книги из ГПНТБ / Теоретические основы эксплуатации средств автоматизированного управления учебник

Щ = ( Г + S) еТ - Г.

<9- І9)

Вычисление плотности вероятности Ф(Ѵ)

. Точное вычисление

плотности вероятности ф(Ѵ)

случайной величины

V*(рис.9 .26)

приведено в работе [20]. Здесь

мы ограничимся приближенным вы­

числением этой плотности распределения^.

Для вычисления плотности вероятности

ф (V)

случайной вели­

чины V* необходимо прежде

всего найти плотность

распределения

длительности паузы потока

Y * ( z ) .

Длительность паузы потока

Y*(z) согласно рис.9.2а равна

Q\ â)=

Н\6)+ <?,

откуда

Н* =

Ѳ*

-

6

,

(9.20)

где

Н* = Нф{6)\

Обозначим

безусловную плотность

распределения случайной

величины

через

/?(//).

С учетом введенного обозначения и выражения (9.20) плотность

Фу {Ѳу) распределения

случайной величины

Ѳ* = Ѳ* (<?) удовлет­

воряет

соотношению

при

es<f;

W *

(9.21)

при-

R(H)

Безусловная плотность

вероятности случайной

величи­

ны

Н* при условиях

экспоненциального распределения величин Ѳ*

и Т* является

монотонно убывающей и может быть с достаточно

хорошим приближением аппроксимирована функцией

R(H) *

(9.22)

H W

где

Н( д) - безусловное математическое

ожидание случайной ве­

личины

Н* (р и с .Э .Іа ), определяемое

соотношением

H(â)

= Ѳ{<?)- 6

= (7

+ Ъ)ет- Т - 6 .

0 .2 3 )

Использование

приближенного

значения ф(Ѵ) вместо

точно­

О

при

V

W -

ву-â

(9.24)

/

7Щ

при

Ѳ &

1

Ш )

У

Рис.9.3. Кривая, изображающая

Рис.9 .4 . Кривая, изображающая

плотность распределения слу-

плотность распределения слу­

чайной

величины

Ѳ*

чайной величины V*

ном выборе

точки 1=

на временной оси г распределение величи­

ны V* определяется плотностью

вероятности [59]

?m=é

i w

" r

(9-26)

где Ѳ( 6)

вычисляется по формуле

(9 .19).

, определяемое выра-

Подставив в (9.25) значение

ф

(Ѳ )

жением (9 .2 4 ), получим

S

Г

_ ! _

при

Ѵ < в ;

((KV)

I

т

W -â )

(9.26)

. ш

е

W

при

V& 6 .

Кривая, изображающая плотность (j)(V) распределения случай­

ной величины V* , представлена на рис.9 .4 .___

___

Теперь, когда получены выражения для

T{â)

, Ѳ(<?) и (р(Ѵ) ,

займемся

отысканием функции

P{t / 6) .

Вычисление

вероятности Pit / 6 ) выполнения доставленной

за­

дачи. Подставив в выражение

(9 .6 ) значения

ф(Ѵ)

, 7 Ш

= Т ,

Ш) = НШ+6

и выполнив интегрирование, получим

Т + і - 6

при

6 « t

*

26 ■

Т+ H{â) + 6

t- ге

(9.27)

/

ІШ

е~ Ш

при

t

^

2 6 ,

- Т + H{6) + 6

где

Н{Ö) вычисляется по формуле

(9 .2 3 ).

Качественная зависимость P{t/â) от t

представлена

на

рис.9 .5 .

t =0 = 0 ,

В частном

случае, когда

согласно

(9.27)

имеем

Р(0/0) = 7+ F

что

и

следовало

ожидать. В

другом

случае,

когда і —

»со­

гласно

(9 .3 )

и

(9.27) имеем

Р(ао/

fi) =

I .

Произведем анализ полученных результатов.

В табл .9.1

были приведены показатели надежности и ремонто­

готовности.

Спрашивается,

будут ли

эти радиостанции

равнозначными и при срав­

нении их по

вероятности

выполнения поставленной

задачи.

На рис.9 .6 приведены

кривые

зависимости веро­

ятности

выполнения зада­

чи от времени t , рассчи­

танные по формуле (9.27)

Рис.9 .5 . Качественная зависимость

для 6 = 0,5 час и значе­

ний Т

и

§

, указанных

P(t/â) от t

в табл .9 .1 .

