книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Г (- 1 ) =

4

(-І)ь

^ і~

*

4

~

"

4

П 2) = - ’2»

32

_

1

12

2) у = х*угх —г*- х г =

х 3.

По формуле (6.10а) найдем:

10 Ѵ°-і

10

т

Ух=1

10

13 = 3 т -

У

-

у <5

3

642.

1) f{x) :

Найти / ' ( у1) ;

2) /(х)< :у/'хі . Найти

/ ' (—8);

3) у — х У х у ^ х . Найти

^_î-

644.

1) f(x) = - x * - f9x2 + x - l .

Найти

Г (—1);

2)

f {x) =-А-х* —-1-х3 + ^-хг— 1.

Найти

/'(3);

3) /(/) =

=

0,5f8 + 0,6fs+

0,8/ + 8.

Найти

/'(1).

645.

y = у лд

- L + i - . - L - M .

Р е ш е н и е .

Ил:

л:2 5х3

Заменим радикалы дробными показателями

8/—

2

. 3

+ 4 =

У = у х - ~ 7 = + -

5лс3

УX

X2

= х 3 —2х

1

2 + 3х 2 — -=-х~3 + 4;

У = я-*"

І\ ..-тг-* +

3 (—2) X-2-1 -

*(—3)х“3"’ =

!

_

і

5 Х~4 =

*

Q i . .

О

“

3*

- f X

2 —■6х 3 +

1___ 6 ,

_з_

= — -=- 4-

X Y X

Xs

5х* '

3 yrx2

646. 1) у = —Зх~5 +

15х~4 — 2х_3 + X-14- 2;

2)

1

1

1

Зх;

у = Ах4 +

Зх3 +

4х’2 +

3)

г/= ѴТ3-

|/х

4

+

- +

8;

лг2

X

1 + 1.

4)

г/= 2]Их

2

Их

Ш.

Производная

произведения функций

Найти

производные

функций.

647. f(x) =

(x3- l ) ( x 2 + x + l ) .

формулам

(6.2), (6.1),

Реш ен ие .

1-й

способ.

По

(6.10а), (6.8),

(6.9)

получим:

Г H) =

(X3 -

1)' (X2 + X + 1 ) +

(а:2+ X+ 1)' (а:3 -

1);

Г (X) = Зх2 (х2 + х + 1) + (2х +

1) (х3 -

1);

/' (х) — Зх2(х2 + -х+ 1) + (2х+ 1) (х — 1) (х2 + х +

1) —

= (х2 + X +1) [Зх2 + (2х + 1) (х - 1)] =

= (х2 + х +

1) (Зх2 + 2х2 —2х + х — 1) —

= (х2 + X +

1) (5х2 — X — 1)

или, перемножив эти трехчлены, запишем:

/' (х) =

5х*+ 4х:і

Зх2 —2х — 1.

2-й

способ.

Найдем

произведение

этих сомножителей:

f (х) — (х3 — I) (х2-\-х-\-1) = x5-{-xiJrX3—х2 —х —

По формулам (6.1),

(6.10а),

(6.9)

и

(6.8)

найдем

про­

изводную:

Г (X) = (х*У + (# )' + (х3У - (х2)' - ( * ) ' -

Г =

= 5 л:4 + 4х3+ Зх2 — 2х— 1.

Получен тот же результат.

/ (х) =

(Зх2 +

1)х

648.

1)

/ (х) = (2х +

1) (х2 ф- Зх ■—1 ); 2)

Х(2х2 + 3);

3)

/ (х) =

(х3 + х2 +

х + 1) ( х -

1).

IV.

Производная

частного

Найти производные функций.

Решен ие .

По

формулам

(6.5),

(6.1),

(6.10а),

(6.8)

получим:

,

(Л;2+ 1)'(Л;2_1)_ (л:2 _ 1у (Л|І!+1)

У

( Х 2 —

1)2

,

2х(х2— 1) — 2х (х2-(-1).

У

_ 2х(х2— 1— х2— 1)

У

~

(х2— 1

) 2

’

~ ~

( * 2 -

1 ) 2

—

2х (—2)

Ах

~

(X 2 — I)2 ~

_

7^2—

1)2 •

650.

1)

у

х — а

2) У

X 2

3)

У

х2- х -\-1

x-j-a’

2 — X 2 ’

F + T + T ’

4)

х2 — х + \

У

х2 +

1

•

(и'іу = пипіи'>( 6.10)

и

і

и' (6.11)

Найти производные функций.

651. г/= (х2-5д: + 8)6.

получим у — ив.

Реш ение . Положив и = х2 — 5х ф- 8,

По формуле (6.10) имеем:

у ’ = 6м5«' = 6 (х2 -

5х + 8)5 (я2 -

5х ф- 8') =

653.

у — (jpss — !j4 •

Р е ш е н и е .

и

1-й способ. Применим

последовательно

формулы (6.11)

(6.10):

1

[(х2- 1 ) 4]';

[(*2-1 )4Р

У

(х2 —1)8 4(х2 — 1)3(х2 — 1)';

У

1 -

4{x2- ï ) s -2x = -

(Х2— 1)8

8х

(* 2 - 1 ) 8

'

(А-а— 1)6 •

у =

(х2-

I)“4; у' = .—4 (х2 -

I)"*"1 (X2 -

1)' =

=

- 4(х2-

1)~5-2х:

8л:

(X2— 1)8

‘

Получили тот же результат.

1

654.

1)

у

1

(1—X3)«

; 2) у = (іax-\-b)n ’

655.

