Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

218

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

304. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и отсекающей на осях Ох и Оу соответственно отрезки —4 и —3.

XVIII. Вычисление координат центра и радиуса по данному уравнению окружности

305. Найти координаты центра и радиус окружности:

х2 + у2+ Мх -\-Ny-\-P = 0.

Р е ш е н и е . Перепишем данное уравнение в следующем виде:

X2 + Мх + у2+ Nу — — Р.

Дополнив двучлены х2-\-Мх и y2 + Ny до полных квад ратов, запишем:

	м_		' .	а ,	о	N ,	(N\ z
x2 + 2 . - ^ - x + f\ 2			+ У + 2*
	М		+		-	Р
или	2		+		-	Р
или	. М \2 . [ ,		N \2		M+ N-4P
	. М \2 . [ ,		N \2		M+ N-4P
	* + ‘2~) + \У + ~2
Получим	уравнение	вида		(3.2),		откуда	имеем соотно
шения (3.5)	и (3.6):
	м_
	2	’		у м * + т — 4Р'
	N _	’	г ~		2
	2	’

Используя в дальнейшем эти соотношения, можем легко из уравнения (3.4) находить координаты центра окружности

(а; Ь) и радиус г.			координаты центра и радиус окружности
306.	Найти
x 2Jt~y2 — 8 x — 10у —8 = 0.				Построить	эту окружность.
Р еш ен и е,		l -й	способ. Перепишем данное уравнение
в таком	виде:	X2 — 8х-\-у2 — Юу — 8.

Дополнив		двучлены		х2 — 8х и	у2— 10у	до полных
квадратов получим:
или	х2— 2-4х +		42 + г/2- 2 - 5 # + 5 2 = 8 + 42 +			52'

(X —4)2 + («/ —5)2 = 49,

откуда а= 4, b —5, r = 7,			т. е. имеем окружность			с цент
ром в точке (4; 5) и с радиусом равным 7.
2-й способ. Воспользуемся				соотношениями (3.5) и (3.6),
полученными в задаче 305.				имеем: М = —8, N — —10,
Для	данной	окружности
Р = —8,	откуда	а = -----=			&s= ----- 2— = 5,	г =
V(—8)2+ ( — ІО)3— 4 (—8)			УІ96		'
~	2		—	2 —	'

Построение окружности: построив центр окружности точку Оі (4; 5) радиусом равным 7, опишем окружность.

307. Найти координаты центра и радиус окружности:

1) х2-\-у2-\-6х— 10j/-f l3 = 0; 2) *2 + У + 1 2 у - 13 = 0.

308. Найти ^координаты центра и радиус окружности

4х2+ 4у2 - 4 х + 20у - 23 = 0.

У к а з а н и е .	Заданное	уравнение		привести к виду (3.4).
309. Найти	координаты центра и радиус				окружности:
1) 9л:2 + 9 / +42л: —5 4 г /-95 = 0;				2) х2 + у2— 4х—Щ +
+ 29 = 0; 3) л:2 + У + 6л:+14г/ + 81 = 0 .
XIX.	Вычисление расстояния между центрами #
	двух данных окружностей
310. Найти	расстояние между центрами окружностей:
1) х2-\-у2— 1 0л:+ 16г/+ 80 = 0 и				л:2 + у2+ 6л:+ 4у— 12 = 0;
2) x2-\-y2Jf 4 x — 12г/+ 36 = 0, х2 + у2- 8 х +					10г/+ 5 = 0.
XX.		Составление уравнения			прямой,
проходящей через центры двух данных окружностей
311. Составить уравнение прямой, проходящей через
центры окружностей:
1) х2 + у2 — 8 х - 4 у + П		= 0	и	х2 + «/2 + 4л:+12г/ + 4 = 0;
2) x2J\-y2-\-4x —0у—23 = 0 и			х2-\-у2— \0х— 14г/+ 58 = 0.

XXI. Составление уравнения диаметра данной окружности, образующей данный угол с осью Ох

312. В окружности л:2 + у2+ 6л: — 4у— 12 = 0 диаметр образует угол 60° с осью абсцисс. Составить уравнение диаметра.

