книги из ГПНТБ / Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник
..pdf260
восстановления в стационарном режиме, изобразим пространствен
ный граф переходов, каждая ось которого соответствует |
одному |
||||||||||||
из звеньев узла восстановления (ри с.1 3 .2 ). |
На |
основе |
этого |
||||||||||
графа |
и фрагмента общего графа, |
изображенного на ри с .13.3, на |
|||||||||||
пишем указанную систему в следующем виде: |
|
|
|
||||||||||
|
~^юо+Кю+ ^oot) Рооо+ |
|
|
|
|
Рою+ ^001P00t~® 1 |
|
||||||
|
~ (tL)20fl+ J \ m + |
P W 0 + |
^200 Р !00+ № іЮ Р ио + |
Ф й ( P w i +(ü iooPo o o |
|
||||||||
|
“K/+A»/+ |
$ооі)Рооі+®ооіРооо+$оо2РіЮ2*^іоіРт+}1оііРоіГ^’ |
|
||||||||||
|
^020+ ^ !lll + Foio)POW+ -''o/0 Р І00^У'020 Р 020+ % 0 Р П 0^ $ 0 П Р0)1 |
|
|||||||||||
|
—(а) |
+0 |
+ji |
+ и |
|
+ в |
|
+ф |
) P |
+ |
|
||
|
' Htl,sr |
HS r |
H,S + J ,r |
‘ US Г |
' H S . r H |
TH S r / |
H S r |
|
(13.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P K+I,sr+ |
^ n & r |
P K,S-l,r+ ^K,S*l,r Р Ң, Ы ! , Г |
|
|||||||
+ |
^ KSr P KS,I--I + tyl<S,r+1P KS,r+I ~ 0 |
> |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
• \) |
P |
|
|
GL) |
P |
|
—Q |
|
|
|
|
|
|
V N0Q |
N 0 0 |
|
N 0 0 /Ѵ-/,00 |
» |
|
|
|
|||
|
|
|
F o /ko P o m + ^ o M O P o,n -i,o ~ P > |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ф |
P |
|
+£ |
P |
,~ 0 |
|
; |
|
||
|
|
|
T DON |
QON |
|
^ O O N |
0O,N-l |
u ' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим интенсивности прямых переходов на графе р и с.13.2» изображенных в виде сплошных линий. Принимая условие, что сред ства эксплуатируются независимо друг от друга, будем иметь:
(в) % 5 Г
Лк$г
—(N+1, -K-s-r) оз
I о
U n + I - h - s - г ) А
1о
Г(/ Ѵ+/ —w—S -Z ') £
1о
При |
N -r-s, |
|
при |
K>N~S-r ; |
(13. 4) |
при |
N -H -f, |
|
(13.5)
при S^N -H -r;
при Ossrs; N-K-S,
(13.6)
При r> N-K-s.
Очевидно, что при независимом функционировании указанных звень ев узла восстановления интенсивности обратных переходов, изо браженных пунктирными линиями, будут иметь вид:
261
V) |
н\) |
при |
0 с « < /Ѵ-5-г , |
(13.7) |
|
=■ |
при H>N~S-r ; |
||||
KST |
.0 |
|
|||
|
'Sfl |
при 0 < s < 6 2 , |
|
|
|
|
Ь2F |
при |
N - H - r, |
(13.8) |
|
|
0 |
при |
s ^ N - s - r |
І |
|
|
rij) |
при |
0 |
, |
(13.9) |
1 і . = < |
при |
|
|
||
|
|
|
|||
|
1° |
|
|
|
|
Здесь мы использовали выдвинутое ранее условие неограниченной способности первого и последнего звена узла восстановления.
Решение системы уравнений (13.3) совместно с условием пол ной группы событий (13.2) может быть выполнено различными мате матическими методами. Наиболее просто находится решение при ис пользовании формализованной методики решения марковских систем массового обслуживания [27]. При этом необходимо вначале убе диться, что условие задачи позволяет применить формализованный метод.
