книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

339. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках ( ± ]/3; 0 ) и эксцентриситет его е = ~ .

340. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцен­ триситет е — 0 ,6.

V. Составление уравнения эллипса по координатам двух его противоположных вершин

(по длине большой или малой оси) и эксцентриситету

341. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси

Ох, если его большая ось равна 14, а-эксцентриситете = у .

342. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось равна 10, а эксцентриситет е —

=0, 6.

343.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси

Ох, если малая ось равна 16, а эксцентриситет е=±Ѳ,6 .

VI. Составление уравнения эллипса по сумме (разности) его полуосей и расстоянию между фокусами

344. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если сумма полуосей его равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

пересечения прямой и эллипса, для этого решим систему уравнений

х-\-Ау —28 = 0 ;

+ £ = 1

400 ' 25

Корни этой системы хх — 12, й = 4 их2= 16, у2 = 3. Точки пересечения прямой с эллипсом Л (12; 4) и 5(16; 3). По формуле (1. 1) найдем:

AB = У (16 — 12)2+ (3 — 4)2= VT7.

362. Найти длину отрезка прямой х — 2у —2 = 0, за-

^»2

ключенной внутри эллипса щ + |д = 1.

§19. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний каждой из ко­ торых от двух данных точек, называемых фокусами, есть ве­ личина постоянная, меньшая расстояния между фокусами и

не равная нулю. Уравнение гиперболы

(рис. 57).

Зависимость между парамет­ рами a, b и с

Гиперболы, выраженные уравнениями (3.11) и (3.17), называются сопряженными. Уравнение равносторонней ги­ перболы с фокусами на оси Оу

с координатами Ах (—а; 0), Л2 (а; 0), Вг (0; —6) и В2 (0; 6); 2) проводят через эти точки прямые, параллельные

осям Ох и Оу, получают прямоугольник с центром в начале - координат и со сторонами 2а и 26;

3)строят диагонали этого прямоугольника и продол­ жают каждую из них в обе стороны, получают асимптоты гиперболы (3.14);

4)вычерчивают ветви гиперболы (от руки) как кривые, проходящие через вершины Ах (—а; 0) и А2(а; 0) и при­ ближающиеся к асимптотам по мере удаления от начала координат (см. рис. 57).

Построение гиперболы с фокусами на оси Оу (3.17)

выполняется аналогично.

Во всех задачах на гиперболу предполагается, что оси симметрии гиперболы совпадают с осями координат.

I. Проверка принадлежности данных точек данной гиперболе

363. Проверить, принадлежат ли точки: 1) А (5; 6),

В (21/5; 4) и С (3; 5) гиперболе^ — = 1; 2) Л (УТб; —2),

ß ( j / 3 ; —5) и С (—31/2; 6) гиперболе у —|g = l.

II.Составление уравнения гиперболы по длинам ее осей

364.Составить уравнение гиперболы с фокусами на

необходимо знать параметры а и Ь. Из условия задачи

365. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если ее действительная ось равна 24 и мнимая ось равна 40.

ІИ. Составление уравнения гиперболы по длине ее дейст­ вительной оси (по координатам двух ее вершин) и расстоянию между фокусами (координатам фокусов)

366. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках Ах (—3; 0) и А2 (3; 0) и фокусы в точ­ ках (±5; 0).

Решен ие . Из условия задачи следует, что а = 3 и с — 5. По формуле (3.12) имеем: 62= 52—32= 16.

Подставив значения а и Ьъ в уравнение (3.11), получим:

ж2 _ _ ,

916

367.Составить уравнение гиперболы, если ее вершины

оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20.

IV. Составление уравнения гиперболы по координатам

еефокусов (расстоянию между фокусами)

иее эксцентриситету

369.Составить уравнение гиперболы по координатам

ее фокусов Р ( ± 2 0 ; 0) и эксцентриситету е = -д.

Р е ш е н и е . Из условия задачи имеем: с = 20, е = /- =

= у . Подставив во второе равенство значение с, найдем:

По формуле (3.12) найдем: 62= 202— 122= 256. Под­ ставив значения а и Ь2 в уравнение (3.11), получим: '

_х?__ */2 _ ,

144256

370.Составить уравнение гиперболы по координатам

еефокусов и эксцентриситету:

1) F (± 2 ]/2 ; 0), е = 2; 2) Р ( ± З Ѵ З ; 0), е = ± -Ѵ б .

V.Составление уравнения гиперболы по длине

еедействительной (мнимой) оси и эксцентриситету

371.Составить уравнение гиперболы с фокусами на

с = 8 . Используя формулу (3.12), найдем: Ь2 = 82 — 62 = 28. Подставив значения а и Ь2 в формулу (3.11), получим искомое уравнение:

хъ у1 .

36 “ 2 8 “

372. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 14 и

эксцентриситет равен у9 .

373. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее мнимой оси равна 8 и эксцентри-

5

ситет равен у .

Р е ш е н и е . По условию задачи имеем: 26 = 8 , откуда

5

Ь = 4 и е — у . По формуле (3.13) найдем а2:

х^_ _ t_ _ 1

916

374.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее мнимой оси равна 8 и эксцентри­

(разности) ее полуосей и расстоянию между фокусами