Р е ш е н и е . Чтобы составить уравнение диаметра, надо знать точку, через которую он проходит, и его угловой коэффициент. Этой точкой будет центр данной окружности

Ох(а\	Ь).	(3.5) имеем:
Из	соотношений	(3.5) имеем:
	м	JV	—4	2;
	2	\| = - з . » = - ‘2	2	2;
		Оі (—3; 2).
Угловой коэффициент находится из			соотношения k —
= tg а:		k = tg 60° = К З .'
		k = tg 60° = К З .'

Уравнение	диаметра
у — 2 — \	/Г3(х-{-3) или УЗх — у-\-ЗУ~3 + 2 = 0.

313. Диаметр окружности х2-\-у2— 2Х + 4у —4 = 0 обра зует с положительным направлением оси угол 135°. Найти уравнение этого диаметра.

XXII.	Составление уравнения диаметра данной							окружности,
		перпендикулярного к данной				хорде
314. Дана		окружность		х2-\-у2—8х—2 # + 4 = 0;
Составить	уравнение		диаметра,			перпендикулярного
				хорде X — 5у — 12 = 0.
				Р е ш е н и е .					1-й		спо
				соб.	Найдем			координаты
				точек		пересечения				окруж
				ности		с	хордой.				Для
				этого решим систему							урав
				нений:
				I X2-f у2 — 8х — 2у +							4 = 0,
				[ х - б у -			12 = 0.
				Корни этой системы
					* і =	7 ;	Уі = —		1		и
					*2=2,			^/2 =		2.
Имеем	две	точки пересечения			хорды		с окружностью:
Л (7; — 1)	и В (2; - 2 )		(рис.	52).

Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину С. Найдем координаты точки С:

*с =	1+ хв	7 + 2		9		Уа+Ув
*с =	2	2		2	’	Ус
	2	2		2	’	3
	_	_1 + ( - -2)				3
		2				2 ’
		9		3	''
		9	’	2	у)•
		ü V2	’	2	у)•

Определим угловые коэффициенты хорды AB и диа метра MN:

		<а в -	Ув- У а	—2— (—1) _ 1 .
		<а в -		2 - 7
				2 - 7
			MTV :	■= — 5.
				'AB
Составим уравнение диаметра:
-	y - y c = kMN( x ~ x c),			0 —(—-§-) = — б ( х - у ' )
ИЛИ			5х-\-у— 21 =0.
			5х-\-у— 21 =0.
2-й способ. Найдем центр окружности из соотношений
(3.5):
а _	м_	—s	„	л/	—2	1; Ох (4; 1).
		2	4, ô — 2			1; Ох (4; 1).

Вычислим угловые коэффициенты хорды AB и диаметра MN, перпендикулярного хорде:

	* - 5 0 - 1 2	= 0, 0 = 4 - * - - \|5- ,		ііав = \ \
		1	-5.
		' A B

Составим уравнение диаметра:
или	У — У о ^ к м к іх —Хо^,		у — 1 = —5(х —4)
		5х + у —21 — 0.

315.	Дана окружность		х2 + у3 + 4х — 6г/ = 0. Составить
уравнение диаметра,		перпендикулярного		хорде 2х —Зу-\-
+ 13 = 0.

316.Составить уравнение радиуса, проведенного в точку Л(5; —6) окружности х2 + у2 — 6х-\-2у — 19 = 0.

317.Составить уравнение радиуса, проведенного в точку Л (6; 3) окружности хг-\-у2 — 6х — 9 = 0.

XXIV. Составление уравнения касательной, проведенной в данную точку данной окружности

318.	Составить		уравнение			касательной,				проведенной
в точку	Л (4; —5)	окружности			х2-\-у2 — 2х-\-2у —23 = 0.
				Р еш ен и е .					Касательная
				перпендикулярна					к	радиусу,
				проведенному				в	точку		каса
				ния.	Чтобы составить						урав
				нение		касательной,				нужно
				знать		ее	угловой			коэффи
				циент и точку касания. Угло
				вой коэффициент касательной
				вычислим			из	углового коэф
				фициента			радиуса.				най
				Из		соотношений (3.5)					най
				дем центр окружности Оі (а; Ь):
	Рис. 53					Oj. (1;		—1) (рис. 53).
						Oj. (1;		—1) (рис. 53).
Определим угловые коэффициенты радиуса ОіЛ и каса
тельной	AB:							4_
	kOiA =	УА ~	УО,	- 5 - ( - 1 )				4_
				4 — 1				3 ’
		клв = —		— — А
				4>и		4 *
Составим уравнение касательной:
	у - У л = кАВ( х - х А),			у —(—5) = т				(х —4)
или		3х — 4у — 32 = 0.							I
		3х — 4у — 32 = 0.							I
319.	Составить		уравнение			касательной,'				проведенной
в точку Л (—2; 0)		окружности x2Jr y2 — Юг/+ 20 = 0.

