Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

581. у	хг —	5х + 6 ‘
Ре ш е н и е .		Функция определена для всех значений
аргумента,	кроме тех		при которых знаменатель обра
щается в	нуль.	Решив	уравнение х2 — 5х + 6 = О, найдем

х1 = 2 и х2 = 3. Область определения — интервалы (—оо, 2).

(2,3)	и	(3, -f-oo).					1
582.		1) у		1	2)	У
			1—х2				х2— х — \2'
"		Ч Х — I		л s "			X — 1
'	З*2— 5 х - - 2 ;				У ~ ~	X2 -	9х + 20 ‘
583.		у = Ѵ х .		Квадратные			корни определены для неот
Р е ш е н и е .
рицательных			чисел. Поэтому функция у = ]/х определена

для всех значений х, удовлетворяющих неравенству OsSx,

т.	е.	область		определения — полуоткрытый			интервал
[0,	+оо).
	584.	у = У 2 х ~ 4 .				2х — 4^=0,	получим:
	Реш ен ие .			Решив неравенство
xSs 2.
	Область определения [2, +оо).
	585.	1) у = у гП х ; 2) у = У 18 — 6х; 3) у = У З х - 12.
	586.	у = УX -{-VX— 1.
	Р еш ен и е .			Найдем	область	определения	каждого
слагаемого			отдельно. Общая часть			этих областей опреде
ления и будет областью определения функции.
	Для	У х	имеем х ^ О		и для	У х — 1 х^=1.		Тогда
для	суммы		УX -f- УX — 1		областью определения			будет
x^s 1 или [1,				+ оо).

587.1) у — У х + У У ^ х ; 2) у = У Т ^ 2 + У х ^ 5 .

588.у = З У 5 ^ х — уЛ = .

	Р е ш е н и е . Область определения для У 5 —х х < 5 и
для	У х — 3 х ^ З .		Разность	х — ЗфО, так как делить
на	нуль	нельзя.	Область	определения — полуоткрытый
интервал		(3, 5].

589.y = y T ^ + l7=L=.

УX — 1

590.у = У х 2 —2х —8.

Ре ш е н и е .	Трехчлен х2 —2х —8 имеет корни x j = —2
и х2 = 4. X2—	2х — 8 2s 0. Дискриминант D^> 0 (табл. 2,

случай III). Из решения неравенства следует, что область определения функции—полуоткрытые интервалы (—оо, —2]

и [4,	-fo o ).		____________					_______________
591.		1) у = Ѵ х 2 + 8х+ 15;				2)	у = Ѵ (2 - х ) - ( 5 + х).
592-		у = Ѵ Ш -			определена для всех значений х,
Решение . Функция					определена для всех значений х,
удовлетворяющих				неравенству		2,х_2		котоРое выпол
удовлетворяющих				неравенству		2х~\-б^		котоРое выпол
няется,		если
		1 ) \| З х - 2 ^ 0 ,			и 2 ) ( 3 х ~ 2 ^ 0 ,
		\	2д:+ 6 ;> 0				\2 х + 6<с0.
Из	системы		(1)	имеем:
			х ^ { >
			х > —3,					2
			х > —3,		откуда -KSsy.
Из	системы		(2)	имеем:
		>	<	4 .
			X<	— 3.,	откуда		X<	— 3.

Следовательно, область определения функции — интер вал (—оо,—3) и полуоткрытый интервал |jj-, + ooj.

593. 2 ) у = У ^ .

SM. y = ln ( j ~ | —2 ).

Р еш ен и е . Натуральные (а также и десятичные) ло гарифмы определены только для положительных чисел. Имеем неравенство

х — 1	— 2 > 0 или	5£-2£+2> 0 З х + 2	> 0 ,
х — 1		X — 1
которое выполняется, если:
	l W 3 * + 2 > 0 , и 2) ( Зх + 2 < 0 ,
	1 > 0	\ х ~ 1 < 0 .

Из системы (1) имеем:

* > — 3 •

х > 1 , откуда л:> 1.

Из системы (2) имеем:

	х < —		2
	х < —		3 ’
I	,	,	^	2
I	л: <	1,	откуда х < —

Следовательно, область определения функции — интер валы: ^—со, — -|-j и (1, -фоо).

595.1) // = l n g ^ j ; 2) £/ = lg(2х — 3).

