Тогда получается следующая схема применения уравнения Найквиста: сопротивление, поддерживаемое при температуре Т, за
|
мыкается |
с помощью ряда |
коммутационных элементов |
|
(символизи |
|
|
|
|
|
|
|
|
рованных ящиком У) (рис. 119). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ящик У не должен содержать дисси- |
|
|
|
|
|
|
|
|
пативных элементов и, в частности, ника |
|
|
|
|
|
|
|
|
кого омического сопротивления. Тогда име |
|
|
|
|
:J- |
|
|
|
ем два уравнения для напряжения U, уста |
|
|
|
|
|
|
|
навливающегося |
на |
концах |
R, |
а |
именно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
во-первых, падение напряжения, обуслов |
|
|
|
|
|
|
|
|
ленное |
нетермическими |
элементами |
У, |
и, |
|
Рис. |
119. |
К |
формуле |
во-вторых, |
уравнение |
(85.2). |
|
|
|
|
|
|
|
Д л я синусодиального |
тока |
(все |
пара |
|
Найквиста с обобщен |
|
|
метры |
пропорциональны |
ei<ot) |
при |
обычном |
|
ным |
сопротивлением |
|
комплексном способе записи первое из этих |
|
в термостате |
и |
ком |
|
мутационным |
элемен |
уравнений |
имеет |
вид |
U = |
iY(a)J |
|
с |
дейст |
|
том |
|
У, |
не |
дающим |
вительным |
значением |
У (со) (в |
ящике ведь |
|
потерь. Полное |
сопро |
отсутствует омическое сопротивление). Ес |
|
тивление |
цепи |
|
Z — |
ли, например, У представляет собой после |
|
— |
R—iY. |
|
|
|
|
довательное |
соединение |
индуктивности |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
и емкости |
С, |
то |
справедливо, |
в |
частности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (со) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(85.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
coZ. — —— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При более общем характере изменения тока можно всегда опи |
|
сать / |
с помощью интеграла |
Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J {t) |
= |
\ j |
(со) еtat |
da, |
j (—со) = |
/* (со). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У 2 я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
первое |
уравнение |
для |
U |
гласит: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (/)= — Г iY |
(со) / (со) е |
ш |
da. |
|
|
|
|
|
В |
качестве |
|
второго |
уравнения для тока / используется уравне |
|
ние |
(85.2). Если |
и для V записать интеграл Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V(ty- |
|
1 |
|
с (а)е!Ш |
da, |
|
|
|
|
|
|
|
V2n
то два последних уравнения после исключения U дают: [R — iTco]/(co) = с(со).
В результате имеем (см. § 83) спектральное распределение тока
В технике комплексную величину
Z (со) = R — iY (со)
называют полным сопротивлением контура. Согласно (85.4) полу чаем:
Ada |
= |
— |
kT -^—da |
(85.6) |
м |
|
я |
|
\Zf |
|
' |
— |
2/гГ |
Г |
Я |
, |
|
Л |
= |
|
|
— - д - щ |
85.7) |
|
|
я |
J |
|ZI 2 |
|
' |
|
|
|
о |
|
|
|
Если сюда подставить |
для |
У(со) |
его |
частное значение |
(85.5), то |
интеграл можно легко вычислить, используя тождество (83.12). По
лучаем |
в результате, |
что |
как средняя энергия — LI2 индуктивно- |
|
1 |
Q2 |
1 |
сти, так |
и энергия — |
— |
емкости имеют правильное значение ~~^kT |
Вчастности, имеем:
|
|
J |
2 : |
2kT |
Г |
|
Rda |
|
|
|
|
|
|
я |
,) |
( |
|
1 |
\ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
2kT |
С |
|
|
Rda |
|
|
|
|
|
")2 _ |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
о |
coa ba +fcoL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L VUAj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
соС |
|
|
|
|
Используя |
в |
качестве переменной |
интегрирования |
величину s= |
= 1/со, получаем: |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
Г |
|
Rds |
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
,} |
I |
L |
s |
\ 2 |
|
|
|
Следовательно, значение Q2 получается из |
значения |
/ 2 путем |
перемены мест L и 1/С. Входящий |
в |
выражение для Р |
интеграл |
можно привести |
к виду |
(83.12). Имеем, |
в частности: |
|
|
- |
|
2kT R |
} |
~ |
|
«2^й> |
|
|
|
|
/ 2 |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
L 3 |
J |
R2 2 |
. . / . |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
L |
|
|
Согласно |
(83.12) |
интеграл |
имеет |
значение — |
—- |
, следователь- |
но, остается J2=kT/L |
и тем самым |
Q2=kTC. |
|
|
|
|
29* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
451 |
'2 |
2 |
|
При переходе к v-шкале (co = 2nv; Jw |
d w = / v d\), |
часто |
