Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 31. Скорость изменения функции

Различного рода физические процессы, которые мате матически могут быть представлены в виде зависимостей

между двумя переменными х	и у, в общем виде записы
ваются функцией
y = f(x),
выражающей процесс изменения переменной		величины у
в зависимости от изменения переменной х.
Вычисление скорости изменения функции проводится
по следующему общему правилу:
I. Изменение аргумента х	на некоторую величину Ах
вызовет изменение функции у	на величину Ду,	т. е.

y = Ay = f(x + Ax).

II. Находится приращение функции Ау, соответствую щее приращению аргумента Ах:

_ y + Ay = f (х + Ах)

______ y = f(x)__________

Ay = f(x + A x ) - f( x ) .

III. Средняя скорость изменения функции у для про межутка значений аргумента от х до х + Дх выражается отношением

Ау _ f(x + Ax) — f(x) Ах Ах

Отношение ~ показывает, сколько единиц прираще

ния функции приходится ..на единицу приращения аргу мента.

IV. Мгновенная, или истинная, скорость ѵ изменения функции при данном значении х есть предел, к которому

стремится средняя скорость | | при Дх->0 в промежутке

изменения аргумента от х до х + Дх, т? е.

ѵ= lim	Ay	lim	f (x + Ax)— f (x)
Д .ѵ - > 0	Ах	àx~*0	Ax

Для линейной функции y — kx-\-b	средняя скорость
vcv — ^- — k и истинная скорость о =	1 і г П д - = £ совпа-

дают по величине и численное значение истинной ско рости равно коэффициенту k.

I.Вычисление средней скорости изменения функции

623.Найти среднюю скорость изменения функции у —

—За:*23—6 при изменении х от дсх = 3 до а:2 = 3,5.

Решение . 1-й способ. 1. Найдем приращение аргу мента:

Аде = дс2 —■Хі —3,5 — 3 = 0,5.

2. Определим значения функции при Хі и х2:

г/х = 3 • З2 — 6 — 21, у2 = 3 • (3,5)2 — 6 = 30,75.

3. Вычислим приращение функции

Ау = Уі ~У і = 30,75 - 21 = 9,75.

4. Отыщем среднюю скорость изменения функции

2-й способ 1. Вычислим среднюю скорость изменения функции при любом значении аргумента по общему правилу:


I. у + Ау = 3 (х +	Аде)2 — 6 = Здс2 -f- бдсДдс + 3 (Аде)2 — 6;
II. у + Аг/ = Здс2 +	бдсДдс + 3 (Аде)2 — 6;
у = Здс2 — 6		___________________
Ау = блсАде +		3 (Аде)2.
III. ѵср = \| \| = 6xAxÿ		(Ax)2 = 6х + ЗАас.

2. Найдем приращение аргумента:

Аде = де2 — дсх = 3,5 — 3 = 0,5.

3. Определим ѵср при х = 3 и Ах —0,5:

ѵср= 6 • 3 + 3 • 0,5 = 19,5.

624.	1. Найти среднюю скорость				изменения функции
у —2дс2 + 5дс при		изменении	де	от дсх = 2 до де2 = 3.
2.	Закон	движения	точки задан формулой s — At2 —2.
Найти среднюю скорость				движения	точки за проме
жуток	времени	от /х= 4 до t2		— 6.

И. Вычисление скорости прямолинейного движения точки в данный момент времени

[по уравнению движения этой точки s = f (t)\

625.Прямолинейное движение точки задано уравне

нием s = 3t*23— 2t -j- 5, где t		дано в секундах	и s в метрах.
Найти скорость движения точки в момент t — 5				с.
Ре ш е н и е . 1.	Найдем	среднюю скорость движения
точки:
I. s + As = 3(/ + A02- 2 ( / + A0 + 5 =
=	3t2+ 6tAt + 3 (At)2- 2 t -		2Аt+ 5;
II. s + As =	3t2+ 6tAt + 3 (At)2- 2/ -		2А/ + 5;

—s — 3t2 — 2t-\-5

As = &At + 3 (At)2— 2At.

