книги из ГПНТБ / Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник
..pdf210
го коэффициента готовности радиоэлектронной |
системы |
г.ртах • |
|
Последнее равенство при условии (II.Г 7 ) с учетом |
( I I . 18) и |
(11.20) может быть записано в следующем виде: |
|
К |
(11.22) |
Следовательно, при определении периодичности |
проведения |
регламентных работ для дежурных автоматизированных средств |
|
целесообразно учитывать как снижение ее готовности яри большом интервале между регламентными работами за счет увели чения времени простоя системы в неисправном состоянии, так и снижение готовности аппаратуры при малом интервале за счет ча стого снятия ее с дежурства.
При соблюдении условия ( I I . 17) указанная методика примени ма также к обоснованию целесообразной периодичности контроля дежурных средств автоматизированного управления, если проведе ние контрольных операций на этой системе связано со снятием ее
сдежурства.
Втех случаях,-когда максимально достижимый коэффициент готовности системы, определяемый по аналогии с ( I I . 2 2 ),не удов летворяет предъявляемым требованиям, следует соіфащать время на проведение регламентных работ или время на восстановление аппаратуры, что может быть достигнуто при автоматизации ука занных процессов.
Повышение коэффициента готовности рассматриваемых систем может быть также достигнуто за счет повышения надежности, как это следует из равенств ( I I . 15) и (1 1 .2 2 ).
Действительно, рассмотрим при условии (ІІ.Г 7 ) предел
Пользуясь правилом Лопиталя, преобразуем последнее равенст во к виду
|
2II |
U m |
1 - е |
= / . |
|
Т -^oo |
|
Изложенная в настоящем параграфе схема анализа применима - и к случаю, когда ставится задача минимизации стоимости экс плуатации выбором рационального интервала между регламентными работами.
В такой постановке при известных значениях стоимости "ущер ба" в случае, если система в нужный момент окажется неисправ ной (цена отказа Ц), и стоимости проведения одного цикла регла ментных работ Cj задача будет заключаться в отыскании такого значения интервала между регламентными работами, который дает минимум функции среднего расхода средств Г , имеющей вид
|
|
|
|
|
(11.23) |
где t3 - |
период эксплуатации, на который рассчитываются харак |
||||
теристики |
системы обслуживания. |
|
|
||
Решение этой задачи |
может быть проведено исследованием на |
||||
максимум функции |
С , определяемой равенством |
(11 .23), при |
|||
этом значение Т |
, определяемое из уравнения |
( I I . 16), является |
|||
оценкой снизу для рациональной периодичности, |
обеспечивающей |
||||
минимум С . |
|
|
|
|
|
Можно показать, что |
значение периода |
между регламентными |
|||
работами, |
дающее минимум функции (11.23) |
при условии |
|||
с достаточной степенью точности совпадает с ( I I . 16). Данное утверждение иллюстрируется р и с .II .4.
Рассмотрим пример, поясняющий методику обоснования интер вала между регламентными работами по максимуму коэффициента готовности. Пусть радиостанция является дежурной. При прове дении регламентных работ и контроля станция не имеет возможно сти принимать сигналы. На основании предшествующей эксплуата ции и испытаний данной станции известно, что для нее справед ливо следующее соотношение:
ѳ = I w +т= 1
212
где Т - среднее время безотказной работы;
Ѳ- математическое ожидание времени восстановления;
ß- математическое ожидание времени проведения регламент
ных работ.
Необходимо обосновать рациональный период между регламент
ными работами на данной радиостанции при условии, |
что |
время |
||
безотказной работы радиостан |
||||
ции имеет показательное рас |
||||
пределение. |
|
|
|
|
Для определенности |
рас |
|||
смотрим три частных случая. |
||||
1. |
Пусть |
У |
. тогда из |
|
выражения ( I I . 18) |
получаем, |
|||
что |
нгр=' 0 ,5 . |
Таким образом» |
||
при таком интервале между рег ламентными работами половину
времени радиостанция |
будет |
|
простаивать, не обеспечивая |
||
задачи |
управления. |
|
2. |
Пусть 7 = 7 , |
тогда из |
того же равенства имеем
Р и с .II .4 . Влияние цены отказа и стоимости проведения регла ментных работ на оптимальную
их периодичность
кгр = 0,63 .
3 . Назначим периодичность регламентных работ, воспользо вавшись изложенной методикой. При условии (11.20) имеем
Ъс ■ - f t v ■
Рис.I I . 5 . Вид зависимости коэффициента готовности дежурной системы от периода между регламентными работами
213
откуда в соответствии с выражением (11.22) находим
нгптя « 0,98.