предпочитаемой на практике, уравнение (85.6) можно представить
ввиде
б) Простая модель шума сопротивления
Д л я получения формулы Найквиста мы исходили выше из осцилля тора, находящегося между пластинами конденсатора, рассчитывая затухание его колебаний благодаря сопротивлению, на которое замкнуты пластины. О физической природе сопротивления при этом совершенно не говорилось. Оно характеризовалось только омическим сопротивлением R и могло представлять собой как электролит, так и металл. Хотя введение в рассмотрение осциллятора вполне оправ дано, однако оно может выглядеть как некое искусственное вспомо
гательное |
средство. |
С |
другой стороны, хотелось |
бы |
понять, |
как |
в результате |
температурных |
движений |
в |
пределах |
сопротивления |
возникает |
ток |
/ т е р м , |
описываемый уравнениями (85.2) и (85.4). По |
добное обоснование |
формулы |
Найквиста |
в довольно |
общем |
виде |
было |
дано |
Колленом |
и |
Уэлтоном 1 с использованием |
аппарата кван |
товой |
теории. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже |
вместо этого |
будет |
сделана |
попытка обосновать назван |
ную формулу с помощью простой классической модели. В качестве модели обладающего сопротивлением материала примем континуум, содержащий в каждом кубическом сантиметре я свободно переме щающихся частиц с массой m и зарядом е. Вследствие электрической нейтральности континуум имеет плотность заряда — пе. Кроме того, по отношению к движущейся частице со стороны континуума дейст вует тормозящая сила — /nBv. Такая модель приблизительно соот ветствует электролиту. Ранее Друде пытался использовать эту мо
дель и |
для описания металлов. |
|
|
|
Под влиянием напряженности поля Е, действующего в направ |
лении х, частица приобретает скорость |
|
|
|
v = |
—е |
E. |
|
|
|
mp |
|
|
Эта |
скорость обусловливает |
плотность тока j=env, |
следова |
тельно, |
|
|
|
|
/= ^ £ -
Таким образом, удельное сопротивление нашей субстанции рав но mB/ne2 . Сопротивление R проволоки длиной I и поперечным се чением q определяется из выражения
lm&
Я = у — . (85.8) qn е2
1 Callen Н. В., Welton Т. А. — «Phys. Rev.», 1951, v. 83, p. 34.
Если это сопротивление имеет температуру Т, то согласно закону равнораспределения для х-компоненты v скорости v должно выполняться:
— |
kT |
|
|
|
к2 = |
пг . |
|
|
(85.9) |
Следовательно, помимо трения |
со стороны |
континуума |
должны |
действовать еще такие нерегулярные |
силы mA(t), |
чтобы несмотря на |
трение на основании уравнения v+$v=A(t) |
оставалось неизменным |
именно это значение t>2. Поэтому можно |
непосредственно |
использо |
вать |
старые |
результаты |
(в |
частности, |
§ 81) для броуновского дви |
жения. Для |
дальнейшего изложения потребуется из этих результа |
тов |
только |
корреляционное |
уравнение |
(81.5) |
для |
v(t) |
|
|
|
|
|
v (t) v (t - f т) = |
о 2 |
е _ р |
1 т |
I |
|
|
|
и |
связанное |
с ним и |
описанное в |
§ |
83 |
спектральное разложение |
t ) 2 |
= |
j v2w |
dco. Согласно |
|
(83.5) |
в |
общем |
случае справедливо |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ° ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
»и = |
— j" v (t) v (t -4- т) cos ах |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение интегрирования |
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
~ |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°> |
я |
|
р2 + |
со2 |
' |
|
|
|
|
а |
при использовании уравнения |
(85.9) |
также |
|
|
|
|
|
Теперь |
рассмотрим |
|
проволоку |
(длиной |
/ и |
поперечным |
сечени |
ем q). В ней в общей сложности содержится |
N—nqLnacTmx |
опи |
санного вида. Если Vj представляет собой |
скорость частицы j , то |
для |
мгновенного тока |
/ |
можно |
записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
этом предполагается, |
что ток / постоянен |
вдоль проволоки |
и частицы практически равномерно распределены по проволоке. За
метному отклонению от |
данного положения будут |
препятствовать |
связанные с ним соответствующие пространственные |
заряды. Для |
подтверждения-уравнения |
(85.11) достаточно тогда замечания о том, |
что из выражения (85.11) |
среднее по времени значение будет равно: |
J |
Ne |
|
— —— v = qnev. |
|
Отделяя это среднее значение, вместо (85.11), как и должно быть, можно записать:
е |
V I |
/ |
- \ |
Ne |
- |
(85.12) |
J = — |
^ |
( » / - » ) + |
— |
v- |
. /