As __ 6Ш + 3 (A/)2 — 2AI		61+ ЗАt - 2.
At ~	At

2. Найдем истинную скорость движения точки в момент времени it

'		Лс	(6/-f ЗА/— 2) = 6/— 2.
	IV. V— lim j-, — Ііш
		д/—о
	3. Найдем скорость движения точки в конце 5 с:
		vt_b = 6’5 — 2 = 28		(м/с).
	626. Прямолинейное		движение	точки задано уравне
нием		s = 5t2 (t в с, s	в м). Найти скорость движения
точки в конце 10 с.
	627. Прямолинейное движение точки задано уравне
нием		s —2t2 —8 t— 10 (t в с, s в м). Найти скорость дви
жения точки в конце 8 с.
		§ 32.	Производная
	Производной функции y — f(x) называется предел отно

шения приращения функции Ау к соответствующему при ращению аргумента Ах, когда Ах->0.

Обозначения производной для функции y = f(x): у', ук, g или Г ( Х ) , Ш .

Вычисление производной функции y — f(x) произво дится по общему правилу дифференцирования в четыре шага:

I. Даем аргументу х приращение Ах и, поставив в функцию вместо аргумента х наращенное значение х + + Ах, находим наращенное значение функции:

y + hy = f(x + Ах).

II. Находим приращение функции, вычитая из нара щенного значения функции ее первоначальное значение:

ày'= f(x + A x ) - f(x ) .

III. Делим приращение функции Ау на приращение аргумента Ах, т. е. составляем отношение

Ay _	f( x + Ax)— f(x)
Ах	Ах

IV.	Находим предел этого отношения при Ах 0:
	lim	АУ	lim	f(x + Ах) — f (х)
	Дж—0	Ах	А-0	Ах
Найденный предел и есть производная от функции у =
— f (х).	Нахождение		производной называется дифферен
цированием.

Найти производные по общему правилу дифференциро

вания.	у = 2х2 —Зх. Найти частное значение производной
628.	у = 2х2 —Зх. Найти частное значение производной
при X = 3.
Ре ш е н и е .
I.	г/+ Дг/ = 2 (х+ Ах)2 — 3 (х + Ах) =
	= 2х2 + 4хАх + 2 (Ах)2 — Зх — ЗАх;
I,	г/+Аг/ = 2х2 + 4хДх + 2 (Ах)2 — Зх — ЗАх
~	у = 2х2 — Зх___________
	Ау — 4хАх+ 2 (Ах)2 — ЗАх.

III.| | = 4х + 2А х-3;

IV. Пт	Пт (4х + 2Ах —3) = 4х —3; у' = 4х — 3.
д*_0ЛЛС	Дж-0

Найдем значение производной при х = 3:

		у'х=з = 4-3 —3 = 9.
629.	1)	у —х2— X. Найти у'х=о\ 2) г/= х2 —5x-j-4.
Найти у ’х=і\		3) s — t3. Найти s<=2.
630.	1)	Найти у'х=3; 2) г/= р . Найти ух= - 1.

631. у= У ~х. Найти у'х=4. Ре ш е н и е .

		і .	у	а у =		V % Ах\
		И.	у-\-Ау = У х + Ах
			~		У= і7*				______
				Дг/ = \| / х + Ах—Ух;
		тут		ДУ ... Ѵ х + А х — Ѵ х
				Ах				Ах		:
	IV.	у’ — lim		Ахм		lim		Vх-\-Ах — Y X
	IV.	у’ — lim		Ахм		lim			Ах
			Дж-* О		А*—О
		lim	( Y X + AX — Y X ) ( Y X + AX + Y X )
		Ах-г о		А х ( Ѵ х + Ах - \- Ѵх)
	lim	-- - rхЛ-Ах — X ^				=	lim		- y	.....—	-r ~
	A X - * Ù A х ( У		х - \ - А х - \ - У х )				Длг-»о У х + Ах-УУ X
	_____ 1_____ __				1		Ух — А			1 _
	V x + Q + Ѵ х				2 Y x ’		Ух — А			2 Y y	4
	V x + Q + Ѵ х				2 Y x ’					2 Y y	4
632.	1) у = Ѵ х — 1.			Найти			у'х^5; 2)			# = —L- Найти
		_								Ух
у ’х=4; 3) у = У х . Найти					ухт=іѴ2.
633.	у —cos*. Найти				у -	п.
	**				У——

Х4

Ре ш е н и е .

