Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

218

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

380. Составить уравнение гиперболы с фокусами на

оси Ох, проходящей через точки (6 ; 3) и (5 ]/2 ; —4).

Р е ш е н и е . Для составления уравнения гиперболы необходимо найти а2 и Ь2. Подставив координаты данных точек в уравнение (3.11), получим систему уравнений

[ ÜL2 _	з2. — 1
I а*	Ь*	~~ 1’
f (5V2)2		(—4)2 _ ,
( а 2		й2

Решив систему, найдем: а2 = 18 и Ь2 —9.

Подставив значения а2 п Ь2 в уравнение (3.11), полу чим: -

_ У^__ 1

189

381.Составить уравнение гиперболы с фокусами на

оси Ох, проходящей через точки: 1) (—6 ; — У~7) н (6 У 2) 4); 2) ( - 8 ; 2 ^ 2 ) и (6 ; - 1 ) .

IX. Составление уравнения гиперболы по ее асимптотам

икоординатам фокусов

382.Составить уравнение гиперболы, если координаты ее

фокусов ( ± 8 ; 0) и асимптоты заданы уравнениями

у= ±У~2>х.

Ре ш е н и е . В условии задачи дано: с = 8 и ~ = ± У З

(формула 3.14). Найдем по этим данным а и 6. По фор муле (3.12) запишем 64 = a2+ ô2.

Имеем систему уравнений:

„	f û2+ ô2= 64,
Подставив найденные		из системы значения аа=16 и
Ь2 = 48 в уравнение	(3.11),	получим:
	_ у*__ ,
	16	48

ПО

383. Составить уравнение гиперболы по координатам

фокусов	и	уравнениям	ее асимптот: 1) F ( ± 5; 0), у =
= ± ^ х \	2)	F ( ± 3; 0),	у = ± Ѵ 2 х .

X.Составление уравнения гиперболы по ее асимптотам

икоординатам точки, через которую она проходит

384. Составить уравнение гиперболы,				если ее асимп-
тоты заданы	уравнениями	,	Ѵб	она проходит
		у — ±	—^-х и
через точку (6; —4).
Ре ш е н и е .	В условии	задачи	дано: -^-= ± ^ - [ф о р

мула (3.14)]. В уравнение (3.11) подставим вместо х и у координаты (6 ; —4) и составим систему уравнений:

'	б2	(—4)2_ .
'	а2		62	— 1>
	а			3
из которой находим: а2= 1 2			и Ь2 = 8.
Подставив значения а2 и Ь2в уравнение (3.11), получим:
	X2	_	\£_ _	I
	Ï2		8
385. Составить	уравнение			гиперболы по уравнениям

ее асимптот и координатам точки, через которую она проходит:

1) у = ± Ц - х ,	(9; 3 ^ 2 ) ;	2) У = ± Ц ,
( - 4 ; - 2 ) ; 3)	у = ± .Ц ~ '	(4 1^3; 3 ^ 3 ) .

XI. Составление уравнений асимптот гиперболы по

ееуравнению

386.Дано уравнение гиперболы щ — ^ g = l . Соста

вить уравнения		ее асимптот.			гиперболы найдем а и Ьі
Р е ш е н и е .		Из	уравнения
а= 12,	b =16.	Подставив		значения		а	и	b	в уравнения
асимптот, получим: у = ± ^ х ,					ИЛИ	у =	,	4	X.
							± - д
387.	Составить		уравнения		асимптот		гиперболы:
	1)	__#2 «.		’ ’
		64	36		9	8

388. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точку (—5; 4).

Р е ш е н и е . Подставив координаты данной точки в уравнение равносторонней гиперболы (3.15), получим (—5)2— 42= а2, а2 — 9. Уравнение гиперболы х2 — у2 = 9.

389. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точку (8 ; 2).