г.р (ПйХ 9
Как видим, выигрыш, получаемый в увеличении коэффициента готовности радиостанции, при использовании изложенной методи ки является весьма существенным.
Результат решения иллюстрируется р и с .II .5.
§ I I . 3 . ОРГАНИЗАЦИЯ РЕГЛАМШТНЫХ РАБОТ ПО КАЛЕНДАРНОМУ ПРИНЦИПУ
В § I I . I отмечалось, что при проведении регламентных ра бот важную роль играет рациональное использование личного со става. При проведении регламентных работ возможны два вариан та их организации: метод расчетов, когда техника закреплена за обслуживающим персоналом (расчетом), и поточный (бригадный) ме тод, когда такого закрепления нет. В том же параграфе отмечав лось, что существуют три основных принципа организации регла ментных работ: календарный, наработки и смешанный.
При календарном принципе количество изделий (радиостанций), подлежащих обслуживанию, и время, отведенное на выполнение рег ламентных работ (начало, конец), как правило, жестко опреде
лены.
При организации регламентных работ по принципу наработки. время, отводимое на выполнение регламентных работ, также яв ляется вполне определенным, но количество изделий, поступающих на обслуживание, зависит от индивидуальной наработки каждого из них и поэтому является случайной величиной.
Свойства смешанного принципа организации регламентных ра бот зависят от свойств указанных выше принципов. Проанализиро вав каждый из них, можно определить достоинства и недостатки смешанного принципа организации.
Для анализа организации регламентных работ по принципу на работки может быть использована математическая модель теории массового обслуживания. Действительно, для этой задачи существ вует входящий поток требований с некоторым темпом их поступле ния, темп обслуживания и т .д .
При анализе организации регламентных работ по календарно му принципу количество изделий, подлежащих обслуживанию, жестко определено, т .е . входящий поток требований на обслужи
214
вание характеризуется не плотностью вероятности их появления, а известным фиксированным числом. Это обусловливает некоторые особенности математического анализа данного принципа органи зации регламентных работ.
Как правило, работы ежедневного, недельного, месячного и квартального регламентов выполняются силами расчетов, а выпол нение работ полугодового и годового регламентов осуществляет ся личным составом расчетов и специальных бригад.
В связи с этим возникает задача о рациональном определе нии количества бригад, необходимых для выполнения регламентных
работ |
на известном количестве изделий в течение заданного вре |
|
мени. |
Решению этой общей задачи и посвящается данный пара |
|
граф [2 0 ]. |
|
|
Сформулируем условия задачи. |
|
|
Пусть заданное количество подлежащих |
обслуживанию изделий |
|
равно.п , количество бригад регламентного |
обслуживания - т , |
|
время, |
отведенное на обслуживание, - t , |
темп обслуживания од |
ного изделия одной бригадой - а . |
|
|
Совокупность обслуживаемых изделий и обслуживающих бригад будем называть системой обслуживания с темпом обслуживания,
равным Ьн . |
|
||
|
При этих условиях необходимо определить число бригад так, |
||
чтобы вероятность выполнения регламентных работ |
U {t) была не |
||
ниже |
заданной Р . |
|
|
|
Решение задачи будем вести при следующих дополнительных |
||
условиях: |
|
|
|
|
I) |
темп обслуживания а(г) = а = const, |
т .е . справедлив |
экспоненциальный закон распределения времени обслуживания |
|||
|
|
= |
(11.24) |
|
|
|
|
где |
а = |
-=2- ( т - математическое ожидание времени обслужива- |
|
|
|
т |
|
ния одного изделия одной бригадой);
2- текущее время;
2)все т бригад приступают к обслуживанию в момент време ни г = 0 и переходят к обслуживанию следующих изделий немед ленно и независимо друг от друга.
