книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

менения теорем IV, II и I и

следствия

I теоремы III,

получим:

2

3(х — 2)

X

lim

Зл:2— 8дс—f- 4

3

=

lim

Зх — 2

Н т ---------

лг— 2£ л;2- 1 4 л: + 8

л:-2 5 (х— 2) X

4_

х-*2

Ъх— 4

3 -2 — 2

2

5

— 5 -2 — 4 — 3 •

493.

1) lim

X 2 — 7л: + 1 0

_

2)

П т

2х2+ х - 1 5

л— 5

х2— 9х + 20

•

JC-—з

Зх2-\-7х — 6 '

494.

П т —Т

с8— 7л:+ 6

2л:+

8

—

х~*-2 х3- - 5л:2 +

Пт (х3— 7л:+ 6) =

Реш ен ие .

Предел

числителя

— 23 —7-2 + 6 = 0 и

лг—2

предел знаменателя

Нт (л:3 — 5х2 +

1;т

*3

7д:+6

_

1;

(х— 2)(х2 + 2х — 3)

_

-*3— 5л:2 + 2л:+

8

~

х " 2

(х — 2) (х2- З х — 4)

~~

_U

л:2 +

2л:— 3

Г

(lim л:)2 + 2 lim х — 3 "1

__

х™2 х2 — Зх — 4

I

(Пт л:)2 — 3 lim л:— 4 \х-*2

22+ 2 - 2 - 3

5

“ 22 — 3 -2 —4 ~

6 '

495.

1)

Н т л?+ 2л:2 — X— 2

'

2)

П т

л?—Зл:2— 13л:+ 15

лг—IXs — 13л+12

л—- з

л:3 —Зл:2— 10л:-+ 24

496.

Нт

__ —

* - о у 5 — х- ■Y 5 + х

Р е ш е н и е . Предел числителя

Птл: = 0 и предел зна­

Г

я

\

=

Реш ен ие . Предел числителя lim cos2* =cos2( — ~9-

я

\

■*/

JZ

х~~3

и

предел

знаменателя

lim (l+ sin 3x) =

^ COS2 -9-= 0

^

П

х~*~~2

- l + s i n 3 ( - y ) = l - s i n 8 y = l - l = 0 .

Разложив

числитель

и знаменатель

на

множители

и сократив

дробь

на l+s in x ,

получим:

limя

COS2 X

lim л

1 — sin2 X

1 +

sin3 X

(1 +

sin x) (1 — sin JC+

sin2 x)

lim

1 — sin X

1 — sin

1 — sin JC-j-Sin2

■ 1 - « - н

;

1+

sin2

1 +

sin

1 +

1

2

л

l.+ sin

2- + sin 2

1 + 1 + 1

~

з

•

2

РЛЛ

t\

i * _

Sin2 *

оч

|.

Sin X —

COSrX

502.

1) lim r - ------;

2)

hm

—,-------r—.

503.

lim -— ^-l-+ - gX.

я

ctg*

Указание. Умножить числитель и знаменатель

на

1 + Y

I + ctgx

и сократить дробь на

ctg je.

504.

lim-

tg x ---.

* - o V 1 — tg x — 1

III.

Вычисление предела функции при *-»-co

505.

lim (x3- 6 x 2 +

5 x - 1).

X

oo

I

преде­

Реш ен ие . Первые три слагаемых при

х - > о о

лов не

имеют, следовательно теорему

II непосредственно

тельно применим теоремы III,

II и следствие 2 теоремы III:

lim

6

, 5

_ j_

X

X2

X3/

Члены

у ,

Д, и ~

при х-ѵоо бесконечно

малые вели­

чины [соотношение (10)] и их пределы равны нулю.

506.

1)

lim (х2- 5 х

+

6); 2)

lim

(л^+

Зх2).

X -*■ 00

X -* — 00

Раскрытие неопределенностей вида: а) —, б)

в) оо — оо.