На рис.9 .7

то же семейство кривых построено при условии

6 = 0,1 час. На этих рисунках кривые

I , 2 и 3

относятся соот­

ветственно к первой, второй и третьей радиостанциям.

Из анализа

выражения (9 .27) и приведенных графиков следует,

что при t = â во

всех случаях наиболее эффективным является та­

кое устройство,

которое имеет наибольшую надежность. Особенно

одинаковых по назначению радиостанций.

Т а б

л и ц а 9. 2

Характеристики радиостанций

Наименование

радиостанций

Первая ра­

Вторая ра­

диостанция

диостанция

Математическое ожидание времени на­

100

50

работки станции на один отказ,час

Математическое ожидание времени ре­

25

5

монта станции, час..............................

Коэффициент

готовности станции.........

0,8

0,91

Вероятность

выполнения задачи

0,655

0,610

Я (20/20)

...............................................

Вероятность

выполнения задачи

0,783

0,838

Я (40/20)

...............................................

Т

при

6 «

t

« 2 6 ;

г+ ѳ

P{t/â) =

(9.28)

ѳ

- у г

,

при

2

6 ^ t< 00,

/ ”

7+Ѳ

е

где Т

и

5

- математические ожидания времени наработки

сред- .

ства на один отказ и времени его ремонта.

Из анализа выражения (9.28)

следует,

что при &«

t

« 26

/)

«

I

вероятность

выполнения поставленной задачи

систе­

и -=-

ча заключается в передаче информации заданного объема.

При

этом, если в течение минимально необходимого времени 6

отка­

за в работе передающего устройства не

наступает, задача

счи­

тается выполненной. Если же в течение

этого времени происходит

Г М

--------------------г

!

И

-

__________L

1—

Z/—

j

1

1

1

— * ъ_

—

L

1

1

0

1

1

t

Время

Выполнения

________ (

1

задачи

|

\

О

t г

Рис.9 .8 . Реализация последовательной работы системы

второе устройство выйдет из

строя за время, меньшее â ,

вместо

него включится следующее из

резервных устройств и

т .д .

Принцип работы такой системы легко уясняется

с помощью

рис.9 .8 , где длительности импульсов

выражают

собой

время

*

<

Тi

*

<

Xг

Ч

<

(9.32)

pH(t) = р { к ) p i t / К) ,

(9.33)

(9.34)

где pH(t) вычисляется по формуле

(9 .3 3 ).

Условия (9.32) в предположении'(9.29) выполняются с веро­

ятностью

р(к)

= РЯ*'1 ,

^9 *35)

где

= Jw(x) dx = е

р = р ( х * > 6 )

-SL,6

(9.35а)

?

V

$

ѵ}{%) dx = 1 - е -А,<?

Ч = у {X* < 6) = j

(9.356)

о

Вычислим вероятность

р{Ь/н)

выполнения неравенства(9.31)

при условиях

(9 .3 2 ).

Плотность

вероятности

случайной величины

т* при условии

X* <

s

(9.36)

169

с учетом (9.29) определится функцией

Л< -Л.Х

при 0 ^ т «

Ö;

— е

где £

вычисляется по формуле

(9 .356).

Для вычисления искомой вероятности p{t/H) воспользуемся

преобразованием Лапласа.

В этом

случае

изображение

функции

(9.37)

согласно

опреде­

лению [38]

равно

L ^ Q / â )

=

Г

е &zä t ,

где Я, - комплексное переменное.

w{t/5)

Подставив в данное выражение значение

, определяе­

мое выражением (9 .3 7 ),

и выполнив интегрирование,

получим

L,{Q/6)‘ JLt 1-е

-(2

(9.38)

На величины ^ , входящие

в неравенство

(9 .3 1 ),

не

налагает­

ся каких-либо дополнительных условий,

за

исключением

требования

экспоненциального их распределения

(9 .3 0 ).

В силу

отмеченного

обстоятельства изображение плотности

вероятности величины у*

имеет

вид

Ш2 ) = U

Г

= — --2-

•

0 .3 9 )

Поскольку случайные

величины

г*

и

У*

,

образующие сумму

(9 .3 1 ),

при условиях

(9.29)

и

(9.30) являются независимыми,изо­

бражение

условной плотности

Д52 /н) вероятности случайной вели­

чины

г*ч

определяется

произведением

t

-(я +л,)<?і К-І

(9.40)

Ш / н )

=

Ь к

/ - е

(Я+л,) (S2+ Л2)

L Я

1

где н

= I ,

2, 3,

... »

г

+ I .

Воспользовавшись

тождеством