книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

470. Вычислить площадь квадрата, вписанного в эллипс

*2 : У2_ __ 1

36 ^ 9

471.Определить площадь прямоугольника, вписанного

вэллипс -yg—}—Y2“ — 1 > Две противоположные стороны ко­

ееоси.

5.Дана парабола уа-1-8г/ф-28л; + 72 = 0. Составить уравнение ее директрисы.

ЭЛЕМЕНТЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

ПРЕДЕЛЫ

§23. Вычисление пределов

1.Величина называется переменной, если она в усло­ виях данной задачи принимает различные числовые зна­ чения.

2.Переменная х называется ограниченной, если она при своем изменении по абсолютной величине никогда не

превосходит некоторого положительного числа А: \х\ < А . 3. Переменная а называется бесконечно малой, если она при своем изменении по абсолютному значению ста­ новится и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положи­

тельного числа е: j а | <С е.

4. Переменная х называется бесконечно большой, если она при своем изменении по абсолютному значению ста­ новится и при дальнейшем изменении остается больше любого наперед заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было: | х \> N.

5.Постоянное а называется пределом переменной х, если абсолютная величина разности х —а в процессе изме­ нения X становится и при его дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа е, как бы мало оно ни было: \х —о | < е .

Если постоянное а есть предел переменной х, то гово­ рят, что X стремится к а, и записывают lim х —а или х-+а.

6.Если f ( х ) b при х-+ а (причем х не принимает значения равного а), то число b называется пределом функции / (х) при х —а.

Бесконечно малая, бесконечно большая и предел пере­ менной связаны соотношениями (7 — 10), которые следуют из определений (3, 4, 5).

7.Предел бесконечно малой равен нулю (если а бес­ конечно малая, то lim а = 0).

8.Разность между переменной и ее пределом есть ве­

нечно малая, т. е. если х->оо, то —->0;.

11.Основные свойства бесконечно малых:

I. Алгебраическая сумма любого конечного числа бес­ конечно малых слагаемых есть величина бесконечно малая.

II. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

12.Теоремы о пределах:

I. Предел постоянной равен самой постоянной.

II. Предел алгебраической суммы конечного числа пе­ ременных величин, имеющих пределы, равен алгебраиче­ ской сумме пределов этих переменных:

lim (и -f и — w) — lim и -f lim v — lim w.

III. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных:

lim (uv) = lim и lim v.

Следствия:

1. Предел произведения постоянной величины на пере­ менную, имеющую предел, равен произведению этой посто­ янной на предел переменной (постоянный множитель можно выносить за знак предела):

lim (au) —а lim и.

2. Предел целой положительной степени переменной, имеющей предел, равен этой же степени предела этой пе­ ременной:

lim ип= (lim и)п.

lim [(7л:+ 2) (4л: —3) (5л:+ 1)] = [(lim 7л:+ 2) (lim 4л:—3) X

в уме и, подставив вместо аргумента х его предельное значение, вычислить

делитель х — 3 = 2 — 3 = — 1. Следовательно, теорема о пре­ деле частного применима.

При последовательном применении теоремы IV, II и I

При непосредственной подстановке предельного зна­ чения аргумента л = 2 в выражение функции имеем тот же

Н. Вычисление предела функции, когда предел делителя равен нулю

Вычисление предела функции путем подстановки вме­ сто аргумента его предельного значения не всегда воз­ можно, но из этого не следует, что предел функции не может быть вычислен. В таких случаях требуется произ­ вести над функцией такие преобразования, чтобы можно было применить теоремы о пределах.

а) Случай, когда предел делителя равен нулю, а пре­ дел делимого не равен нулю.

486. lim . 5 а.

дел знаменателя lim (2х2 — Ъх) = 0. *-о

Вычислить предел функции непосредственной подста­ новкой вместо аргумента его предельного значения нельзя,

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным примене­ ние теоремы IV. Нужно иметь в виду, что здесь не произ­