а)

Случай, когда при х-»-оо делитель

есть бесконечно

-большая величина,

а делимое — постоянная

величина.

507.

lim

5

X -* оо 4 х + 1 •

при х->- оо

неограничено

Ре ш е н и е . Делитель 4х -f 1

растет,

т.

е.

является

величиной бесконечно

большой,

а величина

обратная

—

— бесконечно малой.

Произведение

' 5 бесконечно малой на ограничен­

ную величину

(постоянная — частный

случай

ограничен­

ной величины) есть величина бесконечно малая, и предел

ее при

х->-оо

равен

нулю. Следовательно,

lim

5г

= 0.

X -*• ОО **Х 3

*

508.

1)

lim

х2+ 3х’

2)

lim

5 +

б)

Случай, когда при х->оо делимое

и

делитель есть

бесконечно большие величины.

509.

lim

,x^ œ5x+l

Реш ен ие .

Делимое

и делитель

при

х->-оо — вели­

чины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном

применении теоремы IV получаем выражение —, но отно­

шение — никакого числа не выражает и называется неоп-

со

г

ределенностью. Для вычисления предела этой функции

делимое и делитель

нужно разделить

на х:

2 х + 3

2+ X3

5х+ 1

Слагаемые -

и —

при

х-> оо — величины

бесконечно

X

X

г

lim

2л:-f-3 =

lim

2 "^ X

2 + 0

2

, . .

►CO

1

5 + 0

5 '

X -*■ CO

^

Зл

5+ T

510.

1)

lim

2)

lim

-8

X

— 2 *

2л— 2*

,.

. 2л3 — Зл2 + 1

51 **

л3 +

4л2 +

2л ’

Р еш ен и е .

Разделим

числитель и знаменатель дроби

на л3:

2*з — з*2+ і

2~ 4 + 7

л3 + 4л2 + 2л

1+4 + !

При х-»-оо слагаемые —, 1 ,

— и 1 —бесконечно ма-

Г

Л ’

Л3 ’

Л

*а

лые и их пределы равны нулю.

Имеем:

,.

2л3 — Зл2 + 1

2 - 1

+ 1,.

2 — 0 +0

lim

у

1

уЗ

л8+

4л2 + 2л

1+7 + 7

1 + 0 +0 = 2.

4л3—л2

5 , 2 ‘

^

* 4

*2+ 2 л + 3

'

^

Л ™

*3 + 3л2- 1

513*

л4 — 2л2+ 3

Р е ш е н и е .

Разделим числитель и знаменатель на наи­

высшую степень

аргумента в знаменателе,

т. е. на х3:

2

.

3

Л----- -]---Q

lim

л4— 2л2+ 3

: lim

Л

л3

Зл3 — 5

Х - +СО

3 - л3

+

и }т со{ 3 ~

і ) ==3-

Знаменатель

ограниченная величина,

поэтому

lim

л4— 2л2+ 3

= оо.

Зл3 —5

5|4 -

J S

L

2> . ' І і й

в ч з '

3)

в)

Случай, когда при х-+со уменьшаемое и вычитае­

мое есть

бесконечно большие величины.

■lim

..____

= lim

= 2.

X- + 0 0

X+ Y x 2 — 4x

X-+CO

Y i - 1X

2

1+

516. 1)

lim ( ÿ x 2 —x ~ x ) \ 2)

Um (Y x 2

5x—■x).

3)

lim у = а {а —постоянное, й ^О ), тоа

есть беско­

нечно малая того же порядка малости, что и ß;

4)

lim ^ = l, то а и ß — эквивалентные

бесконечно

а) свойство эквивалентных бесконечно малых.

Если

аяа ах и ß ßlt то

lim “- = lim ^- = lim-^ = lim^-,

(4.1)

P

Pi

P

ßi ’

б) Нт Sin X

1;

lim •

(4.2)

х -*■ О X

, Sin X

517.