320. Составить уравнение общей хорды двух пересе кающихся окружностей:

		х2+ у2+ 2х + 2у — 23 =			0,
		X2+ у2 — 26л; — 2у + 45 =			0.
Р е ш е н и е .		Найдем координаты точек пересечения А
и В окружностей,			решив систему уравнений:
		\| * 2 + У2 + 2л:+ 2г/ — 23 =			0,
		\х2+ у2— 26л: — 2у+ 45 = 0.
Корни	этой	системы лу= 3, гц= —4 и л:2 = 2, у2 = 3.
Точки	пересечения окружностей А (3; —4) и В (2; 3).
Найдем угловой			коэффициент хорды AB:
			Ув - У а	3 - ( - 4 )	7.
	К А В		ѵ ___ѵ —	о _ Q
Составим уравнение хорды AB:
у - У в = ЬАВ( х - х в),				у — 3 — —7 (х — 2)
или

7х-\-у—17 = 0.

321. Составить уравнение общей хорды двух пересе кающихся окружностей:

X2+ У2 — % = 0, х2-\-у%— 12л: = 0.

XXVI. Составление уравнения окружности, проходящей через данную точку и концентрической данной

322. Составить уравнение окружности, проходящей через точку А (4; —7) и концентрической окружности

X2+ у2+ 4л: — 2у — 11 = 0.

Р е ш е н и е . Центр искомой окружности общий с цент ром данной окружности Ог {а\ b), радиус искомой окруж ности ОіЛ.

Из соотношения (3.5) найдем координаты центра окруж ности:

О і(-2 ; 1).

Найдем радиус окружности:

г = OtA = У (—2 - 4)2+ [ 1 - (—7)]2= 10. Составим уравнение окружности:

[я — (—2)]2+ (у— 1)2= ІО2 или х2+ У2+ 4я — 2у — 95 = 0.

323.Составить уравнение окружности, проходящей

через точку А (5; 6) и концентрической	окружности х2+
+ «/2 —2x + 6«/+l = 0.
§ 18. Эллипс	*

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек,

называемых фокусами, есть величина постоянная (и боль шая, чем расстояние между фокусами).

Уравнение эллипса

£ +	(а>Ь),		(3.7)
где а —длина большой	полуоси;	54).
Ь —длина малой полуоси (рис.		54).	и с
Зависимость между параметрами а, b			и с
	а* —Ь2 —с2,		(3.8)
где с — половина расстояния между фокусами.
Эксцентриситет эллипса
С	Vа2 — Ь2	< 1.	(3.9)
а	а

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу в точках (0, ±с) (рис. 55), то его уравнение имеет вид

_	4- —	1 (а > Ь).	(3.10)
Ьг	‘ а2

В формулах (3.7) и (3.10) х и «/— переменные коорди наты-координаты любой точки эллипса.

У эллипса (3.7) по координатам противоположных его вершин (±а\ 0) и (0; ±Ь) непосредственно находятся длины большой оси -2а и малой оси 2b и, наоборот, по длине большой оси эллипса 2а и ма лой оби 2b находятся соот ветствующие вершины эллипса

(±а; 0) и (0; ±Ь).

■Ь

f ^

h '

В,

Рис. 56

По координатам фокусов эллипса (±с; 0) находится расстояние между фокусами 26 и по расстоянию между

фокусами 2с находятся координата фокусов (± с; 0).

Построение эллипса по его уравнению -2 1 про

изводится по следующей схеме:

1. Находят полуоси эллипса а и b и строят точки с коор динатами Л і(—а; 0), А2{а\ 0), Вх(0; —Ь) и В2(0; Ь).

2.Проводят через эти точки прямые, параллельные осям Ох и Оу, получают прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами 2а и 2Ь.

