книги из ГПНТБ / Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник
..pdf
г
60
— д 0 о($) + 6 0 ,Ц ), |
(4.27) |
|
* 4 |
|
|
0 0,($) |
|
|
« - і 0 Д ) + а 0 о(*).^ |
|
|
Решение этой системы дифференциальных уравнений |
будем искать |
|
в предположении следующих начальных условий: |
|
|
W |
'. |
(4.28) |
0,(0) |
= 0 . |
|
Эти начальные условия соответствуют предположению, что в момент начала эксплуатации ( z = 0) средство исправно.
Выполнив в правой и левой частях системы (4.27) преобразо вание Лапласа, получим:
Й 1„(2)- |
г / (0 )= -д 1 о(52)+ |
61,(2), ' |
(4.29) |
|
|
|
|
■ |
|
Й1,(Й)- |
0,(0) — |
bLjSL) + fli.0(2), |
|
|
|
0 |
—Q7 |
|
|
|
w |
|
|
|
где |
i.„ (2 )= [ |
0,(z) e |
0 2 . |
|
0
Подставив в данную систему значения начальных условий из
(4.28) и решив ее относительно LQ(Si) |
, найдем |
£2+6 |
(4.30) |
10(й) = |
|
й(й + а + 6) |
|
Оригинал функции 0О( н а х о д и т с я |
путем обратного преобра |
зования Лапласа: |
|
М -ЗІ)
где 1„(2) вычисляется по формуле (4 .30).
Применив теорему вычетов для перехода в выражении (4.31)
к оригиналу и учтя равенство (4 .2 2 ), |
получим |
|
-(<*+$>$ |
(4.32) |
|
а е |
+ Ь |
|
*і ($) =
а+Ь
Поскольку
61
а= тI
где Т и 15 - математические ожидания соответственно времени наработки средства на один отказ и времени ремонта средства, уравнение (4,32) может быть записано в виде
|
|
Г + Ѳ е |
|
(4.33) |
|
|
Т + 1 |
|
|
||
Качественная |
зависимость |
кг{%) |
от |
£ |
изображена на рис.4 .2 . |
В пределе, когда |
, согласно |
(4.33) |
имеем |
||
|
к (со) = = У |
• |
(4.34) |
||
|
Л |
' Г + ¥ |
|
|
|
Отсюда следует, что при оо вероятность того, что рассматри ваемое средство исправно, стремится к стационарному значению, не зависящему от состояния средства в начале эксплуатации. Та
ким образом, величина |
может |
|
|
||||
рассматриваться как вероятность то |
|
|
|||||
го, что в произвольно взятый момент |
|
|
|||||
времени |
)= средство находится в ис |
|
|
||||
правном (работоспособном) состоянии. |
|
|
|||||
При этом считается, что момент вре |
|
|
|||||
мени ^ |
может |
с |
равной |
вероятностью |
|
|
|
возникнуть в пределах всего времени |
|
|
|||||
z эксплуатации средства. |
Р и с.4 .2 . |
Зависимость ко |
|||||
Из выражения |
(4.34) |
следует: |
|||||
эффициента готовности |
|||||||
1 ) при Т » |
Ѳ |
вероятность того, |
средства |
от времени |
|||
что в произвольно взятый момент вре |
|
|
|||||
мени средство |
исправно, |
близка к единице, т .е . |
основную часть |
||||
времени эксплуатации средство находится в исправном состоянии;
2) |
при Г = |
Ѳ |
средство с равной |
вероятностью может находить |
|
ся как в исправном, так и в неисправном состоянии; |
|||||
3) |
при Г « |
15 |
вероятность |
того, |
что средство в произвольно |
взятый |
момент |
исправно, очень |
мала, |
т .е . основную часть време |
|
ни эксплуатации средство находится в ремонте.
Следовательно, для повышения готовности средств непрерыв
г
62
ного использования необходимо увеличивать их надежность и все мерно снижать время ремонта.
Рассмотренная вш е методика определения коэффициента готов ности предполагает,что нам известны показатели надежности и ре монтопригодности средства в целом. Однако коэффициент готовно сти средства может быть вычислен и при условии, когда известны показатели надежности и ремонтопригодности лишь отдельных со ставляющих его устройств. Остановимся на этом вопросе подроб нее.