596.у = —----!------.

^ sin л: —cos л:

Решение . Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решим уравнение sinx — cosx = 0:

sin X= cos x;	sin X
	cos x

tg x = 1;

-f- ПП,

где n —произвольное целое число. Область определения—

интервалы: (—сю,					+	и ^ - + я/г, + o o j.
597.		1)	у-			2) У -	1
				sin X COS X '			sin X -f- COS X '
3 ) У	s m n — sm x

598.		y = -r		ctg X
		^	ct
			sin x — cos x
Р еш ен и е,				ctgx	не определен для nk. Дробь не оп
ределена			для	-”- + яя		(см. задачу 596). Следовательно,
функция		определена для всех значений х, кроме -^--\-пп
и nk, где п и k — произвольные целые числа.
599.		у = arcsin —— •
Ре ш е н и е .				Эта	функция		будет определена, если со-
блюдается			неравенство:				%. I-- 2
						— I s S —g- «Si .

Для решения этого неравенства умножим все члены его на 3: — З ^ х — 2=^3.

Решим систему неравенств

I —3 sc х — 2,				или	( —1 < х ,			или	і X Зь —1,
I	X — 2 ^ 3				I	x s S 5,			\ X йС 5.
Областью определения является отрезок [—1, 5].
600.	1) у —arcsin у ;				2)	у = arccos
Найти		область		изменения функций.
601.	г/= X2 — Зх — 10.					квадратный			трехчлен	х2—
Ре ш е н и е .			Преобразуем
— Зх—10,		выделив из него полный						квадрат:
У = х*		2 . ^	+ ( \|		3\*		10= X		1 Г _ 1 2 І

									2 }	4 *

3 \2 Выражение (х — -д- принимает все неотрицательные

значения (квадрат любого числа есть число положитель ное). Поэтому областью изменения данной функции

является множество чисел, больших или равных —12-*-,

т. е. у принимает значения в полуоткрытом интервале

[ 12 Т > +°°)*					2) у —2х2 —7х + 3.
602.	1) г/= х2 —6х + 8;				2) у —2х2 —7х + 3.
603.	i/ = 3sinx + ]/3cosx .						функцией	следующие пре
Р е ш е н и е .			Проведем		над		функцией	следующие пре
образования путем введения вспомогательного угла:
у = 3 sin X -f- У З cos х = 3 f sin х -f-								cos х ) —
			я		\	/	Sln‘6’
=3 (sinx+tg-^-cosx) = 3							sinx-(----- —cosx
							cos-
						\
	о	/ *	^	I	. 3X		3 sin ( x+ -g -
	3	Sin X COS -Z—[-COS X Sin - 7 Г					3 sin ( x+ -g -
		\ __________ 6		“____________		6
			cos-Я				cos-
				6
		3 .
	= —		sm fx + —) = 2 l/3 sin (x + y ) .

v ±

sin (x + -g-l

Тогда —2 1 /3 ^ у ^ 2 ^ 3 , т. е. область изменения функ ции-отрезок I—2 ] /~3, 2У~3].

604.	1) t/ = sinx + cosx;	2) y = sinx —]/^3cosx.
§ 29.	Приращение аргумента и приращение функции
Для	функции y —f{x)	разность двух следующих одно

за другим значений аргумента х (хх и х2) называется при ращением аргумента и обозначается символом Ах:

	х-2— Хі = Ах.
Разность	двух значений функции г/= /(х): yx — f(xx)
и у2— f (х2),	соответствующих значениям аргумента хх

и х2, называется приращением функции и обозначается символом Ау, т. е.

Ау = f (х2) - f (хх) = у2- ух.

Если х2> х 1, то приращение Ах>-0, если х2<Сх1; то приращение А х< 0 . Соответственно и приращение функции

Ау^> 0, если у2> у х и А у < 0, если у2*<ух.

Приращение функции y = f(x) находится по следующей схеме. Пусть аргумент х получил приращение Ах, тогда новое наращенное значение аргумента будет х + Ах, а соот ветствующее ему новое значение функции будет у-{-Дг/ = = f(x + Ax). Чтобы найти приращение функции, нужно от нового наращенного значения функции вычесть перво начальное:

_ y + Ay = f (х+Ддг)

________y = f (*)

Ay = f(x + Ax) — f(x) *

1. Вычисление приращения функции по двум данным значениям аргумента

605. Дана функция у = х2 + х + 1 . Найти приращение аргумента и приращение функции, если аргумент х изме нил свое значение от Хі = 2 до х2 = 2,5.

