3;

5) делит

отрезок

AB в отношении

АС : СВ = 3:4.

отрезка — точку

А,

если

концом его

Найти

начало

служит точка В (— 1;

1).

Р е ш е н и е .

В условии задачи дано, X =

,х с=3,

Ус = 5,

Хв = — 1,

г/в =

1. Найти

А (хА\ уА).

Подставим эти

значения

в формулы

(1.3):

і + т - ь і )

УА + -

3 =

5 =

1+

-

Решив

первое из уравнений

относительно хА и второе

относительно

уА,

получим:

хА = 6, г/д = 8. Началом

отре­

зка служит точка А (6; 8).

делит отрезок AB в отношении

36.

Точка

С(— 3; 1,5)

АС: СВ = 3:2.

Найти

начало

отрезка — точку

А,

если

концом его служит точка В (7;

—3,5).

AB в отношении

37.

Точка

С (— 2;

1) делит

отрезок

АС: СВ = 2 : 1 .

Найти

конец отрезка —точку В, если на­

чало его —точка

А (— 10;

5).

VII.

Вычисление координат точки, лежащей

на продолжении отрезка, по координатам концов

этого отрезка и по отношению данного отрезка к отрезку,

служащему его продолжением до искомой точки

38.

Отрезок AB задан точками А (— 9; —3) и 5(1; 2).

До какой точки С нужно продолжить отрезок AB, чтобы

AB : ВС = 5:3?

В условии

задачи дано: хА = — 9,

== 1,

Р е ш е н и е .

г/л = — 3, г/в = 2,

Я = ^ - = у .

Найти С (хс;

Ус)-

Для точки 5(1; 2), делящей отрезок АС в данном

отношении,

уравнения

(1.3)

запишутся в таком виде:

— 9 + _ r * c

—

!

=

-----------4 —

.

2

=

------------4 ------.

Решив

эти

уравнения

относительно

хс

и ус,

найдем:

Хс —7, ус — 5;

С (7; 5).

39.

Отрезок

задан

точками

А (— 4;

7)

и В (— 3; 5).

Найти на продолжении отрезка AB такую точку С, чтобы

AB : ВС = 1 : 7 .

задан точками

А (— 5;

— 2)

и 5 ( — 1; 0).

40.

Отрезок

конец

отрезка—точка Л (8;

6), вторая

точка

деления

(от А

к В) D (2;

4). Найти точку В.

хА = 8,

г/л= 6,

Ре ш е н и е .

В условии

задачи дано:

В (хв\ ув). Точка D делит

отрезок

(от Л

к В)

в отноше­

нии

. _ AD _

2 _

2

K ~ D B ~ 5 - 2 ~ 3 *

Применив формулы (1.3) для точки D (2; 4),

получим:

2

2

2 = ---- V .

4 = ----

1 + -

1+ -

Решив эти уравнения относительно хв

и ув,

найдем:

47.

Отрезок заключенный между точками Л (—6; 8) и

В (9; 12),

разделить в

таком же

отношении (от Л

к В),

в котором

находятся

расстояния

этих точек от

начала

координат.

Р е ш е н и е .

Найдем расстояние точек Л и В от начала

координат (рис.

13):

АО = У (—6)2 + 82 = Ш,

ВО = / 9 2+ 1 2 а = 15;

. _

АО _

10

_

2_

К ~

ВО ~

15

—

3 •

XI.

Вычисление координат точки

пересечения

медиан треугольника по координатам трех его вершин

49.

Даны вершины треугольника Л (хА,

уА), В (хв; ув)

и С (хс,

Ус)-

Найти

точку

пересечения медиан этого треу­

гольника.

курса геометрии известно, что медианы

Р еш ен и е . Из

треугольника

пересекаются

в

одной точке,

в

которой

каждая медиана делится в отношении 2:1,

считая от

соответствующей вершины треугольника.

Найдем точку D —середину

стороны ВС по формулам

(1.4):

xD

хв + хс ..

Ув+Ѵс

2

*

У °

2

По

формулам

(1.3)

найдем

точку

М,

в

которой

пересекаются

медианы,

для

этого разделим медиану AD