книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Уравнение параболы с вершиной в точке (а, Ь), с осью симметрии, параллельной оси Ох и ветви которой направ­ лены влево (рис. 65).

Уравнение параболы с вершиной в точке (о; Ь), с осью симметрии, параллельной оси Оу и ветви которой направ­ лены вверх (рис. 66).

Уравнение параболы с вершиной в точке (а, b), с осью симметрии, параллельной оси Оу и ветви которой направ­ лены вниз (рис. 67).

В каждом из уравнений параметр параболы р~> О — расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

I.Составление уравнения параболы с вершиной

вточке (а; Ь), с осью симметрии, параллельной оси Ох (Оу) и проходящей через данную точку

423.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

А( 1; 2), с осью симметрии, параллельной оси Ох и про­

шины параболы, то и ветви параболы направлены вправо. Для вычисления параметра р в уравнение (3.24) подста­ вим координаты вершины Л (1; 2) и точки A4 (4; 8): (8 — 2)2= 2р(4 — 1), откуда р — 6. Подставив в уравнение

(3.24) найденное значение р — б и координаты вершины Л (1; 2), получим искомое уравнение:

у2 — 4у— 12х+ 16 = 0.

424. Составить уравнение параболы с вершиной в точке А{ — 4; —2), с осью симметрии, параллельной оси Ох

ипроходящей через точку М (1; 3).

425.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

Л(2; 4), с осью симметрии, параллельной оси Оу и про­ ходящей через точку М ( — 6; 8).

426.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

Л ( — 2; — 4), с осью симметрии, параллельной оси Ох

ипроходящей через начало координат.

427.Составить уравнение параболы с вершиной в точке А (5; — 5), с осью симметрии, параллельной оси Оу и про­ ходящей через начало координат.

428.Составить уравнение параболы с вершиной в точке А (—2; 1), с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точку М (5; —6).

Реш ен и е. В условии задачи дана парабола вида (3.27). Так как точка М (5; —6) расположена ниже вершины параболы, то и ветви параболы направлены вниз. Для вычисления параметра р в уравнение (3.27) подставим

нение (3-27) найденное значение р и координаты вершины Л (— 2 ; 1), получим искомое уравнение:

х2+ 4х + 7г/ - 3 = 0.

429.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

А(3; — 1), с осью симметрии, параллельной оси Ох и про­ ходящей через точку М (— 3; —3).

430.Составить уравнение параболы с вершиной в точке (3,5), с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходя­ щей через начало координат.

II.Составление уравнения параболы по координатам

еевершины и фокуса

431.Составить уравнение параболы, если ее вершина лежит в точке А (2; 3) и фокус в точке F (6 ; 3).

Решен ие . В условии задачи дана парабола вида (3.24), так как ось параболы параллельна оси Ох (ординаты вер­ шины и фокуса одинаковы и, следовательно, лежат на пря­

мой, параллельной оси Ох), и ветви параболы направлены вправо (фокус ее расположен правее вершины).

Для составления уравнения параболы найдем параметр р.

Расстояние между вершиной и фокусом параболы равно

Из условия задачи следует, что ~ = ]6 — 2 | = 4 (разность

абсцисс фокуса и вершины берется по абсолютной величине,

432.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

Л и с фокусом в точке F\ 1) А (4; 6), F (— 2; 6); 2) А (3; — 2), F (3; 0); 3) А ( - 1; 1), F (— 1; - 4 ) .

III.Составление уравнения параболы по координатам

еевершины и уравнению директрисы

433.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

А(4; 6), директриса которой х —— 2 .

Реш ен ие . В условии задачи дана парабола вида (3.24), так как директриса ее (х = — 2) перпендикулярна оси Ох и, следовательно, ось параболы параллельна оси Ох и ветви параболы направлены вправо (директриса ее расположена левее вершины). Для составления уравнения параболы най­ дем параметр р. Расстояние от директрисы до вершины

сумме абсолютных величин абсцисс директрисы и вершины параболы, т. е. = I — 2 1+ 4 = 6 , откуда р = 12. Подста­

вив в уравнение (3.24) координаты вершины А (4; 6) и най­ денное значение р, получим:

у2— 12у — 24х+ 132 = 0.

434.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

А(1; — 3), директриса которой л:= 5.

З а м е ч а н и е . — равно разности абсцисс директрисы и вершины.

435.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

А(— 2; 4), директриса которой у — — 2.

436.Составить уравнение параболы с вершиной в точке

А(— 3; 5), директриса которой у = 7.