Случай независимой работы устройств. Структурная схема на дежности нерезервированного средства представляет собой после довательное соединение N устройств, работающих независимо друг от друга (на время ремонта включается только отказавшее устрой
ство). Пусть математические |
ожидания времени наработки Т* на |
|||||||||||
один отказ |
и времени |
Ѳ* |
ремонта |
L-го устройства равны соот |
||||||||
ветственно |
TL и \ |
( I = |
I , |
|
2 , |
3 , . . . , N ). Требуется |
вычислить |
|||||
коэффициент готовности средства для стационарного (£ |
-*■ оо) ре |
|||||||||||
жима его эксплуатации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятность |
того, |
что |
в произвольно |
взятый момент времени |
||||||||
і -е устройство |
исправно, |
равна |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
К; |
Іе о ) |
|
Т: |
|
|
(4.35) |
||
|
|
|
|
= =-*-=- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4>г |
|
I |
- ѲА |
|
|
|
|
Тогда для независимых |
условий |
работы устройств коэффициент го |
||||||||||
товности средства |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
кJpo) = |
П н- .(°°)= П — |
+ 9 |
■ |
(4.36) |
|||||
|
|
|
г |
|
іч |
і'г |
|
іч т |
I |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
Из данного выражения следует, что коэффициент готовности сред ства равен произведению коэффициентов готовности составляющих его устройств в случае независимой их работы.
Случай зависимой работы устройств. Пусть средство по-преж нему состоит из N устройств, время наработки на один отказ лю бого из которых распределено по экспоненциальному закону
_г
|
Ш( Т ) = ± е ~Ъ , |
(4.37) |
где I = I , |
2, 3, . . . , N . |
|
В момент |
выхода из строя любого из устройств средство вы |
|
ключается на |
время ремонта. Интенсивности отказов устройств в |
|
63
выключенном состоянии средства равны нулю. Как только неисправ ное устройство будет отремонтировано, средство немедленно вклю чается. Требуется вычислить коэффициент готовности средства для стационарного режима его эксплуатации.
Математическое ожидание времени наработки средства на один отказ при условии (4.37)
|
|
|
М Ш ' - |
(4.38) |
||||
|
|
|
|
|||||
|
Математическое ожидание времени ремонта средства |
|
||||||
|
|
|
ѳ |
= Д |
а , |
‘ |
, |
(4.39) |
|
|
|
|
w |
L |
|
|
|
где |
- математическое |
ожидание |
времени ремонта L-го |
устрой |
||||
|
ства; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ql - вероятность отказа |
в работе средства по причине выхо |
||||||
|
да |
из строя |
L-го |
устройства. |
|
|||
|
Величина |
QL равна |
вероятности |
совместного выполнения систе |
||||
мы неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
г* г.
п>г.
|
|
ѵ , * |
Г . |
|
(4.40) |
|
|
с * |
т: |
|
|
|
|
Т* > Т* |
У |
|
|
|
|
N |
I |
|
|
где L = 1 , |
2, 3, |
. . . , А/. |
|
|
|
Данная |
система |
неравенств выполняется с |
вероятностью |
||
(4.41)
Qi “ (Г Д ( » s W dx
о Hs*‘>i*
Подставив в данное выражение значение wL(TL) , определяемое по формуле (4. 37), и выполнив интегрирование, получим
f i i = r-і~ Т ’ |
(4.42) |
I I f - |
|
n*l |
|
где і = 1 , 2, 3, . . . , уѴ.
64
Подставив в выражение (4.39) данное значение QL, получим
(4.43)
Наконец, подставив в (4.34) значения Г и Ф , определяемые выражениями (4.38) и (4 .4 3 ), получим
(4.44)
В частном случае, когда все устройства средства являются однотипными, т .е .
где L = I , 2, 3, . . . , N , Tt и Ѳ( - математические ожидания вре мени безотказной работы и времени ремонта одного устройства,пра вая часть равенства (4.44) приводится к весьма простому виду:
Из последнего выражения следует, что коэффициент готовности
средства при фиксированных значениях Т-и и |
с ростом N умень |
шается. |
|
Готовность резервированных средств непрерывного использования
Пусть резервированное средство непрерывного использования состоит из г основных и m резервных устройств, каждое из ко торых предназначено для выполнения одних и тех же функций. Ин тенсивности отказов основного (работающего) и находящегося в резерве устройств равны соответственно п и / ? . Любое отказав шее устройство ремонтируется одним специалистом (бригадой).про изводительность которого равна Ь . Число специалистов (бригад), обеспечивающих ремонт отказавших устройств, лежит в пределах
65
О « п « т + 1 . |
(4.45) |
Как только число к отказавших устройств достигнет к = т+1, средство выключается на время приведения его в работоспособное состояние.
