книги из ГПНТБ / Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник

найдена путем вычисления интеграла

(9.43)

о

Подставив в

выражение

(9 .43) значение

^ ( z /tf ) ,

определяе­

мое выражением

(9 .4 2 ), получим

(9.44)

На основании первой теоремы смещения и теоремы интегрирова­

ния [3 8 ] выражение

(9.44)

можно записать

в виде

pif/KJ -

ш

/

к

>

■

»•«>

функция p{t /к)

является кусочно-гладкой,

т.е,.

она на каж­

дом из интервалов

[і â , il

+ /) <?]

имеет

свой

вид.

В связи с

этим и функция

Pr+Iit)

также будет кусочно-гладкой.

Подставив

в выражение (9 .34) значения

рік ) и p i t /н) .опре­

деляемые соответственно

выражениями (9.35)

и (9 .4 5 ), и восполь­

+ e~A,t

I £

н г

j’i m*О

x-l J-l

г к-г

^к-і.к-т-г.

\K-1-i

S 6 { H r X , )

- A , t

r m

*v

^ 2

^ Si

+ e

j » 1 rtm 0

I )

{н-і-;ѵлііГл2г+;-т-2

(9.46)

где

t &■ â ;

I -

целая

часть

числа

Л- •

В случае, когда время t

,

о

на

выполнение задачи,

отведенное

удовлетворяет неравенству t

»

(л* + /) 6

, в выражении (9.46)

суммирование по

s

достаточно

выполнять

только до значения I =

= г

+ I , поскольку остальные

члены этой суммы будут равны ну­

лю. Например, при

r +

I = 2 функция Р2 (t )

имеет

вид

/

-л,<у

А2

Л

- л 2(£-<?Л

е

/ +

е

_и __р

при &*t<2â;

Л ,-Л 2

л - Ѵ

/>(*)=-

(9.47)

-А,(У

при2<У^і<°°. .

е

-

^ +/

бУДУТ

-Л, (У

при t

= â

и любом числе

г ;

,

І4 а~І110\Г +І

при

*

- ОО

[ / “ V - е

у

£

Если на практике рассчитанная величина

(£) за

отве­

денное

время t

окажется меньше

требуемой,

следует изменить по­

довательное включение резервных средств на параллельное,

уже

при t -

6

можно достичь максимально возможного значения

Pr+/(t),

равного

1

I t

- е

- Л б \ г + І

/

- у

)

В случае,

когда

отказавсве в работе устройство системы з а -

мещается мгновенно ( Л2

о©)

,

функция

Pr + / (t)

принимает

вид

*»/ i=l

(9.48)

где

I

- по-црежнему целая

часть

числа

•

Если время t , отводимое на выполнение

задачи,

удовлетво­

ряет

неравенству

t

(г +1)

6

,

то правая

часть выражения

(9.48)

приводится к весьма простому виду:

А ,$ \г + І

(9.49)

t*(r+i)â =

/ - ( / - е ’

)

где

р = 0 ,1 ,2 ,3 , . . .

Зависимость

РЛ+/ (t) от

для различных значений г со­

гласно

(9.48) и

(9.49)

построена на р я с .9 .9 .

Рис.9 .9 . Зависимость Рг + /(£) от

для различных значений

Теперь, когда функция Pr+f (t)

найдена, вторая часть сфор­

мулированной выше задачи сводится

к решению относительно р урав­

нения

Pr+I (t)

= Р ,

(9.50)

где Р0 - требуемая вероятность

выполнения поставленной задачи.

Поскольку функция Pr+f(t)

в

зависимости от р

является

Pr (t ) > P D .

(9.52)

Итак, зная Р

(і) , можно найти

то минимально необходи­

лой (9 .4 7 ). При этом искомая

вероятность

Pz (t)

= 0,91.

t

=

I час

Если в условии последнего

примера положить

(мгно­

венное включение резервного

устройства), то величина

Рг (t) бу­

дет равна

P2'(t)

0,99.

t

= I час

ной модели (ри с.9 .1 0 ).

Здесь

длительность импульса потока Х*(г)

Т, - ѳ , - - т, -

К -

«к-, — ъ

2

t

№ 0 .9 .10 . Реализация

процесса выполнения задачи

длительность

паузы потока - продолжительности его ремонта. Бу­

дем считать,

что момент начала выполнения задачи

попадает

будет не меньше объема задачи â

, т .е . при выполнении условия

І

Т? 9

â

( / < = / , 2

.

(9.53)

і*/

L

Согласно рис.9.10

Т* - случайная длительность

і -го им­

пульса потока X*(2 ) при L -

I ,

2, . . . , н .