437.Составить уравнение параболы, симметричной отно­ сительно оси Ох, вершина которой лежит в точке А (— 2; 0), а директрисой служит ось Оу,

совпадающей с осью Оу, и ветви параболы направлены

у2 + 8х+ 16 = 0 .

438.Составить уравнение параболы, симметричной отно­ сительно оси Ох, вершина которой лежит в точке (3; 0), а директрисой служит ось Оу.

439.Составить уравнение параболы, симметричной отно­ сительно оси Ох, вершина которой лежит в точке А (— 4; 0),

адиректрисой служит прямая х = 2.

440.Составить уравнение параболы, симметричной отно­

сительно оси Оу, Бершина которой лежит в точке А (0; 2),

адиректрисой служит ось Ох.

441.Составить уравнение параболы, симметричной отно­ сительно оси Оу, вершина которой лежит в точке А (0; — 2), а директрисой служит прямая у — — Ъ.

442.Составить уравнение параболы, симметричной отно­ сительно оси Оу, вершина которой лежит в точке А (0; — 3), а директрисой служит ось Ох.

IV. Составление уравнения параболы по координатам ее фокуса и уравнению ее директрисы

443. Составить уравнение параболы, фокус которой лежит

вточке F (4; 3), а директриса ее задана уравнением х — — 2. Реш ен ие . В условии задачи дана парабола вида (3.24),

так как директриса перпендикулярна к оси Ох и, следо­ вательно ось параболы параллельна оси Ох и ветви пара­ болы направлены вправо (директриса расположена левее фокуса). Найдем параметр р. Расстояние от фокуса до директрисы равно р = | — 2| + 4 = 6. Найдем координаты вершины параболы. Расстояние от фокуса до вершины (а

также и от директрисы до вершины) равно у = у=*3, но

абсцисса фокуса равна 4, следовательно, абсцисса вершины равна: а = 4 —3 = 1, а ордината вершины одинакова с орди­ натой фокуса (ось параболы параллельна оси Ох): Ь = 3, А (1; 3). Подставив найденное значение р — б и А (1; 3) в уравнение (3.24), получим:

у2— бу — 12х + 21 = 0.

444.Составить уравнение параболы, фокус которой лежит в точке Т7 (—6 ; —1), а директриса ее задана урав­ нением х — 2.

445.Составить уравнение параболы, фокус которой лежит в начале координат, а директриса ее задана урав­ нением х — —4.

446.Составить уравнение параболы, фокус которой лежит в точке (2; 2), а директриса ее задана уравнением

У= —4.

447.Составить уравнение параболы, фокус которой

лежит в начале координат, а директриса задана уравне­ нием у = 4.

V. Вычисление координат вершины параболы по ее уравнению

448.Вычислить координаты вершины параболы, задан­

дит через ее вершину параллельно оси Ох. Вычислим ко­ ординаты вершины параболы, преобразовав уравнение параболы к виду (3.24):

болы. Из уравнения параболы найдем р :

у2— 4у = 20* — 24; у2 — 2 • 2у + 4 = 20* — 24 4- 4;

(у — 2)2= 20 (х — 1),

Ось симметрии параболы параллельна оси Ох и ветви ее направлены вправо, следовательно, директриса пара­ болы проходит левее вершины параболы. Она также проходит и левее начала координат, так как расстояние от вершины до оси Оу. равно 1, а от вершины до директ­

нение директрисы X — — 4.

460. Составить уравнение директрисы параболы: 1) у2 — 2у — 10л; + 11 = 0; 2) у2 + 8у + 8х + 32 = 0; 3) х2 —

—6 л: -(- 2у —J—7 == 0.

Абсцисса вершины параболы равна полусумме абсцисс точек пересечения параболы с осью Ох:

Ординату вершины найдем, подставив значение абс­ циссы вершины в данное уравнение: рвер = I2 —2 - 1 —8 =

пересечения с осью Ох. Вычислить угол, образуемый этой прямой с осью Ох.

464. Найти угол между прямыми, проходящими через центр окружности х2 + г/2 — Ах— 16г/ + 32 = 0 и через фо-

кусы эллипса -gg- + Jg- = 1.

служит стороной вписанного в окружность прямоуголь­ ника. Составить уравнения сторон этого прямоуголь­ ника.

467. Найти точки пересечения эллипса -у + -у = 1 и

окружности х2-}-У2— 5.

468. В окружность х2-{-у2 = 4 вписан правильный тре­

угольника.

469. Составить уравнения прямых, соединяющих фо­ кусы эллипсов “ +^g-==l и І 4 + ^ д - = 1.