Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4434 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

330

тов в запасе т я величиной вероятности нормального функциони рования п .

Для установления этих соотношений рассмотрим простейшую си стему, состоящую из п одинаковых элементов (ри с.16,6 а ). Систе-

Л	л
L l _	2

- J .„

11— '

	А
f------------	п

э э

00 ш

	—1	2
	—1 11

	1J L

00 О)

со

Рис.16 .6 . Структурные схемы, эквивалентные по вероятности нор мального функционирования

ма непрерывно эксплуатируется в течение времени Т. Интенсив ность отказов элементов в режиме применения не зависит от вре мени, т .е .

.А, = Аг - ... = Ап= А = c o n st.

К системе придано т элементов запаса. Интенсивность отка зов этих элементов в режиме хранения постоянна и равна Ш , а после постановки их в систему равна А ; отказы всех элементов независимы. Пополнения запасов в течение срока Т не происхо дит. э

При этих условиях необходимо установить связь между вели чиной вероятности нормального функционирования п ( Тэ ) и пара метрами системы, т .е . вычислить функцию

г(Тэ)=г{Л,ы,т,Т3 ,п).

331

Так как вероятность г представляет собой вероятность на личия запасного элемента при очередном ремонте, т .е .

г(Тз )= г	(16.10)
где к - число отказов в системе за время Тэ ,	то для установ

ления искомой зависимости необходимо определить распределение числа отказов рассматриваемой системы с учетом отказов элемен тов ЗИП.

Система, изображенная на рис.16.6 а , может быть преобразо вана в систему, состоящую из h элементов с интенсивностью от казов, равной (О , к которой придано m запасных элементов с той же интенсивностью отказов. Преобразованная система изобра жена на рис.16.66. Доказательство полной эквивалентности этих систем как по вероятности безотказной работы, так и по распре

делению	числа отказов можно найти в работах	[24] и [25].
Для	экспоненциального распределения
	h = n j - .	(1 6 .II)
	(а)

Легко показать, что для системы, изображенной на рис.16.66, распределение числа отказов выражается зависимостью

Ы ТЭ) = СІ Л НРЬ+ГП~К ’

<І6 ’ І2)

где ^ - вероятность отказа одного элемента в течение срока эксплуатации Тэ , т .е .

0 = 7 - е -“ 7* = /-/? .

(16.13)

Выражение (16.12) может быть преобразовано в более удобный вид. Для этого'введем величину

a~nhT3~h(i)T3 ,

(16.14)

представляющую собой среднее ожидаемое число отказов элементов в системе за срок эксплуатации Т.

Подставив выражения (16.13) и (16.14) в равенство (16.12), после преобразований получим

(16.15)

332

Формула (16.15) отражает распределение числа отказов в системе, изображенной на рис.16 .6 а, при условии возможности ее преобра зований в эквивалентную систему (ри с.16.66).

Если известен закон распределения числа отказов, то веро ятность нормального функционирования системы с учетом наличия запасов вычисляется по формуле

m
п [ Т ) = 2 р ( Т ) .		(16.16)
* н=о	*

Подставив в это выражение равенство (16 .15), получим

г іта)-2с*	(16.17)
Э K -Q h * m

Последнее выражение является исходным для расчета объема запа сов при известной величине вероятности нормального функциони рования.

Если система состоит из разнотипных элементов, то ее можно разбить на I групп, в каждую из которых включаются лишь совер шенно одинаковые элементы (одного типа, номинала, рассеиваемой

мощности и т .д . ) . Число элёментов в каждой группе				обозначим че
рез п. . Приняв условие, что	в каждой груш е		придано/^, запас
ных Элементов ( і = 0 ,1 ,2 , . . .	) , будем иметь		величину вероятно
сти нормального функционирования каждой группы в				виде
гЛТэ)=е	2	с* іе -И		(16.18)

	н=о	n^mL

При независимых отказах элементов (зависимые отказы учиты ваются особым образом) вероятность нормального функционирования всей системы

R(T )=Пг (Т ) .	(16.19)
d м 1 3

Выражение для парциальной вероятности нормального функцио нирования группы может быть записано в несколько ином виде:

333

При h = со (элементы запаса не отказывают)

W - e - ' i

к-0 и\

При h 10 целесообразно использовать выражение А+/Л

Ѵ т3).І-\І-е

*=0 hi +mi

При h.= const можно вычислить последующее значение г.(Т), зная два предыдущих, по формуле

h;+m;

л (Г а , т ; * /) = г .( Г ,т г) + ^ [ л . | Г , от.)-г (Г л , гог/ ; ] .

Доказательство эквивалентности всех приведенных выражений для г. (Тэ) представляет собой несложную задачу, с которой чи татель может справиться самостоятельно.

§ 16 .5 . ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПОПОЛНЕНИЯ

Очевидно, что при периодическом пополнении начальный объем запасов m должен обеспечивать эксплуатацию технической систе мы без пополнения в течение времени

		т, - т, + ъ '
где Tj	-	интервал времени между моментами посылки заявок;
X	-	время пополнения.