215
Р е |
і е |
н и е. |
Введем в рассмотрение |
случайную функцию |
|||||||||||
состояний |
системы |
н \ г ) ^ н |
, |
где |
ң - число необслуженных из |
||||||||||
делий ( н = п , |
/ 7 - 1 , . |
I, |
0 ), |
и |
вероятность иң( г) того, что |
||||||||||
в момент времени z не обслужено |
и |
изделий. |
Ьк |
|
|
|
|||||||||
Темп обслуживания изделий |
всей |
системой |
определяется |
||||||||||||
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
при |
т 4 |
к 4 |
п ; |
|
|
|
(11.25) |
|||
|
|
|
|
на |
при |
0 |
^ |
к 4 |
/ л - / . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Система обслуживания находится в |
состоянии н*{ъ) |
= К в мо |
|||||||||||||
мент времени |
2 = й + Дй с |
вероятностью |
UH{t |
+ Дй) |
, |
если: |
|||||||||
а) |
система в момент времени |
г |
= й находилась |
в состоянии к |
|||||||||||
и за время Дй |
из |
него не |
вышла; |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
система в момент времени |
= й находилась |
в |
состоянии |
|||||||||||
н + I и |
за |
время Дй перешла в состояние к (обслужено одно из |
|||||||||||||
делие). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом того, |
что рассмотренные |
события несовместны и не |
|||||||||||||
зависимы, указанная вероятность найдется из следующего выраже ния:
UK{t+ Дй) = UKkt)[1-bHLt)+ UK^ i t ) b t + |
0(Д й ), |
Ш .З б ) |
|||||||
где UM{t) |
- |
вероятность |
того, |
что |
в момент времени |
й |
не |
об |
|
{l~bHht) |
|
служено к |
изделий; |
|
|
|
|
|
|
- |
вероятность |
того, |
что |
за интервал |
времени |
Д й |
из |
||
|
|
к изделий ни одно не обслужено; |
|
|
|
|
|||
0(Д й) |
- |
вероятность |
того, |
что за интервал |
времени |
Д й |
бу- |
||
|
|
дет обслужено более чем одно изделие (бесконечно |
|||||||
UH+I(t) - |
малая величина более |
высокого порядка, |
чем Д й ); |
||||||
вероятность |
того,, |
что |
в момент времени |
й |
не |
об |
|||
b^f ht |
|
служено н + I изделий; |
|
|
|
|
|||
- |
вероятность |
того, |
что |
за интервал Дй обслужено |
|||||
|
|
одно изделие. |
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем выражение (11.26) |
в виде |
|
|
|
|
||||
UH{t + At)- UH{t) =- Ь м UHit) Дй + Uн+/(й)Ъ^Дй+0(Дй). (п.Зба)
Разделив левую и правую части уравнения (II.2 6 а ) на Дй — 0 и учитывая, что
216
получим
dU„(t) |
|
|
dt |
b „ W ^ b H4uK^ t ) , |
(11.27) |
|
||
где ң = 0 , I , 2, . . . » n . |
|
при н= п |
Следует помнить, что с учетом выражения (11.25) |
||
о,.М > - о •
Для решения системы уравнений (11.27) воспользуемся преоб разованием Лапласа при следующих начальных условиях:
ГI при |
н = п ; |
Но при |
( I I . 28) |
н < п . |
Эти условия означают, что в начальный момент времени не имеет ся ни одного обслуженного изделия.
Найденные значения UH(t) должны удовлетворять условиям полной группы событий, т .е .
і=о
Выполнив преобразование Лапласа в левой и правой частях уравнения (1 1 .2 7 ), с учетом начальных условий (11.25) получим:
2 |
l N(Q) = - ^ ^ ( 2 ) + 5 я+/і я+/(2), где к* п-1, п-2г |
|
2 |
LH{Q) = 1 - bHLH( 2 ) , |
> (11.29) |
где к = п . |
||
В выражениях (11.29) £2 - комплексное число, a LH(Q.) - опе ратор Лапласа, определенный в виде
=J üK(t)e~atdt
Решив систему алгебраических уравнений (11.29) относитель но LH{Sl) , с учетом выражения (11.25) получим
ап~ (m-f)i. тп - т + І
я ! (£2+ та) |
п-т+1 т-г . . |
п р и О * К 4 Г П Ч \ |
П{£2+іа) |
( I I . 30) |
|
|
|
LK{2 ) ~
___ (таУ |
П-К+І |
При /77 « Ң« П . |
(2 + та) |
|
|
217
Представим ( I I . 30) в виде
|
|
|
|
‘AL' |
(2); |
|
|
|
|
( ІІ .З І ) |
|
|
|
|
|
L'AQ). |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
„п-н I т |
ж |
\ |
тп~т+! |
|
|
||||
|
|
а |
|
\ т - і ) |
т_____ |
|
|
||||
|
|
А = |
|
я |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ІІ .З Іа ) |
||
|
|
4 ( 2 ) --------------- і --------------; |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(2+сГ /і ІЙ + іД) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L*K |
