книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

Первое применение термодинамики для рассмотрения указанных эффектов осуществил Томсон, который просто игнорировал необратимые процессы, связанные с тепло­ проводностью и образованием джоулевой теплоты. Томсон рассматривал термоэлектрические эффекты с помо­ щью методов, обсужденных нами выше для обратимых процессов. Использовалась, например, формула для

в частности, было показано Больцманом1 при тщатель­ ном анализе. Поэтому обоснование, которое дал Томсон открытым им эффектам, не является строгим. Только с

гера, мы приведем более обоснованный вывод. Ниже мы

490

Две проволочки из разнородных материалов А и В

Vo представляет собой напряжение, при котором ток от­ сутствует. При бесконечно малом изменении V через проволоки можно пропускать ток того или иного направ­ ления. Если в качестве источника напряжения принять аккумулятор, то он будет несколько разряжаться при повышении V, и, наоборот, заряжаться при его сниже­ нии. Используем систему термостатов, которые поддер­ живают постоянную температуру в отдельных точках це­ пи; сначала сделаем это для спаев, приведя их к темпе­ ратурам Т\ и Т2. Затем путем регулировки источника на­ пряжения V добьемся отсутствия тока. Назовем Vo термо-э. д. с. термоэлемента АВ. Вдоль проволочек уста­ новится перепад температур. Поместим теперь каждую точку проволочек в термостаты с соответствующей тем­ пературой Т. Таким образом, для всех последующих опытов температура в каждой точке оказывается задан­ ной. Теперь немного увеличим напряжение, получив ток /, который протекает в проволоке А от Ti к Т2, а в про­ волоке В — от Т2 к 7Y При этом можно заметить, что термостатом к проволочкам подводится определенное количество тепла, пропорциональное /.

Введем определение коэффициента Пельтье П А В - Ес­ ли через места спая между металлами А и В протекает ток / в направлении от Л к В, то при этом из термоста­ та, окружающего спай, отбирается в секунду количество тепла П А В / И П О Д В О Д И Т С Я К спаю. В связи с линейностью по / неизбежно следует ИВА — — П А В -

К о э ф ф и ц и е н т Т о м с о н а т . Если в проволоке (од­ нородной), через которую протекает ток, имеется пере­ пад температур, то в ней выделяется тепло, пропорцио­ нальное перепаду температур и величине тока. Если х — координата, измеренная вдоль проволоки, и задана функция Т—Т(х), то для поддержания температуры участка проволоки dx неизменной во времени к нему

должно быть подведено тепло / т dT- dx. Следователь-

dx

но, если на некотором участке проволоки температура возрастает на -dT, то этот участок отнимает из термоста­ та в секунду тепло JxdT.

Обозначим через %А И ХВ коэффициенты Томсона для металлов А и В. Как Т1Ав, Т А , ХВ, так и Vn являются пока неизвестными функциями температуры. Применим те­ перь оба основных закона термодинамики для анализа схемы, изображенной на рис. 124, пренебрегая тепло­ проводностью и джоулевым теплом. Предположим, что V несколько ниже равновесного значения V0. В этом слу­ чае ток / течет в направлении, при котором производит­ ся работа над источником напряжения (аккумулятор за­ ряжается). За секунду производится работа VQJ. Соглас­ но первому закону эта работа равна теплу, отнятому от термостата. Отсюда имеем:

не изменялась. Уменьшение энтропии каждого термоста­ та составляет 8Q/T. В связи с этим для изменения энтро­ пии всех участвующих в процессе термостатов при про­

определяющее связь между теплом Пельтье и теплом Томсона. Полученное таким способом значение тепла Томсона введем в уравнение энергии. Если записать уравнение (94.3) в виде

^—TM¥)—i^+¥- (94-3а>

492

то из уравнения (94.1) для термо-э. д. с. получим:

У0=^с1Т. (94.4)

т,

В соответствии с этим при очень малом перепаде тем­ ператур dT между обоими спаями для дифференциала термо-э. д. с. справедливо

95. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ. ОБСУЖДЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СООТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ ОНЗАГЕРА 1

Еще в § 87 был рассмотрен тепловой поток в сплошной среде и связанное с ним увеличение энтропии. Обобщим это рассмотрение па случай, когда в среде может воз­ никать поток не только тепла, но и частиц. Под частица­ ми, в частности, понимаем электроны, перемещающиеся в металле, хотя общие положения не зависят от этой частной модели.