Требуется вычислить коэффициент готовности рассматриваемо го средства для стационарного ( ^ — °°)режима его эксплуатации.
В целях упрощения решения поставленной задачи будем пола гать следующее:
-в начальный момент времени все устройства (основные и резервные) исправны;
-продолжительности исправного состояния и времени ремонта устройств распределены по экспоненциальному закону;
- |
условия работы и ремонта устройств являются независимыми; |
- |
интенсивности отказов устройств средства в выключенном |
состоянии равны нулю.
При этих условиях сформулированная выше задача может быть решена методами теории массового обслуживания. В нашем случае весь процесс ремонта средства можно рассматривать как ситуацию массового обслуживания с ожиданием.
Если в произвольно взятый момент времени число неисправных устройств равно ң , то будем говорить, что средство (а следова тельно, и система массового обслуживания) находится в состоянии
к, а вероятность этого события будем обозначать через UK. Поскольку в выключенном состоянии интенсивности отказов в
работе устройств равны нулю (по условию задачи), область воз можных состояний системы обслуживания определяется неравенством
О « к « т + 1. |
(4.46) |
Параметр потока требований (отказавших устройств)
га + {т-к) h при 0 « к ^ т \
(4.47)
Опри к = т+1 .
Моменты времени выдачи специалистами (бригадами) отремон тированных устройств представляют собой поток ординарных собы тий. Параметр іП такого потока равен среднему числу устройств, отремонтированных в единицу времени. Очевидно, что величина па раметра Ä в существенной мере зависит от того, в каком из со стояний находится система. Следовательно, параметр потока об служивания (потока отремонтированных устройств)
|
|
66 |
нЬ |
при |
0 < к £ п ; |
П Ь |
При |
(4.48) |
П + 1 * К < /77 + /. |
Отсюда следует, что при определении коэффициента готовности воз можен переход средства из неработоспособного состояния (я = т+1)
вработоспособное(к 4 т).
Всоответствии с выражениями (4.47) и (4.48) систему одно родных алгебраических уравнений (4.21) процесса обслуживания
можно записать в следующем виде:
*■ |
Ь, U = а |
U |
|
|
|
> 1 |
0 |
0 |
|
|
W - t o , + |
bt)Ur a0U |
(4.49) |
|
|
|
|||
|
Ьт ,U |
,= (д +Ь )U -а |
. U |
|
|
т+г т+1 |
+^т т' т |
т-1 т-1 У |
|
Система уравнений (4.49) обеспечивает решение с точностью до множителя UQ , поскольку последнее уравнение в ней опущено. Вместо опущенного уравнения используем условие
т *1 |
|
Ъ и н = 1, |
(4.50) |
к=0 |
|
выражающее собой требование полной группы событий. |
|
Если значения UHв результате решения уравнений |
(4.49) и |
(4.50) найдены, то коэффициент готовности средства для стацио
нарного ( ^ — оо) режима его |
эксплуатации |
|
||
М “ > |
- |
£ а. - 1 -ч |
,m+f * |
(4.51) |
|
||||
|
|
Х*0 |
|
|
Отыскание значений |
UH сводится к следующему. |
|
||
Решив первое из уравнений (4.49) |
относительно Uf , |
получим |
||
|
|
и>= и от; |
|
|
Решив относительно |
U2 второе из уравнений (4.49) |
и учтя |
||
предыдущее соотношение, |
найдем |
|
|
|
Продолжая аналогичное последовательное решение уравнений (4.49) относительно UK , можно установить, что
67
|
|
|
|
|
|
|
|
K-t й; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ин = |
ио П 1 Г - |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
0 і»о |
|
|
|
|
где |
к - |
l f |
|
2 , |
3 , . . . , |
т + 1 . |
|
|
|
|
||
|
Правая часть данного выражения с учетом (4.47) и (4.48) |
|||||||||||
приводится к |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
(4.52) |
UК -<1 |
Un |
|
|
к~1 Г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
при |
п + І ^ к ^ т + І. |
|||||||
|
_ п-п „ I |
|
Y 1П' |
[па + (m-L) h\ |
||||||||
|
П |
П |
\ Ь |
i*fi-0 |
*• |
|
J |
|
|
|
|
|
|
Величина UQ согласно выражениям |
(4 .5 2 ), (4.51) |
и |
(4.50) |
||||||||
удовлетворяет |
соотношению |
|
|
|
|
|
||||||
° ,ш{ * ітіѴд |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Подставив |