Известно, что формализованный метод может быть применен к
262
тем задачам, у которых дам каждого прямоугольника графа пере ходов произведение интенсивностей переходов, совпадающих с на правлением движения часовой стрелки, равно произведению интен сивностей переходов, совпадающих с направлением движения про тив часовой стрелки. Рассматривая граф переходов, нетрудно убе диться, что для любого прямоугольника графа это условие всегда выполняется. Следовательно, применение формализованной методи
ки дает точное решение |
системы уравнений (1 3 .2 ). |
|
||||
Согласно основному правилу формализованного метода вероят |
||||||
ность любого состояния |
Р е |
о ц р е д е д я е т с я через |
вероятность со - |
|||
стояния, принятого за |
исходное Р |
, в виде произведения значе |
||||
ния вероятности Р |
на дробь, числитель которой представляет |
|||||
xyz |
|
|
|
|
|
совпадающих |
собой произведение всех интенсивностей переходов, |
||||||
по направлению с движением от точки, вероятность |
которой при |
|||||
нята за исходную (Е |
) , до |
точки, |
вероятность |
которой необхо- |
||
димо определить (£ |
) . |
Знаменатель дроби равен |
произведению ин |
|||
тенсивностей переходов, совпадающих по направлению с обратным движением от точки, вероятность которой определяется, до точки, вероятность которой принята за исходную. Очевидно, что для со кращения записи необходимо выбирать кратчайший путь между указаннши точками.
На основании этого правила запишем выражение для вероятно
сти Р |
. За исходную вероятность примем р |
. |
Тогда, |
следуя |
|||||||||||
указанному правилу, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р |
= р |
п |
^ |
п |
^ Ц |
п |
xsl ? |
|
|
(13.10) |
||||
|
|
Н$Г |
°°0 ы |
|
|
& |
Нц/о |
1-1 |
Фязі |
|
|
|
|||
Величина вероятности Р |
|
вычисляется из |
нормирующего уело- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
иии |
выражение |
(1 3 .1 0 ), |
— |
|
|||||
вия (1 3 .2 ). Подставив в него |
получим |
||||||||||||||
|
|
TЫI mШЛИЛТ -! '5Г -н1 |
«■'.•и) |
п* |
пs |
JА ^ . n |
гГ-» |
|
Ste k S ( |
-j |
|
(1 3 .I I) |
|||
|
- |
24 |
^2 2 |
ПМ |
-Л^ |
|
ПI I |
^ --------П I I |
- т ; |
. |
|
||||
|
Рооо= |
|
s * ° |
г =° |
і’І |
ѵ і00 |
r l |
F-HjO |
и |
|
Y k s I _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В выражениях (13 .10), |
(1 3 .I I) |
и последующих предполагается, |
|||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
^ІОО |
І І |
|
о |
|
|
|
|
о |
£ |
|
|
(13.12) |
|
|
П |
|
^ |
|
П - ^ = / ; |
|
П |
^KSl = /. |
|||||||
|
І--І |
ѴІО0 |
|
|
</'=» V'Hjo |
’ |
1=1 Ф« |
|
|
|
|||||
263
Подставив в равенство |
(13.10) |
величину Р |
, |
выраженную |
||||||
формулой (1 3 .I I ) , |
будем иметь |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
к [і). |
$ |
А . |
/• t |
|
|
|
|
|
|
PI |
l0 ° |
PI |
|
Пn S |
|
|
|
p |
|
_ |
t*1 |
^ 00 <н |
^ V° tv 1T^5i |
(13.13) |
||||
/(ST |
л/ |
w-и |
w-w-s |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 2 |