390.	Составить уравнение равносторонней гиперболы
с фокусами на оси Су, проходящей через точку				(— ]/3;
-Кб).
	XIII.	Вычисление координат вершин гиперболы
		(длин ее осей) по ее уравнению
391.	Дано	уравнение гиперболы gj-	У2	Найти

144

координаты ее вершин.

Р е ш е н и е . Из уравнения гиперболы найдем а: а2= 81,

а=*±9. Вершины гиперболы находятся в точках (—9; 0)

и(9; 0).

392.	Дано	уравнение		гиперболы						Найти
координаты вершин			гиперболы.
393.	Найти длины осей гиперболы:
	1) 25		У_	1;	2)	Xі	tß		1.
			49'			12 —	8Î =
	XIV.	Вычисление		координат фокусов					гиперболы
	(расстояния между ее фокусами) по ее уравнению
394.	тт	уравнение					^2		ф	Найти
	Дано			гиперболы yg —\| д = П
координаты фокусов этой				гиперболы.					имеем: а2— іб,
Р е ш е н и е .		Из	уравнения гиперболы
b2 = 49.	По формуле		(3.12) найдем:
		с2=	15+ 49 = 64,			с = ±		8 .
Фокусы находятся в точках						(—8 ; 0)		и (8 ; 0).
395.	Дано	уравнение		гиперболы			у2		tj2	Найти
							^		;=1.
координаты фокусов этой				гиперболы.
396.	Найти	расстояние			между фокусами гиперболы:
	1)	х‘	у =	J •	2)	*2	У*		1.
		28	3Ô	’		12	24'

XV. Вычисление эксцентриситета гиперболы по ее уравнению

397.Дано уравнение гиперболы |g — y ^ = l. Найти ее

эксцентриситет.

Решение . Из уравнения гиперболы имеем: а2= 25, Ь2 — 11. Эксцентриситет вычисляется по формуле (3.13):

е ~~	К'25+ l l	6
е ~~	5	~ 5 •

398. Найти эксцентриситет гиперболы:

	о.	г2
1) 9		У'	1.
	Z> 25	24 :
XVI.	Гипербола с фокусами на оси		Оу

399.Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и асимп-

тоты гиперболы ^

~ = — 1.

Р е ш е н и е . Данная гипербола имеет вид (3.17):

т. е. фокусы ее лежат на оси Оу.			Из уравнения следует:
й2= 64, й = ± 8	и Ь2 —36,	Ь = ±	6. Вершины гиперболы
будут в точках	Ах (0 ; —8)	и Л2(0 ; 8).

По формуле (3.12) имеем: с2 — 64 4- 36= 100, с = ± 1 0 ; следовательно, фокусы расположены в точках Fі (0 ; —10)

и F2 (0 ; 10).

5 Эксцентриситет вычислим по формуле (3.13): е — ~£-

Асимптоты гиперболы найдем по формуле (3,18):

400.Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и асимп-

тоты гиперболы — іб ~ — ^

§20. Парабола с вершиной

вначале координат

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой (фокус не лежит на директрисе).

ИЗ

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви которой направлены вправо,

у2= 2рх (р> 0),

(3.20)

где р —параметр параболы —расстояние от фокуса до директрисы; х и у — переменные координаты — координаты любой точки параболы.

Уравнение ее директрисы х — — ~ (рис. 59).

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направ лены влево,

у2 — — 2рх (р > 0).

(3.21)

Уравнение ее директрисы

x = Y (рис. 60).

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направ лены вверх,

*2= 2ру (р > 0).

(3.22)

Уравнение ее директрисы

У = — Р2_ (рис. 61).

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направ лены вниз,

х2 = — 2ру (р^> 0).

(3.23)

Уравнение ее директрисы

y = -j

(рис. 62).

Во всех задачах этого параграфа предполагается, что осью симметрии параболы служит одна из осей координат.