Следовательно, оценка качества функционирования СМТО может быть произведена по величине вероятности нормального функциони рования, которая должна определяться за время T j. Однако время пополнения t почти всегда является случайной величиной, рас пределенной по закону oU'C) . Из этого следует, что величина вероятности нормального функционирования должна быть определе на путем усреднения ее по всем значениям Т , т .е .

	оо
л. (Г;)= j г. {T^Z)d(Z)dZ .		(16.20)
	о
Однако вычисления по формуле	(16.20) весьма сложны. Поэтому на
практике для вычисления г. (Г)	используют приближенное	равенство

334

г. (Г) = Л ( Г + Т ) .

(16.21)

Это равенство является точным в тех случаях, когда зависимость П Т ) цредставляет собой линейную функцию времени. Действитель ную функцию г для биномиального закона распределения при усло вии z ^ 0,5Т можно считать практически линейной. Таким обра зом, использование равенства (16.21) не приводит к существен ным ошибкам.

Следовательно, исходные соотношения для случая периодиче ского пополнения отличаются от случая без пополнения лишь теы, что при вычислении величины вероятности нормального функциони рования вместо времени эксплуатации Тэ нужно использовать сум

марное	время
	Г, = Г +Т ,	(16.22)
где	- среднее время пополнения.
Комплекс средств, эксплуатация которого обеспечивается ком
плектом ЗИП с периодическим пополнением,		также может быть оце

нен величиной частного коэффициента готовности.

В реальных системах с периодическим пополнением применяет ся как чисто периодическое пополнение, при котором нет никакой возможности посылки заявки в непредусмотренные сроки, так и пе риодическое пополнение с возможностью посылки внеочередной за

явки на недостающий элемент в случае нахождения системы в	не
исправном состоянии.
Рассмотрим первый случай - чисто периодическое пополнение.
Очевидно, что с вероятностью г группа не имеет простоя из-
за отсутствия запасных элементов, а с вероятностью I - г	груп
па простаивает некоторое, в общем случае случайное время х	. По
этому величина частного коэффициента готовности группы и з-за

отсутствия запасных элементов может быть вычислена по формуле

	Hr = r + ( l - r ) ^ ß - ,	(16.23)
где X - среднее время	I
где X - среднее время	простоя группы в неисправном	состоянии.
Таким образом, для	вычисления среднего значения	частного

коэффициента готовности необходимо найти распределение време ни простоя группы в неисправном состоянии, вычислить его сред нее значение и подставить его в выражение (16 .23).

Найдем распределение времени простоя х . Для этого обозна чим длительность функционирования группы через 01 , причем

				335
		ѳ' + л:= Т -t-t .
				а
Величина Ѳ1 представляет		собой сумму m+ I интервалов времени
безотказной работы группы			t u ,	т .е .
			К	rml
			ѳ'=	K=t2 tк ’
Закон распределения времени Ѳ					является распределением сум
мы случайных величин і		и	может		быть	определен	по обще
известным правилам.
Для случая, когда Л=const,				закон распределения времени Ѳ1
представляет	собой гамма-распределение
				д'п+’ о,'п		Дй1	(16.24)
		0й(Ѳ')=^— f - e				.	(16.24)
				m\
Так как	время пополнения			%	такие	случайная величина, то
в процессе отыскания функции распределения о); (X)							цредваритель-
но положим				c o n s t.
				c o n s t.

При этом условии величина х определится как разность между по стоянной величиной Tj и случайной величиной Ѳ' , т .е .

х=Т}- д ' ,

азакон распределения времени х , очевидно, будет

		Ц(Х)=—'-------------- (0 (Tt-x)		(16.25)
		[ (Ю(Ѳ’)йѲ'
при 0	X == 7";	и постоянном времени ТГ .
В выражении (16.25) первый сомножитель представляет					собой
условие	нормирования.				U (х )
Для вычисления закона распределения времени простоя
при случайном времени пополнения Z			достаточно усреднить		закон
tu (X)	по всем значениям времени Z .		Следовательно,
		ао
		U(x) =j u)f(x)cUz)dZ .		(16.26)
Подставив в		О
		(16.26) выражение (16.25), будем иметь

^ ( T 3+z-x)d(t)

(16.27)

I (D ( Ѳ ') Cf Ѳ '

336

Выражение (16.27) позволяет вычислить закон распределения вре мени простоя технической системы и з-за отказов элементов і -й

группы. Подставив в это выражение значения параметров			группы
Л и т. , найдем законы распределения для времени х і по			всем
группам элементов технической системы.
Зная закон распределения времени простоя группы, можно вы
числить среднее время простоя xL . Очевидно, что
со
X. = j£ . V(xi)dxi .			(16.28)
0		_
Среднее время простоя системы в		целом X определяется пу
тем усреднения величин д\ по формуле
1
X = 2 Q. X.		,
іч ‘	1

где

0.=

L i-RtTj)

есть условная вероятность появления отказов в L -й группе при условии наличия отказа в системе.