Ограничимся стационарными состояниями, для кото­ рых потоки частиц и энергии зависят от координат, но не

от времени. Если обозначить векторами N и U плотность потока частиц и энергии, то по законам сохранения в стационарном состоянии будет выполняться:

1 Использованный здесь метод освещается, например, в работе Каллена (Callen Н. В. — «Physic. Rev.», 1948, v. 73, p. 1349).

493

мую за одну секунду в 1 см*. Величина divS появилась в этом уравнении вместо величины S, встречавшейся в рассмотренных выше задачах с двумя переменными.

До сих пор потоки N и U рассматривались как функ­ ции сил — grad(р/Г) и grad (l/?"); отсюда уравнения движения при соотношении Онзагера L \ 2 = L 2 \ имеют следующий вид:

Как обычно, исключаем grad(p/f) из уравнения для V с помощью уравнения для N и получаем:

Сначала покажем [как и в (90.16)], что в данном случае соот­ ношения Онзагера также оправдывают методику Томсона. Дл я это­ го введем последнее выражение для U в div S

grad S = N(- grad - + — g r a d - ) + — (grad - )

и запишем общее выражение для N:

N = i n (— grad ^ - + — grad —

и потребовать, чтобы при отсутствии потока имелось бы истинное

494

Противоречие устраняется лишь в том случае, если

/-12 = /-21-

Из уравнения (91.7) следует, что величина

^-12 __ ^-21 __ JJ*

/-11 /-11

имеет смысл энергии переноса. Представляется целесо­ образным с помощью выражения

(7* = TS* + [х

ввести энтропию переноса S* [см. (91.9)]. Видим, что все рассматриваемые эффекты в сущности описываются с помощью этой единственной величины S*. Уравнение потока частиц принимает вид:

дальнейшего обсуждения. Сделаем вначале важное за­ мечание о потенциале Если внутри металла имеется

потенциальное электрическое поле (£ = —gradcp), то по­ тенциальную энергию еср следует прибавить к величине потенциала, т. е. будет выполняться:

т

По eN=j представляет собой плотность электрического тока.

Следовательно, выражение о==е2Ьц1Т определяет электропроводность.

495

Отметим два следствия из уравнений (95.6) и (95.7).

Образуем div/7 из уравнения (95.7). При d\vN=0

div N (7S* - f V) = N grad (TS* + p) =

= # (5* grad Г + grad a f Г grad 5*).

Два первых слагаемых в соответствии с (95.6) дают —NT/Ьц. Таким образом, в стационарном случае имеем:

ло, воспринимаемое материалом. Оно экспериментально обнаруживается в виде тепла Томсона и Пельтье.

а) Коэффициент Томсона т

Пусть через физически однородную проволоку с попе­ речным сечением q в направлении -\-х протекает ток / =

= e(N)xq. Если температура Т= Т(х) вдоль проволоки изменяется, то в целях сохранения стационарного состоя­ ния к участку dx проволоки от термостатов, с помощью которых поддерживается заданное распределение тем­ ператур, путем теплопроводности должно быть подведе­ но тепло

T J — dx. dx

Для этого же тепла из уравнения (95.10) после ин­ тегрирования по объему qdx участка проволоки dx сле­ дует

T(N)x^-qdx. dx

496

Так как в физически однородном материале S* явля­ ется функцией только Т, имеет место соотношение

Приравнивая оба выражения для подводимого теп­ ла, находим коэффициент Томсона:

Т dS*

Те dT

б) Тепло Пельтье

Через спай от металла А к металлу В протекает неко­ торый ток при постоянной температуре. Если S*A и

определяют значение энтропии переноса в точках А и В, то из уравнения (95.10) после интегрирования на участ­ ке спая для тепла, воспринятого этим спаем, следует:

По определению коэффициента Пельтье это тепло равно Плве/, следовательно, имеем:

(95.11)

Дифференцирование ПАВ/Т ПО Т дает полученную ра­ нее Томсоном связь

между коэффициентом Пельтье и разностью коэффици­ ентов Томсона.

в) Термо-э. д. с.

Рассмотрим термоэлемент, состоящий из металлов А и В (рис. 124), в отсутствие тока. В этом случае между сво­ бодными концами металла В (точки а и Ь) будет суще­ ствовать э. д. с. Vo- Температура в точках а и b одинако­ ва и равна Т. Интегрируя справедливое при /V=0 урав­

497

499