2 n ^ n ^ n - ^ i |
|
||||||
|
|
K=0 |
s-° |
r-° |
1=1 Чоо ;=' |
M*;« w |
9,*S£ |
|
||
Подставив в последнее выражение значения интенсивностей пере
ходов |
из равенств (13.4) - (1 3 .9 ), после несложных преобразо |
ваний |
получим |
|
|
|
|
о Л Ѵ П |
№1-1) |
|
|
||
|
|
|
_____' L-1________ |
|
|
||||
|
РК$Г=- |
|
4)'<jas фг«! f S |
|
(13.14) |
||||
|
N -ң N-H-s „ Z ' / p " П |
( / Ѵ + / - І ) |
|
||||||
|
|
N |
|
|
|||||
|
|
«?0Io |
Io |
~\)>Ѵ *!г!я |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
0 « |
b2 , |
|
(13.15) |
|
|
|
|
|
при |
s ^ |
i 2 . |
|
|
|
|
|
*24 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частном |
случае, |
когда ремонт производится |
только |
силами |
|||||
войскового ремонтного органа, т .е . |
когда ио = 0 и |
^ = 0, |
граф |
||||||
А |
|
Рг |
|
|
Рг |
|
|
|
|
|
£I |
Л.‘ |
“2 |
J |
|
-ж-/ |
|
|
|
Рис.13 .4 . |
Линейный граф переходов |
|
|
||||||
переходов является линейным (ри с.13 .4), а выражение для вероят ности s -го состояния принимает вид
s А. |
|
п -jr |
|
— L=1 Г-L |
(13.16) |
|
Р5 |
p.t |
S - 0 W |
264
Аналогично для рассматриваемого частного случая выражение (13.14) преобразуется к хорошо известному виду [26]
ГS
ТІГ5-П (N4-L) |
|
|
Р Р |
і*і_________ |
(13.17) |
N AS |
s |
|
2 |
п(л/+/-і) |
|
s= a Р " |
М |
|
Вычислим средние характеристики процесса ремонта. Очевид но, что среднее число средств, находящихся в ремонте (системе восстановления), может быть вычислено по формуле
Н. Ы-к N'H-S
|
|
|
/ 7 = 2 1 |
|
2 |
|
(к+5+л)Р |
. |
|
(13.18) |
|||||||
|
|
|
|
к=оs~о |
г-о |
|
|
|
*sr |
|
|
|
|||||
Подставив в нее выражение для вероятностей |
|
состояния Р |
, бу |
||||||||||||||
дем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
lif j\ |
|
ЕЛ |
K*stf |
|
|
|
|||
М |
N-H |
N-K-S |
|
^ |
|
\) |
к |
ju |
s , I* I |
I c |
Л (А/+/-І) |
|
|||||
я = 2 |
2 |
2 |
(н+s+r)-w |
^ |
|
(J) |
|
w! |
n! S |
^*i |
|
|
|
(13.19) |
|||
K-S |
|
Li) |
|
|
H*SV |
|
|
||||||||||
Н=0 |
S=0 |
Г - 0 |
— |
— |
|
|
I |
I g |
(N+l-l) |
|
|||||||
|
|
|
2 2 2 |
|
jUT(|> |
П |
|
||||||||||
|
|
|
K=0 |
S=0 |
Г - 0 |
|
K\ r\fl |
L-t |
' |
’ |
|
||||||
Для рассматриваемого частного случая (ремонт только в реморгане части) выражение (13.19) преобразуется к виду
|
S{? n(N+1-L) |
п = 2 і N |
(13.20) |
ä |
S cf П (/V+/~i) |
и |
Среднее число средств, находящихся в первом звене системы восстановления, вычисляется по формуле
|
/V N-K N-K-S |
НР„ |
|
|
пг |
2 1 |
1 |
(13.21) |
|
I |
Н = П <ігЛ |
Г»=Л |
||
265
Наконец, среднее число средств в третьем звене системы восста новления будет
|
N Ы-ң N -K -S |
|
|
/ 7 = 2 2 2 |
ГР |
(13.22) |
|
« |
НаПЧаПГ>-П |
HSr |
|
Из выражений (13.21) и |
(13.22) следует, |
что |
|
|
/? =п\+п+п. . |
(13.23) |
|
Знание величин п ,nt , п2 и пз позволяет определить частный коэффициент готовности каждого средства за счет ремонта. Так как в стационарном режиме эксплуатации средств связи отношение среднего времени пребывания средств в реморгане ко всему време ни эксплуатации равно отношению среднего числа средств в систе ме восстановления к общему числу эксплуатируемых средств /V , то частный коэффициент простоя средств на ремонте равен