I. г/+ Аг/= cos (л:+ Дл:);

II.г/-j- Af/ = cos (х-j- Дл:)

—у = COSX

	ІАу — cos(x		Ах) —cos х\
.	п . х-\-Ах + х . х-\-Ах—х
Ау — —2 sin —п-9 ^		sm		—'—х-----
	п ■ f	, Ах\		■	Ах	;
	■— 2 s m (х + ~2		Jsin-2
			.		.	Ax
				. Sin-Tp
	H L f f = — 2 s i n f x +		ДлЛ			2
			2 j		Ах

			sm Ах
	= - 5і п ( * +	т )	Ах

. Ax s,n -г

IV. xf = lim	\| \|	= —	lim sin [x
Длг	0	Д-•О		2 ' Ах-»0 Ах
					2
sin X -1		sin лг;	у _ я = — sin-^- —		Ѵ2_
sin X -1		sin лг;	у _ я = — sin-^- —		2 ‘
			*	4	2 ‘
			*	4

634. 1) ÿ = sinx. Найти г/'_п; 2) y — cos2x. Найти

У _ л ■

635. y — tgx. Найти у'

Р еш ен и е .

I. y + Ay = tg(x + Ax); U ._ y + Ay = tg(x + Ax)

________y = tg x ___________

Af/ = tg(x + Ax) —tgx;

		sin (x +	Ax—x)	sin Дл:
	Ау- CQS (x +		Ax) cos x	cos (x + Ax) cos i	’
III. ¥	=	sin Ax		1	sin Ax
III. ¥	=	Ax cos (x -f- Ax) cos x		cos (x -f- Ax) cos x	Ax ’
Ax		Ax cos (x -f- Ax) cos x		cos (x -f- Ax) cos x	Ax ’

IV. y' =	lim ^	= lim	+
1	Д~0АA x - &X	A~0COS(x	+
1	,	1
cos (jc-j—0) cos x •1		COS2X ’ У~ — Л-
			4

lim	sin Ax
A) COS4*-0	Ax

= 2.

cos2 ¥)'

636. y = ctgx. Найти y ’ „.
§ 33. Основные правила дифференцирования.
Производные степени и корня
Обозначения:	С —постоянная,	х — аргумент, и,	у и
W—функции от x, имеющие производные.
О с н о в н ы е п р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я
Производная	алгебраической суммы функции
	(и-\-ѵ — w)' = и' + t/ — w'.		(6.1)
Производная	произведения двух	функций
	(иѵ)' = и'ѵ-\-ѵ'и.		(6.2)

Производная		произведения			трех функций
	( u v w Y = и'VW +				v ' u w	+ w ' u v .	(6.3)
Производная произведения постоянной на функцию
			(Си)'= Си'.				(6.4)
Производная		частного		(дроби)
		( и У		и'ѵ — ѵ'и			(6.5)
		\	V )		V2

Частные случаи формулы					(6.5):
		/ и у			1 ,		(6.6)
		[с) ~ с и;
		/су			с	,	(6.7)

Если у есть функция от					и: y = f (и), где и в		свою
очередь	есть функция		от аргумента х: и — ф(х),				т. е.
если у	зависит	от х	через		промежуточный аргумент и,

то у называется сложной функцией от х (функцией от

функции): ^	/ [ф (де)].			функции равна произведению
Производная		сложной
ее производной		по	промежуточному аргументу на произ
водную этого	аргумента по независимой переменной:
		d y	dy du	ИЛИу'х = У и - и 'х .
		dx	du dx

Исходя из этого соотношения получены формулы диф ференцирования сложных функций, для которых и = ф (х).