В этом случае средняя величина частного коэффициента готов ности системы вычисляется по формуле

•

(16.29)

Определим теперь связь между величиной вероятности нормаль ного функционирования и значением коэффициента готовности в случае периодического пополнения при наличии внеочередной за явки.

Если алгоритм подачи заявок в СМТО допускает подачу внеоче редной заявки, которая удовлетворяется независимо от того, по слана очередная заявка или нет, то время простоя техническойсистемы в неисправном состоянии в основном определяется пара метрами процесса удовлетворения этой заявки. В такой СМТО,как правило, внеочередная заявка посылается лишь на тот элемент, который необходим для восстановления работоспособности техни ческой системы.

Время удовлетворения внеочередной	заявки	z	есть случай
ная величина, параметры распределения	которой	в	общем случае

337

не совпадают с параметрами распределения времени пополнения очередной заявки ТГ . Обычно среднее время удовлетворения вне очередной заявки намного меньше, чем среднее время пополнения, т .е .

При этих условиях можно считать, что время простоя системы в неисправном состоянии в первом приближении равно времени удов летворения внеочередной заявки г,О , т .е .

Следовательно, коэффициент готовности системы

(16.30)

Формула (16.30) является приближенной, однако она достаточ но хорошо отражает действительную картину, особенно при больших величинах вероятности нормального функционирования.

§16 .6 . ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОПОЛНЕНИЯ

СПОСТОЯННЫМ РАЗМЕРОМ ЗАЯВКИ

При пополнении с постоянным размером заявки число элемен тов в запасе в течение срока эксплуатации Тэ изменяется слу чайным образом в пределах от т до нуля. При этом может возник нуть ситуация, при которой отказ элемента системы произойдет в период отсутствия запасов. В этом случае система не может быть восстановлена и будет простаивать в неисправном состоянии до момента прибытия необходимого элемента. Очевидно, время простоя системы является случайным. Это положение заставляет оценивать влияние запасов на эксплуатационные показатели системы по ве личине ее коэффициента готовности н .

Поэтому задачей настоящего параграфа будет установление за висимости между величиной иг , показателями системы п, L,Л, ч)

и т . д . , распределением времени пополнения и числом элементов в запасе. При этом мы рассмотрим только вариант, в котором раз мер заявки определяется равенством

Установим зависимость частного коэффициента готовности нг

338

для простейшей системы, изображенной на ри с.16.7,				при следую
щих упрощающих предположениях:
I) к груш е придано т запасных элементов			{т - четное чис
л о ). Интенсивность отказов	этих элементов	в	процессе		хранения
гЭнсплиатириемыё	равна нулю, а после уста-
	новки в систему -					Л	;
		2)	груш а непрерывно
	эксплуатируется в					тече
	ние	времени Тэ ;
		3) заявки на пополне
	ние посылаются в моменты,
	когда наличный объем						за
	пасов		становится равным
	Y	и нулю.		В обоих			слу
	чаях размер			заявки
			и - М. •
			У~	2 ’
		4)	время пополнения
	имеет		экспоненциальное
	распределение
				-U't	,
Рис.16 .7 . Простейшая структурная		о(('ь)= JLXe
схема СМТО	где	jll	- интенсивность

	пополнения;
5) система пополнения имеет неограниченную пропускную спо
собность;
6) в случае, когда все	элементы запаса израсходованы и						обе

заявки еще не удовлетворены, а в технической системе произошел отказ, она выключается и в дальнейшем простаивает в неисправ ном состоянии до прибытия необходимого элемента. В выключенном состоянии интенсивность отказов элементов технической системы равна нулю.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методами тео рии массового обслуживания. При этом за состояние СМТО примем число неисправных элементов в ней. Состояние СМТО обозначим че

рез к . Очевидно, что при наличии в запасе т	элементов	число
состояний на основании шестого допущения равно	т + 2.	Таким
образом,
0 ^ к szm+1 .	(16.31)

339

Из всех возможных состояний совокупности только одно т+І соответствует неисправному состоянию системы.

При составлении дифференциальных уравнений, описывающих процессы, происходящие в СМТО, исходим из следующего.

Система обеспечения запасами переходит из состояния н в состояние к + I каждый раз, когда происходит отказ элемента. Темп перехода в высшее состояние

цри 0 ^ н «= т ,

(16.32)

при н=т+І.

Система обеспечения запасами переходит из состояния k+-j

в состояние к в тех случаях, когда прибывает у элементов по предшествующим заявкам. Очевидно, что пополнение возможно при условии

кт_

Если в системе снабжения находится одна заявка,, то темп по полнения равен ju. , а если две заявки, то 2ju . Следовательно, темп пополнения

Оцри О =5 Н« у - ,

при	(16.33)
2ja при
На ри с.16.8 изображен граф с	указанием интенсивности пе

реходов. На основе этого графа составим систему дифференциаль-

Рис.16.8. Граф переходов для СЫТО с постоянным размере»! заявки, равным

ных уравненій, характеризующих процессы в СМТО. Общим уравне нием будет

( ю -34)

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4434 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