у

(X3 — I)4

(х2+ 1 ) 3 '

Р еш ен и е .

Применим

правило дифференцирования

частного и затем дифференцирования

сложной функции:

У

[(х3- 1 ) ф (Х2+ 1 ) 3 - [ ( * 2+ 1 )31' (X3 -

1)*

[(х2+1)3]2

—

4 (X3 — I)3 • Зх2 (х2+ 1 ) 3— 3 (x2 - f I)2 ■2х (X3— 1)»

“

(Х2+ 1 )8

“

2 • Зх (X3 — I)3 (х2+ 1 ) 2 [2х (х2+ 1 )— (х3— 1)J

(х2+ 1 )в

~~

6х (X3 — I)3 (х2+ 1 ) 2 (гхя +

г х - х 3- ! - 1)

~

(х2+ 1 )в

~

_

6 х (х 3 — 1)3 (х2+ 1 ) 2 (х3 + 2х +

1) __

(х2+

1)8

_ 6х (х3— I)3 (х3+

2 х + 1)

“

(х2+ і р

656.

1)

у

(^Ч-І)3

2)

аЧ~ X\я

(x3-f-l)2

'

У = ,а—х)

2 У 1—2х

—2

(1+2*)

2

У I — 2х

1 — 2х

1+2*

2(1—2*)+1+2*

2 V" 1— 2л:

(1 — 2х) V \ — 2х

УУ^2х

1 — 2х

2 - 4 * + 1 + 2 * _

3— 2х

(1 — 2х) У У ^ Ъ с ~

(1— 2*) У 1— 2*

664.

1)

у-

3*

2) У-

3) у-

К9 + д

Ух*

Ух

665.

у = уУ(х3+ I)2.

кубический

корень дробным по­

Р е ш е н и е .

Заменим

казателем

и по формуле

(6.10) найдем

производную сте­

пени:

У =

Ѵ (Х3+ I ) 2 = ( Г * + 1)3;

У ' = | ( * 3+ i )

з (Хз+ J у

2

1)

3 -3x2 =

= 3 (Xя +

2*2

2х*

\_

Ѵ * ч т

'

(Xs + 1 13

666.

1) у = V X 3— 1 ;

2)

у = Y (ах +

Ь)3 ;

3) у =

= у(2 х — I)3;

4) f (t) = Y t 2 + t — 1.

Вычислить

/'(1).

§ 34. Физические приложения производной

При

прямолинейном движении точки скорость ѵ в дан-

„

, .

производная

ds

от пути

s по вре­

ныи момент t = ti есть

d(

мени t, вычисленная для данного момента

t =

Ускорение точки

а в данный момент t = tx есть произ­

водная

^

от скорости

V

по времени t,

вычисленная для

данного момента t — ti.

s выражен

в метрах

В задачах этого параграфа путь

(м), время t в секундах

(с), скорость

ѵ в метрах в секунду

жение точки задано уравнением:

1)

s = /3 + 5^2 + 4, t = 2,

2) s = y T , t — \\

3) s = /2 +

Ш +

30,

t = 3.

669. Найти

ускорение

точки

в

указанные моменты

Р е ш е н и е . 1. Определим

скорость

движения точки

в любой момент времени t

2. Положив V= 0, найдем t:

6 — 2t = 0, t = 3c.

В конце третьей секунды скорость точки равна нулю.

671. Точка движется прямолинейно по закону s = t2~

— 8^+ 4.

В

какой момент времени скорость точки будет

равна нулю?

торможении маховик

за t

с поворачивается

672.

При

на угол ф = 3 + 8/ — t2. Найти:

1)

угловую скорость вра­

щения маховика в момент времени ^ == Зс;

2) угловое уско­

рение в момент t; 3) момент времени t,

когда вращение

прекратится.

Реш ен ие,

Найдем скорость движения тела в момент

времени t:

dtds ' :6* + 1.

vt_4С— 6 • 4 +

1 = 25 м/с.

3. Определим кинетическую энергию тела

в конце 4 с:

— = — 2— = 3125 (Дис).

677.

Тело

массой

100

кг

движется

прямолинейно

по закону s = 5t2 — 2.

Найти

кинетическую энергию тела

I тѵ3 \

0

(-£—I через 2 с после начала движения.

678. Сила тока /

изменяется

в зависимости от времени

t по закону / = 0,4?2

(I

в

амперах,

t

в секундах).

Найти

скорость изменения силы тока в

конце

восьмой

се-

'кунды.

Скорость

изменения

силы тока есть про-

Решение .

изводная

di

j

по времени

t:

J Ï силы тока

/

ЗГ-

W

( f f U = ° - 8 ' 8 -MA/<=-

679.

Изменение

силы

тока

/

в зависимости

от вре­

мени — t дано уравнением

I — 2t2 — Ы (/ в амперах, t в се­

кундах).

скорость

изменения

силы

тока

в

конце

10 с.

Найти

§ 35. Геометрические приложения производной

Пусть

на

кривой,

уравнение

которой ‘ у — f(x),

дана

точка М(х 1, Уі),

для

которой

г/і = /(хі) (рис.

71).

угло­

Производная

функции y — f(x)

при х = Хі равна

вому коэффициенту касательной kx=Xt = y'x^ Xl — f (хг) = tga,

проведенной к

данной

кривой

у = /(х) в ее точке с

абс­

циссой х = х1;

а —угол между касательной

к данной кри­

вой, проведенной

через данную ее точку М (хх\ г/х),

и по­

ложительным направлением оси Ох.