При вычислении производных необходимо помнить, что (по определению):

1) а ° = \{ а ф 0);

2) а п= ~ (а ^ 0);

3) Y ат —а п (а > 0),

и знать следующие правила действий со степенями и корнями:

4) апат = ап+т;6

6) (ап)т —апт;

7)	\/Га5 = -^ а yf b = a n b n (а >• О,			b > 0 );
		1
		Cl^
		- т (а > 0 , Ь > О).
		ьп
Здесь m и п — любые рациональные числа.
	Формулы дифференцирования
П р и у с л о в и и И = ф ( X )			П р и у с л о в и и и — X
				с'= 0	(6.8)
				х' = 1	(6.9)
(ипу = л иге_1 и',			(Хп) ' = ПХп~ х,
где л—	любое дейст	(6.10)	где л—	любое дейст	(6.10а)
вительное число			вительное число
		(6.11)	Ш ' = ___L		(6.11а)
			\ х )	X2
		(6.12)			(6.12а)

I.Нахождение производных функций с применением формулы (хп) ' =

=пхп~1(6.10а)

Найти	производные функций.			і	__2
637. 1)	у — 3X*;	2) у = 2х~5;
				3) у = 4х3;	4) у — 5х 5;
5) у = 5	X3 .	у —Зх*.	По формуле (6.4) постоянный
Реш ен ие . 1)
множитель	выносится за		знак	производной у' —3(х*)’ и
по формуле (6.10а)		найдем:
		у' = 3- 4хі~1=		12л:3;

2) у — 2х~ъ. По формулам (6.4) и (6.10а) получим:

у' = 2(-5 ) лг5-1 = -Ю л:’6 = — ^ ;

3) i/ = 4л:3. По формулам (6.4) и (б. 10а) находим

_ 2 4) у = 5 х 5. По формулам (6.4) и (6.10а) получим:

= —2х 5 .

5) заменим корень дробным показателем и применим формулы (6.4) и (6.10а);

			__	£
		у = 5 іУх3 =		5х5 ;
	(	IV	з	1 - і	= 3* 5.
	у' = 5 - U 5] = 5 - \|- х 5				= 3* 5.
638. 1)	г/ = х4;	2)	у = 2х3\	3) у — Зх 5;		4) г/=	—Зх 2;
Б) у = х'5 ;	6) г/ = 4xJ;		7) у = 5х~ 5 ;		8) г/=	2>/‘л:3;	9) г/=

=10) у = і ^ х 2.

639. 1) i/==-L~;		2) */= Зх2У Т ;		3)	4)	// -
	4				v *
	2л:3
= 2 j/~ - ^ ; 5)	/ ( Ф	) ^ ^	? 7 ^ ;		6) f(v) = ^	Ц - .
Реш ен ие .	Прежде чем брать производную, каждую
из функций преобразуем к виду г/= х"					(п — любое рацио
нальное число):
	п	1	1	•
	1) У = — r		==Y x	•
		2х3

По формулам (6.4) и (6.10а) получим:

По

формулам

(6.4) и

2} у — Зх2У х = 3л;2л:3 =

Зл:3.

(6.10а) найдем:

у '= 3 U 3j = 3

т - 1

= 1хг = ?х У х;

Оу2

—

(6.4)

и (6.10а)

у = т7= = —р =

2л:3. По формулам

V х

—

получим:

х л

. f - 1 _

Ю А

Ю а

у’ = 2 \х 3)

= 2 - ~ х

У~&\

3 ~

г/= 2 |Л Д

= Щ - = 2 У 2 хУ По форму

лам (6.4) и

(6.10а)

отыщем:

г—!

3 \'

2 ^ 2

- і

І,' = 2 К 2 ( Д

■З У 2 х 2 = З Ѵ 2 Ѵ х = З У 2 х;

ф 1 у ф 1 у Афг =

1 2

, 2

/ (ф) =

ф 1ф

2 ф З _ ф

1-ТГ+

1 3 —

По формуле

(6.10а) найдем:

Г (ф) = — 4-ф 6 1=

ф б .

І_ _1_

I 1 1 - 1

, 1 + 1_?

f(v)

У V У V

V V

1. у2уЗуч-

3’ ;

1 *|2

2УхА

-о6 . По формулам (6.4) и (6.10а) получим:

= 12°

Г (0)=9-\°

640. 1) у — —

і/==4-;

4)t/ = 2*3f * ;

л:3

г .

X *

с .

2л:3

2 У х

Q .

6 У х

п ,

5) y ^ Y Y - , 6) у = р = : 7)

у = - ^ г ; 8)

y ^ - f Y i 9) у =

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