|
- |
Среднее число средств в реморгане |
(13.24) |
п |
/» |
-------------------- ------------- ----- ------- * |
|
Общее число обслуживаемых средств |
|
||
Следовательно, |
частный коэффициент готовности будет |
|
|
lIS -25>
Выражение (13.24) для частного коэффициента простоя на ре монте может быть представлено в виде
|
|
К |
+ |
На . |
(13.26) |
|
|
п |
N N |
N |
|
Слагаемые |
выражения (13 |
.26) |
имеют смысл частных коэффициентов |
||
простоя по |
трем звеньям |
системы восстановления. |
Их для удобст |
||
ва анализа можно назвать частными коэффициентами простоя на ре
монте |
в первом, втором и третьем |
звене и обозначать нп) , нпг и |
|
К |
соответственно, т .е . |
л, |
|
|
|
(13.27) |
|
|
" п і = |
« - |
|
|
|
||
В свою очередь, время пребывания средств в неисправном сосостоянии при их восстановлении во втором или третьем звене
266
системы восстановления складывается из времени транспортиров ки в реморган и обратно % , времени ожидания ремонта %т и времени восстановления. Так как указанные интервалы времени не перекрываются, то можно частный коэффициент простоя на ре монте во вторсжі звене представить в виде следующей суммы более
мелких |
(парциальных) коэффициентов простоя: |
|
||||
|
нпг |
Лп2т/о + Лл 2 ож+ Л пгра>?» |
(13.30) |
|||
|
|
|||||
где к |
парциальный коэффициент простоя средства при транс |
|||||
П2 Тр |
второе звено |
системы восстановления, |
||||
|
портировке во |
|||||
|
|
Н , |
= |
21тог |
|
(13.31) |
|
|
|
|
|||
|
|
п п р |
1 |
+ 2 іё |
’ |
|
|
|
|
л |
трг |
|
|
пгож - парциальный коэффициент простоя средства за счет ожидания ремонта (простоя в очереди). Величина это го коэффициента может быть вычислена по формуле
_ |
П20 |
(13.32) |
н.п20ж |
N |
|
где л20 - среднее число средств, |
находящихся в очереди, создаю |
|
щейся на входе во второе звено системы восстановления. |
||
Последний коэффициент нпг |
в формуле (13.30) |
представ |
ляет собой парциальный коэффициент по восстановлению во втором звене. Очевидно, что независимо от закона распределения време
ни восстановления он может быть |
определен из |
выражения |
|
/ |
|
н.трем |
J _ , J _ |
(13.33) |
|
* і1 |
|
Аналогично для частного коэффициента простоя на ремонте в третьем звене необходимо учитывать лишь два парциальных коэффи циента простоя: при транспортировке
|
|
гг Тр 3 |
(13.34) |
||
"3" |
і |
+ 2€ |
|
||
грз |
|
||||
и при восстановлении |
S |
± |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
Ф |
|
(13.35) |
|
пзрем |
J_ , 1 |
||||
|
|||||
щф
267
С учетом сказанного значение частного коэффициента про стоя по ремонту кп может быть представлено в виде суммы
^п2тр+^п2<ж+^п2рем+^пітр*Нпзр&>’ (13.36)
что значительно облегчает решение задачи по оптимизации систе мы восстановления.