Р е ш е н и е . 1. Найдем приращение аргумента: Ах = х2 —х1 = 2,5 —2 = 0,5.

2.Найдем значения функции, соответствующие значе

ниям аргумента Хі = 2 и х3 = 2,5:

#i = f ( * i ) = f ( 2 H 2 2 + 2 + l = 7 ;

Уг= f (**) = f (2,5) = (2,5)2 -4-2,5+ 1 = 9,75.

3. Найдем приращение функции

Ьу = Уг-Уі = ! (*г) — Î (Хі) = 9,75 - 7 = 2,75.

606.Дана функция у — х2 —2х + 4. Найти приращение

функции, если аргумент х		изменил свое значение от Хі = 3
до *2 = 3,5.
II.	Вычисление приращения функции,
если ее аргумент *		получает приращение Дх

607. Дана функция г/= х2 + 2х — 4. Найти приращение

Ау при х = 2 и А* = 0,5.		наращенное значение
Р е ш е н и е .	1. Находим новое	наращенное значение
функции, если	аргумент * получил	приращение Ах:

у -f Ay = (х+ Ах)2 + 2 (х + Ах) — 4 = х2 + 2хДх + (Ах)2 -ф

+2х+2Ах —4.

2.Находим приращение функции

_у + Д (/= х 2-р2хДх+(Дх)2-р2х-)-2Дх—4

_______ у —X2 2х — 4	________________
Ду — 2хДх + 2Дх + (Дх)2
Aÿ = 2 • 2 • 0,5 +	2 • 0,5 + (0,5)2 ==3,25.

608. Даны функции: 1) у = х2 + 2х; 2) у = х3 — 1. Найти приращение Ау при х = 3 и Ах = 0,1.

609. Дана функция «/= - - . Найти приращение Ду при

X = 1 и Ах = 0,2. Реш ение .

1)У + ку = — р ^ ;

2)y + à y = х+ &х

_ 1__________1		X — X — Ах	Ах	0,2_____ _1_
х + Дх	X -	х(х-\-Ах)~~	x (x -fA x )—	1 (I -f-0,2)	6 '
610.	Даны	функции:	1) у = —	2)	у = -—

3) у = -~ —X. Найти приращение Ау при х = 2 и Ах = 0,8.

611.	Дана функция у —Ух. Найти приращение Ау
при X =	1 и Ах = 0,1.

Ре ш е н и е .

1)у + Ay = ~\/~X-4" Ах;

2)у -j- Äу = /" X+ Ах

—у= Ух___________________________

Ді/ = Ѵ х + Ах -	Ѵ х =		/1 + 0 ,1 - / Г	= / Гл — 1 = 0,049.
612.	Даны		функции:. 1)	у — \|/2х; 2) у — У~х. Найти
приращение Ау		при х = 1 и Ах = 0,2.
	§	30.	Непрерывность функции

Н е п р е р ы в н о с т ь ф у н к ц и и в т о ч к е

Определение I. Функция /(х) называется непрерывной в точке х — а, если предел функции при х - * а равен значению функции при х — а:

lim / (х) = / (а).

(5.1)

X-*■а

При этом должны соблюдатьс+следующие три условия:

1)функция должна быть определена в точке а\

2)предел функции 1іт/(х) должен существовать;

3) этот предел	X —* а	равняться	значению функции
	должен
/ (х) при х = а.	Функция y — f{x)		называется непре
Определение II.
рывной в точке х — а, если		она в этой точке определена,

и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

		1ітДг/ = 0.	(5.2)
		д-■о
Если	условие	непрерывности функции	в точке х — а
нарушено,	то в	этой точке функция имеет разрыв и эту

точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функцийсправедливы следующие положения:

1) область непрерывности элементарной функции сов падает с ее областью определения, т. е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

в	2) элементарная	функция	может иметь	разрыв	только
	отдельных точках какого-либо интервала, но не во всех
его точках;		функция	может иметь	разрыв	только
в	3) элементарная
	той точке, в которой она		не определена.

Н е п р е р ы в н о с т ь ф у н к ц и и в и н т е р в а л е или на о т р е з к е

Функция называется непрерывной в интервале или на отрезке, если она непрерывна во всех точках этого интер вала или отрезка.