Сравнить

следующие бесконечно

малые:

1) х2;

2)

уг2х\

3)

8х;

4)

sin3x;

5) tg2x;

6)

sin х cos х с беско­

нечно малой X (х —>-0).

из данных беско­

Р еш ен и е . Для

сравнения каждой

нечно малых с бесконечно малой х нужно найти предел

отношения их к бесконечно малой х. Имеем:

1) l i m — = 1 і т х = 0 ,

х-0

х

х-* 0

где

X2 — бесконечно

малая

высшего

порядка

малости

по

сравнению с х (случай 1);

2) 1 і т * ^ = 1 і т і / ^

=

1 і т Т / ^ = оэ,

' х - 0 *

х — 0 V X»

г _ 0 V *

л\

sin Зх

4)

lim ------.

X-*- 0 х

Чтобы

применить

формулу

(4.2), умножим числитель

и знаменатель

на 3. Имеем:

,.

sin

Зх

,.

3 sin Зх

■3 lim

sin Зх

3- 1 = 3 ,

hm — - = lim

Зх

~ З л Г :

.о

где

sin Зх —бесконечно малая

того

же порядка малости,

что

и

X (случай

3);

X lim

1

: lim

2

sin 2x

lim

l

r , ,.

sin 2x

2x

cos2x

: 2 h m —X— X

►0cos 2x

X—0

у _ П

ьХ

X lim

!

■2 - 1- 1=2,

t —ücos2x"

Вычислить

пределы.

521.

x—О àx

Р е ш е н и е . 1-й

способ.

Ііш

sin 4л:

4 sin 4х

4 sin 4х

4 ,.

sin 4х

± 1 = ± .

Зх

ІІШ

4 • Зх

ІІШ

3 • 4х

І1ГП-

3

3 ‘

О

м

х —О ■* ' ол

х —О

3 4х—0

2-й способ. В задаче 519 (1) было доказано, что sin ах ^

ах, тогда

при

а = 4

sin 4хя« 4х.

По свойству

(4.1)

ІІШ sin 4х

: lim

4х _

4_

►о

Зх

Зх

3

Зх

2)

ііш 5а

522- D ЙІН2Х-

а -, о cos«

,. sin3 22

,.

/sin 2z '3

lim Ü£2£^ = /lim^ 3 = 23: 8.

um — г—= lim

\z —0 ’

sin2 - -

2). lim sin3 32

524.

1)

lim

4

x - 0

z -»0

Z3 '

525.

lim sin3 X

x - 0

x‘

Р еш ен и е .

iim-sin3X

: lim

Sin2X sin л:

t—0

x—0

,.

cos x — cos3x л 1 .

sin 2х sin x

=

lim

-------------

X

= 2 lim------------

x

x —0

x —0

= 2 lim ---

—- lim sinx = 2 -2 • 0 = 0.

x—0

x -0

528. 1) lim

sin 2x cos x

2) lim sin 2x • sin x

x - 0

X

:

x—0

3) lim

sin 3* -f- sin X

4) lim sin 2x-\- sin 4x

*-о

*->0

rnn

1-

cos л:— 1

529.

lim—

5— .

X - + 0

*

sin 2*

,.

2*

2

im . — = lim — —

х_г0sin Зх

х-0

Зх

532.

sin 4дс

оч . . s i n

4л:

•

1) lim Z-.— ;

2) lim111«

л

х - О

5 sm де ’

'

+-0 tg 2*

533.

lim ctg*

JT

тогда

Я I

У•

р

я

то у-> 0 .

х —-^ —у,

X— g +

Вели

д:-ѵ у

Получим:

lim

ctg*

,. cts ( т + » )

,.

tg,

lim------------ - =

— lim-

, я

2

y~ 0

У

г о

У

* - 2

1

= — lim^2-^ lim-

- Ы = —1.

о У у-+0СО8У

534. lim

cos *

я £L_г