Для использования этого выражения необходимо определить среднюю величину числа средств, находящихся в очереди, создаю щейся на входе во второе звено системы восстановления. Эта ве личина может быть рассчитана по формуле
|
|
|
N |
Н -н |
N-K-S |
|
|
|
|
|
|
|
. « 2 |
2 |
2 |
|
Pnsr |
|
(13.37) |
||
|
|
Пго |
to |
sH2 |
^to ^ ^ |
|
|
|||
Подставляя в это выражение величину Р |
|
, |
определяемую равен- |
|||||||
ствол (1 3 .1 4 ), |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
« / л у п |
(л /+ М ) |
|
|||
|
N |
N-K V-K-S |
|
|
0 У ф Ѵ '/ѵ '6 г !б28Л |
|
||||
п -ІЬ |
Z Z (s-b ) |
|
(13.38) |
|||||||
|
|
|
|
t |
*4S+/» |
|||||
20 |
н=0 |
s=6, Л--0 |
2 |
N |
N-H Ѵ-К-5 |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
Z 2 2 к s . г I I * I ,s-b2 |
|
|||||
|
|
|
|
M |
s=o j^o |
-0 |
JLt |
Ф |
H ' r ’bl b |
|
Кроме того, |
при решении практических |
задач |
необходимо знать |
|||||||
две относительные характеристики: а) |
относительную долю рабо |
|||||||||
чего времени боевого расчета, |
затрачиваемую на ремонт, б) сред |
|||||||||
нюю загрузку |
специалистов ремонтного |
органа. |
|
|||||||
Вычисление первой из указанных характеристик не представ |
||||||||||
ляет особых трудностей, |
так как относительная доля времени лич |
|||||||||
ного состава боевого расчета, |
затрачиваемая на ремонт, |
равна |
||||||||
частному коэффициенту простоя средств на ремонте в первом зве
не системы восстановления. |
Следовательно, эта доля |
опреде |
ляется выражением |
|
|
% |
± ± |
(13.39) |
|
üut о
268
Вторая характеристика - средняя загрузка специалистов реморгана - может быть определена из выражения
Б _ ^ 2 Среднее число занятых специалистов t ( 1 3 . 4 0 )
сЬ2 Общее число специалистов
В свою очередь, |
среднее число занятых специалистов реморгана, |
||||||||||
т .е . |
второго звена системы восстановления, |
определяется по фор |
|||||||||
муле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь г К 'Ь с б » |
|
|
U 3 .4 I) |
||||
где |
Ъсе - |
среднее |
число простаивающих специалистов, |
которое |
|||||||
определяется из |
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N |
Ъ2 N-K-S |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ь = Ъ |
2 |
2 |
{ь - s)p |
|
(13 |
.42) |
|
|
|
|
|
Со ң*0 |
S=0 |
Л=0 |
2 |
*н $л |
|
|
|
Подставив |
в него значение |
Р |
|
из равенства |
(13 .14), |
будем |
|
||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о/ л Ѵ п ш+ы) |
|
|
||||
|
|
CD |
5=0 |
2 |
|
|
|
tf+S+Л |
|
(13 |
.43) |
|
|
|
|
Ä ftr S " |
o f f s " |
л, W+1-Q |
|
|
|||
Для частного случая, когда ремонт может осуществляться толь ко в реморгане 2 -го звена, выражение для частного коэффициента простоя на ремонте может быть записано в видя
И„~ н |
+ к |
+ к |
(13.44) |
|
п |
п г т р |
|
п г с м |
п г р е м |
Здесь коэффициент нп по-прежнему определяется по формуле (13 .31), коэффициент /<л2/)ем - по формуле (1 3 .33), а величина коэффициента кп2от- по формуле
^П2Ж-~ /У ’ |
(13.45) |
где по - среднее, .число средств в очереди, которое может быть представлено в виде
269
/V
^ b2) ps • |
(13.46) |
Подставив в последнее выражение величину Р$ из равенства
(13 .17), получин
N |
Л |
(13.47) |
1 |
л (/ѵ+ / - і ) |
|
rzD |
Ы |
|
Аналогичным образом вычисляется и средняя загрузка специа листов ремонтного органа.
При решении практических задач часто бывает необходимо опре* делить доли общей интенсивности отказов «и , А и Ц с таким рас четом, чтобы обеспечить наилучшее значение целевой функции, в качестве которой можно принять либо наибольшее значение частно го показателя готовности по ремонту при заданных (допустимых) финансовых затратах, либо наименьшую денежную затрату с целью обеспечения заданного показателя готовности. При решении этих задач возникает необходимость находить числовые значения боль шого числа независимых переменных со ,А , JU, 0 , ф
связанных между собой сложными уравнениями. Эти значения долж ны обеспечивать экстремальную величину функции цели при наличии дополнительных ограничений. Такая задача является весьма гро моздкой и изложение ее выходит за рамки настоящего учебника. При необходимости читатель может обратиться к специальной ли тературе, например к [45, 52]. Поэтому авторы учебника сочли возможным рассмотреть лишь несколько частных случаев, излагае мых в следующих параграфах.
§ 13.3. ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ СОЗДАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ РЕМОНТНЫХ ГРУПП
Рассмотрим задачу о целесообразности создания ремонтных групп. Цусть в части, где эксплуатируются средства связи,ремонт производится только силами боевого расчета. Так как эта форма организации ремонта не является единственной, то можно предаю-