I.Исследование непрерывности функции во всей области ее определения

613.Исследовать на непрерывность функцию у = Зх. Решен ие . Функция у — Зх определена для всех дей

ствительных значений аргумента х, т. е. областью ее опре деления является вся числовая ось (—оо, -j-oo). Область непрерывности совпадает с областью ее определения, что легко показать, использовав определение (5.2).

Дадим аргументу х приращение Ах и найдем прира щение функции Ау.

_ у Ду = 3 (х + Дх) = Зх -|- ЗДх

_______ У= Зх_________________

Ау = ЗАх

Найдем предел Ау при Ах-»-0:

lim Ay — lim 3Ax = 3 lim Ax = 3 - 0 = 0.

Дх -*■0 - Дх —■0 Дх 0

Равенство lim Ay — 0 справедливо при любом конечном

значении		Дх-»0		функция у = Зх			непрерывна	при
		х,	поэтому
любом значении х.				на	непрерывность		функции: 1) у =
=	614.	Исследовать
	— 5х;	2) у — 4х — 3.		на	непрерывность функцию			у =
=	615.	Исследовать
	Зх2 — 2х.		Функция		определена в		интервале (—оо,
	Решен ие .
-\|-оо), в этом же интервале она и непрерывна.
По определению (5.2)				найдем		lim Ау:
						Ах -*0
	y-f-Ау — З (х-\-Ах)г— 2 (х-\|-Ах) =					Зх2-)- 6х Ах +	3 (Дх)2 —2х —2Дх

у 4- Ау = Зх2 -|- 6х Дх + 3 (Дх)2 — 2х —2Дх у — Зх2 —2х_____________________________________________ _

Ау — 6х Дх + 3 (Дх)2 — 2Дх.

lim Дг/= [6хПт Ax-f З(ІітАх)2 — 2 lim Ах]Длг_о =

Ах ->-0

= 6х • 0 + 3 • О2 — 2 • 0 = 0.

Функция у — Зх2 — 2х непрерывна при любом конечном

значении х.			на непрерывность функции:	1) ѵ =
=	616. Исследовать
	2(2;	2) у = х2 + 2;	3) s = t2- t ; 4) у = х ~ Зх2; 5)	у = х3\
6)	у =	- л 3- 1 ; 7) у = 2х3.

II.Исследование функции на непрерывность

вданной точке (при данном значении аргумента)

617.Исследовать на непрерывность функцию у = х2 —2 при х = 3.

Р еш ен и е .					Для	исследования применим определе
ние (5.1):
		lim (х2 - 2) = (Нтл:)2 - 2 = З2 - 2 = 7;
			х - * 3			х - * - 3
т. е.					/ (3) = З2 — 2 = 7,
					lim (л2 -		2) = / (3).

Предел			функции			при *-»-3 равен значению функции
при	х = 3,		при		этом соблюдаются условия применимости
(5.1).	Следовательно,					функция у = х2 — 2 в точке				* = 3
непрерывна.						на непрерывность функции:				1) у =
618.		Исследовать
= х2-\-4х-\-3				в точке х = 2;			2) у = х3 — 5 в точке х= 1 .
619.		Исследовать				на непрерывность функцию у — sin2x
в точке X = Y				-
Р е ш е н и е .					Функция у — sin2л: определена				в	интер
вале	(— со,		+ со).
Для исследования применим определение (5.1):
			lim		sin 2л:= sin 2 • ~ — sin л = 0;
				Я			^
			*~2-
				/	= sin 2 • у =			sin л = 0.
Условия				применимости			(5.1)	соблюдаются,	следова
тельно,		функция			у = sin 2л: непрерывна в точке				л: = .
620.		Исследовать				на непрерывность функции:				1) у —

= cos X и 2) у = tg -- в точке х = ~ .

ІИ. Нахождение точки разрыва данной функции


621.	Исследовать функцию у =				2
					на разрыв.		о
Р е ш е н и е .			Область	определения функции у =
							-
состоит из		двух	интервалов; (— оо, 2) и (2,			+ оо). Функ
ция имеет		разрыв в точке х = 2.			Области определения и
непрерывности функции совпадают. -							5
622.	Исследовать на			разрыв	функции:
						1) у ~ 2л:_ 1;

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