Вероятность того, что выполнение задачи закончится в пре­

делах н -го импульса,

обозначим

Рк .

т:,

â

при

к = I ,

<7+ Ѳ*

при

н =

2,

(9.54)

Тп

<? +

£

Ѳ*

при

к >2 ,

где

Tg*

-

продолжительность

і*/

задачи

в пределах к -го

выполнения

импульса последовательности

X *(z).

С учетом вероятности выполнения задачи в пределах к -го им­

пульса

Рн

время ее

выполнения

Т* можно записать в виде

Т* = S

Рн Т*

(9.55)

в

",

к

Ьк

Теперь, вычислив плотность распределения f(Tg) времени вы­

полнения задачи

Т$* , представляется

возможным определить иско­

мую вероятность

P(t/â)

выполнения задачи постоянного

объема 6

в заданном интервале времени [$-, Ц +t]

по известной

[20] фор­

муле

Г

P ( t / 6 )

=

(9.56)

j

Для упрощения задачи будем считать,

что плотности распре­

деления 1У(Г)и

Ф(В) заданы в

виде:

ѴПТ)

=

Л е~ЛГ , '

(9.57)

0 (Ѳ )

= ju

е ' ^

,

где

JI

-

интенсивность

отказов устройства;

ju

-

темп его ремонта.

Р .

В ы ч и с л е н и е

в е р о я т н о с т и

Вероят­

ность выполнения задачи в пределах

к -го

импульса последова­

тельности Х*(2 ) отождествляется

с вероятностью

выполнения си­

стемы неравенств

Т*> 6

при к =

I ,

(9.58)

7

+ 7

+ -

+ С

‘

# >‘ при К>1

Ѵ + т ; + . . л т ; > е

В общем случае

для нахождения

Ри

необходимо вычислить плотность

і г ;

> в .

і-і

В случае выполнения условий

(9.57) задача вычисления величины

Рк существенно упрощается.

Действительно, при этом условии ве­

P« = j ß

] j r e ~Aâ

(Я -

1,2, . . .

(9.59)

В ы ч и с л е н и е

п л о т н о с т и

р а с п р е д е ­

л е н и я

f{Tg) .

Сначала вычислим плотность распределения слу­

чайной величины

ті*

=

f +

■

(9.60)

Для этого воспользуемся преобразованием Лапласа.

Согласно

определению,

если

задана

функция h(x)

, то ее

изображение

по Лапласу запишется в виде

//(ß )=

Jh{x)e~a x d x

,

(9.61)

_

оператор

о

где і2 -

преобразования Лапласа.

В свою очередь,

знание

функции Н(.Я.)

позволяет

вычислить

функцию h{x)

по формуле

Ң х ) =

.

(9.61а)

FH(Q) = Л{ ШП (pt(2 ),

(9.62)

F( Q)

= e~6Sl~ p H1 , ,

(9.63)

к

(ju+ й Г '

ПШ - £ Рн FAQ ) .

(9.64)

к-1 *

к

Подставляя в выражение (9.64) значения Рк

и FH{Q)

из (9.59) и

(9.63)

соответственно, получаем

F ( S » ,

(9.65)

Согласно

(9.56)

изображение

L(Q)

вероятности

выполнения

задачи

з а время t

будет

(9.66)

или с

учетом

(9.65)

S2

£Q (,S2+ju)Äк\

(9.67)

Обозначим

к -й

член суммн

А,=

U 6ji)K

(9.68)

жения (9,67)

P{t/â)

запишется

в виде

Р{і /6) = е~х 61 а н{ і - 6)

(9.70)

к=0

или с учетом

(9.69)

О при

0 « t

< $ ,

(9.71)

f\t/6)=+

.

k*i “ • i=o

L

•

можно получить

следую­

Изменив в (9.71) порядок суммирования,

щее, более удобное для вычислений соотношение:

0

при

0

t 4 6 ,

Pit/S)=

-ju(t-â)ao

[ ( t - â ) i i T

л

^ 9 *7 2 )

1 -e

S

—-;i ^

ВЦ+І)

при t & 6 ,

L

t*0

1•

В(і)=

(9.73)

AS é 0 ,1 ,

(9.74)

P i t /6) *

•

(9.75)

Вычислив по формуле (9.75)

вероятности

выполнения задачи

объемом 6 = 0,1 час за заданное

время i s

0 ,2 часа,

можно убе­

диться, что для радиостанций с

характеристиками 7= j-

и В = ^ ,

представленными в табл.9 .1 , они

соответственно равны:

Pf { t / t )

=

0,999,

Pz ( t/ â)

=

0,990,

P3{ t / t )

=

0,900.