I. Проверка принадлежности данных точек данной параболе

401.	Проверить,	принадлежат	ли	точки А ( 1;	—2),
В (4; 4) и С(1; 3) параболе у2 — Ах.				точки А (—3;	—3),
402.	Проверить,	принадлежат	ли	точки А (—3;	—3),
В (3	3; —9) и С (5; —8) параболе х2 —— Зу.

II. Составление уравнения параболы с вершиной в начале координат по координатам ее фокуса

403. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке F (3; 0).

Р еш ен и е . Фокус параболы лежит на положительной полуоси Ох, следовательно, уравнение параболы в общем виде дается уравнением (3.20), координаты фокуса кото

рого F {— •, oj. Найдем р: -|- = 3, р — 6 .

Подставив значение р в уравнение (3.20), получим:

у2— 2 • 6х = 12х, у2— \2х.

404. Составить уравнение				параболы с вершиной в начале
координат,	если	ее	фокус	лежит	в точке: 1) F (5; 0);
2) F (—4;	0); 3)	F (0;	2) и 4)	F(0;	- 3 ) .

III.Составление уравнения параболы с вершиной

вначале координат по уравнению ее директрисы

405.Составить уравнение параболы с вершиной в начале

координат, если ее директрисой служит прямая х = — 4. Р е ш е н и е . Расстояние директрисы от начала коорди

нат равно у , следовательно,	= 4, р —8 .
Уравнение этой параболы	в общем виде дается урав

нением (3.20), так как абсцисса директрисы отрицательна. Подставив в уравнение (3.20) значение параметра р,

получим:

у2= 16х.

406. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая: 1) х = — 2 ; 2) х = 3; 3) у — — 4; 4) у= 1.

IV. Составление уравнения параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох (Оу) и проходящей через данную точку

407. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и прохо дящей через точку Л( 1; —2).

Р е ш е н и е . Осью симметрии искомой параболы слу жит ось Оу и проходит она через точку Л (1; —2) —точку, лежащую в четвертой четверти, следовательно, парабола в общем виде задается уравнением (3.20). Подставив в это уравнение координаты точки Л (1; —2), найдем: (—2)2 = = 2 р -1, р = 2. После подстановки в уравнение (3.20) зна чения р получим:

у2= Ах.

408.Составить уравнение параболы с вершиной в на чале координат, симметричной относительно оси Ох и про ходящей через точку: 1) (5; —3); 2) (—4; 2); 3) (—2; —2).

409.Составить уравнение параболы с вершиной в на чале координат, симметричной относительно оси Оу и про ходящей через точку Л (4; 2).

Р е ш е н и е . Осью симметрии параболы служит ось Оу и проходит парабола через точку Л (4; 2), следовательно,

искомая парабола в общем виде задается уравнением (3.22). Подставив в это уравнение координаты точки А (4; 2), найдем: р —4. После подстановки в уравнение (3.22) зна чения р получим:

X 2 = 8у.

410.Составить уравнение параболы с вершиной в на чале координат, симметричной относительно оси Оу и про ходящей через точку: 1) (2 ; —3); 2) (—3; 1).

V.Составление уравнения директрисы параболы по уравнению параболы, проходящей через начало координат

411.Дано уравнение параболы у2 = 6х. Составить урав нение ее директрисы.

Р е ш е н	и е .	Из уравнения параболы у2 = блг	имеем:
2/7 = 6 , /?=	3.	Уравнение директрисы параболы	у2 = 2рх

имеет вид х = — у. Следовательно, уравнение директрисы

X — — у	или 2л: +		3 = 0.
412. Составить уравнение директрисы параболы:
1) у2 = 8х\		2) у2 = — 9х; 3) х2 = 4у, 4) х2 = — Ш</.
	VI.		Вычисление координат фокуса параболы,
проходящей через			начало координат, по данному ее уравнению
413. Дано уравнение параболы у2= 12л:. Вычислить коор
динаты	ее фокуса.
Р е ш е н и е .		Расстояние от начала координат до фокуса

равно у. Из уравнения параболы у2 — 12х имеем: 2р= 12,

/7 = 6 И у = 3. Следовательно, F (3; 0).