в (4.51) значение UH , определяемое |
из |
выражения |
||||||||
(4.52), для |
|
стационарного процесса получим |
|
|
||||||||
|
|
*г (°°)= |
|
|
[\ya+ {m -l)h\ , |
|
(4.54) |
|||||
где |
UQ вычисляется по |
формуле |
(4 .53). |
|
|
|
||||||
|
В частном |
случае, |
когда число обслуживающих специалистов |
|||||||||
(бригад) |
п = т + I , согласно |
(4.54) |
имеем |
|
|
|||||||
|
|
нг{°°) |
= / - |
(т*П\ |
|
|
|
|
(4.54a) |
|||
|
|
|
m+t . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 + I \ j f y \ r a+(m- L) h] |
|
|
||||
При этом, |
если |
a = h |
(нагруженное резервирование с |
восстановле |
||||||||
нием устройств), то |
|
|
|
|
|
|
||||||
(4.546)
Нг{са) = 1-
68
Наконец, если h = 0 (ненагруженное резервирование с восста новлением устройств), то согласно (4.54а) имеем
(4.54В)
Если в |
выражениях (4 .5 4 ), (4 .5 4 а ),(4.546) |
и (4,54в) поло |
||||
жить п = I, |
п = І и |
т - 0 |
(отсутствие резервных устройств), то |
|||
|
|
. . |
Ь |
__ Т |
|
|
где |
|
|
а + Ь |
Т + Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае получили значение н£°°) , |
совпадающее с |
|||||
(4.34) для нерезервированного средства, что и |
следовало |
ожидать. |
||||
Анализ |
выражений, |
определяющих величину яг(°о) для |
резерви |
|||
рованных средств, показывает, что резервирование является одним из важных путей повышения готовности техники. Иначе говоря, ре зервирование является не только средством повышения надежности техники, но и средством повышения ее готовности.
П р и м е р . На пункте управления для приема информации по радионаправлению используется дублированное средство связи, состоящее из основного и нагруженного резервного радиоприем ников. Каждый радиоприемник обслуживается одним оператором,спо
собным производить ремонт при возникновении отказа. Радиоприем ники эксплуатируются в стационарном режиме. Время безотказной работы и время ремонта распределены по экспоненциальному зако ну. При этом математические ожидания времени безотказной рабо ты и времени ремонта соответственно Т = 100 час и Ѳ = 5 час.
Определить:
1)коэффициент нг3 готовности дублированного средства
связи;
2)коэффициент нг готовности средства связи для случая, если бы в радионаправлении использовался только один радиопри емник;
3)во сколько раз больше вероятность застать в произвольный
69
момент времени неисправным нерезервированное средство связи по сравнению с резервированным.
Решение:
I)согласно выражению (4.546) имеем
н = 1 - |
и |
Ѳ2 |
0,9977; |
||
га |
Ъ + Ъ)г |
(Т + Г |
2)согласно выражению (4.34) имеем
_ 7 |
0,952; |
|
т+ § |
||
|
3)искомое отношение
I ’-«г * 20-
1 - к .'г В
Следовательно, для нашего примера готовность резервирован ного средства связи в 20 раз выше готовности нерезервированно го средства..
§ 4 .3 . ГОТОВНОСТЬ ДЕЖУРНЫХ СРЕДСТВ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ И СВЯЗИ К ПРИМЕНЕНИЮ
Определенная часть средств используется в так называемом дежурном режиме. При этом средство находится в выключенном со стоянии, но подготовлено к работе. В случае поступления коман ды (заявки) дежурное средство включается для проведения работы. Время подготовки к работе таких средств невелико и определяет ся практически продолжительностью их разогрева при условии,что в средстве отсутствуют отказы. Наличие отказа в средстве при водит к невыполнению поставленной задачи. Это объясняется тем, что время на отыскание и устранение отказа для дежурных средств больше, чем время, отводимое на выполнение задачи.
Для поддержания дежурных средств в исправном состоянии на них проводятся регламентные работы.
Примером дежурных средств могут служить передатчики, кото рые настроены на нужные частоты и полностью подготовлены к при менению, но находятся в выключенном состоянии. При поступлении команды (заявки) передатчик включается и через время, опреде ляемое в основном временем переходных процессов, используется