3.Вычерчивают эллипс (от руки) как кривую, прохо дящую через вершины Аь В2, А2 и Ві внутри прямоуголь ника (рис. 56).

Во всех задачах на эллипс предполагается, что оси симметрии эллипса совпадают с осями координат.

	1. Проверка принадлежности данных					точек
			данному эллипсу
324.	Проверить,		принадлежат	ли	точки: 1) А (9; 4),
В (12; 3)	и С (1;	6) эллипсу 2У5 +		І 5 = 1;
2) Л ( ) Л 0; 2)		и	5(4; 1) эллипсу ~		+	\|- = 1 .

II. Составление уравнения эллипса по длинам его осей

325. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если даны его оси: 2а— 12 и 26 = 8 .

Р е ш е н и е . Для составления уравнения эллипса необ ходимо знать его параметры а и Ь. Из условия задачи имеем: а — 6 и Ь — 4. Подставив эти значения а и b в урав нение эллипса (3.7), получим

х2 , у2 .	х2 у2 .
¥ +Ь =1 и л и	36 + І 6 = 1 -

326.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если даны его оси: 2а = 8 и 26 = 6 .

327.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси

Оу, если даны его оси: 2а =10, 26 = 4.

III.Составление уравнения эллипса по координатам

двух его противоположных вершин (длинам большой или малой осей)

икоординатам фокусов (расстоянию между фокусами)

328.Составить уравнение эллипса, если две его вершины

находятся в точках Лі(—6 ; 0)		и	Л2 ( + 6; 0), а	фокусы
заданы координатами (±4; 0).			следует, что а = 6 и
Реш ен ие . Из	условия задачи
с = 4. По формуле	(3.8) найдем:	62= 62— 42= 20.		Подста

вив значения а и 62 в уравнение (3.7), получим:

329.Составить уравнение эллипса, если две его вер шины находятся в точках Лі (—5; 0) и Л2 (+5, 0), а фокусы заданы координатами (±3; 0).

330.Составить уравнение эллипса, если две его вер шины находятся в точках Ві (0 ; —8) и В2(0; + 8), а фо кусы заданы координатами (±5; 0).

331.Составить уравнение эллипса, если его вершины находятся в точках (—8 ; .0) и (8, 0), а фокусы заданы координатами (0 ; ± 6).

Р е ш е н и е .	Из	условия	задачи следует,	что фокусы
лежат на оси	Оу, тогда Ь = 8 , с = 6.			Подставив
По формуле (3.8)		имеем:	й2= 82+ 62= 100.	Подставив
значения а2 и	b в уравнение (3.10), получим:
		64 ^	100 1

332.Составить уравнение эллипса, если две его вер шины находятся в точках (0; ±4), а фокусы заданы коор динатами (0 ; ± 2).

333.Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 (фокусы лежат на оси Ох) и боль шая ось равна 10.

Реш ен ие .		Из	условия задачи			имеем: а = 5 и с = 3.
По формуле (3.8): ô2= 52— З2= 16.						Подставив		значения а
и b2 в уравнение (3.7),				получим:
				л-2	fi2
				~	4- у- = 1,
334.	Составить		уравнение эллипса,				если	расстояние
между	фокусами равно				10 (фокусы лежат на оси Ох) и
большая ось равна 12.
335.	Составить уравнение эллипса, если координаты его
фокусов ( ± 2 ; 0) и малая ось равна 8 .
336.	Составить уравнение эллипса, фокусы которого ле
жат в точках (О; ± 1 /5 )					и большая ось равна 6 .
Р е ш е н и е .		Фокусы			лежат на оси Оу, следовательно,
п = 3.		(3.8)	имеем:
По формуле
		Ь2 =		32- ( Ѵ 5 У =		А.
Подставив значения			а	и Ь2 в уравнение			(3.10), получим

*2 , у2

4' 9 ' 1.

337.Составить уравнение эллипса, фокусы которого

лежат в точках (0; ± ] / 3 ) и большая ось равна 4 ]/7 .

IV. Составление уравнения эллипса по координатам его фокусов (расстоянию между фокусами)

и его эксцентриситету

338.	Составить	уравнение	эллипса, фокусы	кото
рого лежат	в точках	(±4; 0)	и эксцентриситет	его

£ = 0, 8.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