414. По данному уравнению параболы вычислить коор динаты ее фокуса: 1) t/2= 6х; 2) у2 — — 4х; 3) х2=14у; 4) X 2 — — Ъу.

VII. Вычисление координат фокуса параболы с вершиной в начале координат по уравнению ее директрисы

415. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы х — — 3.

Ре ш е н и е . Расстояние от начала координат до дирек трисы равно расстоянию от начала координат до фокуса

и равно у. Из уравнения директрисы х — — 3 следует, что

Y = 3. Уравнению директрисы х = — у соответствует па

рабола	у2 = 2рх,	фокус которой имеет положительную
абсциссу F (3; 0).		координаты	фокуса параболы с вершиной
416.	Найти
в начале координат, если ее директриса задана уравнением:
1) х = 2;	2) х = — 5; 3) у = 4;		4) у = — 6 .

VI11. Вычисление длины хорды параболы с вершиной в начале координат, проходящей через фокус параболы перпендикулярно к ее оси

417.Дана парабола у2 = \2х. Найти длину хорды,

проходящей через фокус параболы перпендикулярно

кее оси.

Ре ш е н и е . Хорда проходит через фокус параболы пер

пендикулярно к ее оси, поэтому абсцисса точек пересе чения хорды с параболой будет общей с абсциссой фокуса (рис. 63). Найдем из уравнения параболы координаты ее фокуса:


	у2 — \2х,		2р— 12, £		=	3, F{3, 0).
	Для	вычисления			ординат		точек
	пересечения хорды с					параболой		в
	уравнение		параболы подставим зна
	чение х = 3 (абсцисса				точек пересе
	чения	хорды с		параболой):			у2 =
	= 12x3 = 36,			откуда		t/li2 = ±		6,
	Следовательно,			точки		пересечения
	хорды	с	параболой:			Л4і(3;	6)	и
М2(3; —6). Длина хорды МХМ			равна 2FMX= 2 • 6 =					12.
418.	Дана парабола у2 = 20. Найти длину хорды, про

ходящей через фокус параболы перпендикулярно к ее оси.

IX. Вычисление координат точек пересечения параболы

свершиной в начале координат с данной прямой

419.Найти точки пересечения параболы у2 — 16х с пря

мой Ах —Зг/+ 8 = 0.	вычисления координат точек пере
Р е ш е н и е . Для
сечения параболы и прямой решим систему
[У= 16.
\	Ах — Зу ф- 8 = 0.

Корни	этой	системы	х1=1; г/і —4	и л:2= 4; у2 — 8 .
Следовательно,		парабола и прямая пересекаются в точ
ках (1; 4) и (4; 8).
420. Найти		точки пересечения: 1) параболы у2 — 16л:
с прямой	2х — г/+ 2 = 0;		2) параболы	у2 = 4х с прямой
2х — Зу + 4 = 0.
	X. Вычисление координат точек пересечения
двух парабол с вершинами в начале координат
421. Найти точки пересечения парабол у2= 9л; и х2= 9у.
Р е ш е н и е .		Для вычисления координат точек пере
сечения данных		парабол	решим систему	уравнений

( у2 —9х,

\X 2 = 9у,

Получим: л:і=		0;	У і — 0 и х2 = 9\ у2 = 9.				(0;	0)
Итак, имеем		две	точки	пересечения		парабол
и (9; 9).			пересечения парабол у — х2 и х — у2.
422. Найти точки
§ 21.	Парабола со смещенной вершиной
Уравнение	параболы с			вершиной	в	точке (а;		b),
с осью симметрии, параллельной оси					Ох	и ветви	кото
рой направлены вправо (рис. 64).
		(у - Ь )2 = 2 р (х -а ).					(3.24)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