|
|
|
|
|
|
|
|
i/'(2 ) = |
|
\п-К |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
jg .а. Г " |
|
|
|
|
|
||||
|
|
" |
(2 + с Г " +' |
|
’ |
|
|
|
|||
|
|
С = та ■, г = п - т + / ; s = т - І . |
|
|
|||||||
Изображению функции і/'(й ) |
соответствует |
оригинал |
|
||||||||
|
|
|
|
_ { m a t f * |
- m a t |
|
(11.32) |
||||
|
|
|
|
{л - я)! |
|
|
|
|
|||
где |
т < я 4 п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения оригинала функции |
ІІН{9.) представим ее в |
|||||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&+с)г |
2 + я д |
|
В'.а+і_ |
+ ...+ _ _ i _ + ...+ _ ^ s _ ,(11.33) |
||||||
|
|
2+(я+/)а |
|
2+ уд |
2 +5 |
а |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bj =4(Q)(Q+c)r{S+;a) |
|
|
И |
У |
(11.34) |
|||||
|
|
|
aS~V'(s-j)! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
fi-V“ |
|
||||
a |
у = я , я + |
s . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тогда можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
^ 1^ " Д( 2 |
|
|
|
|
+Дс BjГ |
|
(11.35) |
|||
|
+ |
/ а |
К |
2 |
|
’ |
|||||
где
(11.36)
{Q+Ja)(Q.+c)r
218
Представим затем выражение С11.36) в |
виде |
|
|
|||||||||
£.Ю )= |
—.5 '-, |
+ |
JO b!L+ |
®+сГ |
|
И----- +•••+ |
ъ |
,(11 .37) |
||||
|
Q+ja |
|
й+с |
|
|
{й+сГ* |
(S+c)r |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ej =lj(Q){Q+Ja) |
|
f |
|
Г > |
|
(11.38) |
||||
|
|
|
(c-ja) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
SW а |
|
|
||||
Я г |
|
|
|
|
|
(-ІГ |
при |
* = |
І »2****>'"- |
|||
{L-%dü14 |V ß XS+c) й=ч.(/д-с)‘ |
||||||||||||
Переходя от |
Ь} (й ) |
к |
LH(Q,) |
, получаем |
|
|
|
|||||
|
|
W |
|
=£ |
S |
A |
l |
|
|
j L |
|
(11.39) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
і*ѵ |
* |
(S2+ с) г-н+1 |
Q.+ja |
|
|
|||
Переходя в |
(11.39) |
от изображения к |
оригиналу, |
будем иметь |
||||||||
|
|
|
|
|
|
г-/ |
|
|
|
,-> at |
|
(11.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 0 |
« |
H « |
m -1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединив выражения |
(11.32) и (11.40) и учтя обозначения |
|||||||||||
( I I . 31а ), |
окончательно |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
“к'. |
M |
m |
- J r ^ Iе |
- е |
S ~ |
І Г ~ Г ПРИ |
Ъ *к**-Ь |
|||||
и р И |
{ m a t y * |
■ mat |
|
|
|
|
|
|
|
( I I . 41) |
||
|
|
при |
т •£ |
п . |
|
|
|
|||||
|
(п —к)\ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для определения искомой вероятности того, что за время t обслуживание всех п изделий будет закончено, подставим в (II .41) к = 0. В результате этого будем иметь
ЬіУ&т [е |
'g’ |
{at)\m-j)L , (11.42) |
|
t*0. |
i! |
219
где
ГІ - |
т [ |
Среднее число необслуженных изделий п ( t ) , включая "оче редь" , найдется как
пн Ш = I к U M . |
(11.43) |
Среднее число обслуженных изделий
(П .4 4 )
n ^ t ) = п - n j t ) .
Относительный коэффициент готовности изделий
Kr {t) |
= |
п - nH(t) |
(П .4 5 ) |
|
п |
||||
|
||||
|
|
|
Математическое ожидание числа изделий, ожидающих начала об служивания (средняя длина очереди), находится из выражения
(K - m ) U l t ). |
(П .4 6 ) |
Я*/7?+/ |
|
Среднее число свободных бригад |
|
т - і |
|
mc(t) = £ (я > - K)UMW . |
(11.47) |
Таким образом, используя формулу ( I I . 42), можно определить количество бригад, необходимое для того, чтобы вероятность вы полнения регламентных работ на всех изделиях за заданное время была больше или равна заданной, т .е .
U W * P |
( I I . 48) |
оо
Кроме того, по формулам ( I I . 41) и ( I I . 42) можно определить ин(і)кля любого я= п , / 7 - 1 , . . . , I , 0, а затем, используя вы ражения ( I I . 43) - ( I I . 47), рассчитать и другие требуемые харак теристики.
П р и м е р . Допустим, что при выполнении регламентных ра бот радиостанций необходимо в течение года обслужить 120 радио