Второе слагаемое отлично от нуля только при наличии напря жения U; оно в таком случае равно U/R. Следовательно, мы получи ли расчленение
J — J т е р м - j - ,
сформулированное из общих соображений в уравнении |
(85.1). При |
этом для /терм справедливо следующее частное значение: |
Jтерм ! |
|
/=1 |
|
Таким образом, фиктивное напряжение V=RJTevK, |
введенное |
в уравнении (85.2), равно: |
|
1=1
Величины (Vj—v) имеют изотропное распределение Максвелла. Следовательно, можно опустить величину v и ограничиться стати стической характеристикой
|
|
/=1 |
где Vj = |
Q. |
Ввиду статистической независимости отдельных Vj спра |
ведливо |
S |
t / j t » A « 0 , в связи с чем |
|
l+k |
N |
|
|
|
|
pi |
Теперь в обеих частях уравнения можем перейти к среднему по времени и к спектральному разложению. Разложение для Vj(t) при любом / имеет значение, определяемое уравнением (85.10). Поэтому
у2 = |
|
2 |
kT |
1 |
|
n2 1 - N — |
|
|
|
а |
/ 2 |
Я |
/7?Р |
/_Ш |
|
|
|
|
|
\ Р |
|
Однако, так как N=qln, |
имеем l2m&/e2N=R, |
в силу чего |
|
Vl = |
4-kTR |
1 — , |
(85.13) |
Н " р Г
Таким образом, для частот, малых по сравнению с обратной ве личиной времени торможения, получим полную согласованность с формулой Найквиста (85.4). Если же со имеет величину порядка 6, то из нашей модели это уравнение не может следовать, так как в этом случае не выполняется условие о наличии чистого омического
сопротивления, |
что предполагалось |
при |
выводе |
уравнения (85.4). |
|
|
|
• |
о |
е |
|
|
|
Действительно, |
из уравнения |
движения v-{-pv= |
—- Е при Е и v, про- |
|
|
|
|
|
т |
|
|
порциональных |
e i a t , следует |
(г'со+6)и= |
— Е . |
|
Связь |
между |
Е и |
j=nev имеет тогда вид: |
пеа (р + to) |
|
|
|
|
|
|
Е = |
/ . |
|
|
|
|
Вместо омического сопротивления R данная модель имеет пол |
ное сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (со) = R + |
iR |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
Поэтому при такой модели только в случае |
ы<Сб |
можно |
вооб- |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
ще ожидать выполнения соотношения |
Va |
= — |
kTR. |
|
|
86. ДРОБОВОЙ ЭФФЕКТ
Разработанные выше математические методы рассмотрения ста
|
|
|
|
|
|
|
тистической функции |
позволяют |
нам проанализировать |
флуктуации |
тока, |
известные |
под |
названием |
дробного эффекта. Если диод |
за- |
1 сек |
испускает |
с нити накала |
п электронов, то возникает ток |
со |
средним значением J — ne. Предположим, что отдельные |
электроны |
вылетают статистически независимо друг от друга. Кроме того, при
нимаем время пролета электронов бесконечно малым. В |
этом слу |
чае ток I(t) будет иметь |
весьма |
нерегулярные флуктуации. Нас ин |
тересует статистическая функция |
|
|
|
/' (f) = |
J ( t ) - l . |
|
Используя величину |
образуем последовательно |
введенные |
выше в § 78, 81 и 83 параметры |
|
|
Если v означает число электронов, вылетающих за время от t до г+т , то
j J' (0 dt = е (v — пх)
j J' (t)dtj |
= e2 (v — n%y. |
Теперь v = nx. Для флуктуации справедлива основная формула статистики независимых событий
(v — я т ) 2 = пх. Таким образом, имеем просто
т
Поэтому в соответствии с (81.3) для Ф(т) справедливо
j Ф (т) dx = ej.
—оо
Однако в нашей модели значения / ' в моменты времени t и г + т статистически не связаны между собой. Следовательно, Ф(т) долж на иметь вид б-функции:
Ф (т) = е J б (т).
(Ведь \ 6(x)dx=l.) Но согласно уравнению (83.5) мы имеем спек тральное разложение
или в v-шкале
Это и будет полученная впервые Шоттки формула дробового эффекта.
Производились неоднократные попытки связать этот результат с рассмотренным выше током / шума сопротивления. Согласно уравниям (85.2) и (85.4) справедливо:
|
(4)терм^ = |
4 ~ |
^ . |
(86.2) |
Вначале кажется, |
что флуктуации, |
описываемые |
уравнениями |
(86.1) и (86.2), имеют |
совершенно |
различное происхождение. Одна |
ко их общей основой является атомистическая природа электриче
ства. Эта |
природа проявляется |
в уравнении (86.1) |
непосредственно |
в виде |
элементарного |
заряда, |
в то время |
как уравнение (86.2) по |
лучено |
в |
результате |
того, что |
отдельные |
носители |
зарядов подвер |
гались термическим возбуждениям Такая параллель детально рас сматривается, например, Фюртом1 .
1 Furth R. — «Ргос. Roy. Soc.» (London), Ser. A, 1948, v. 192, p. 593.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
87. НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ И ВОЗРАСТАНИЕ ЭНТРОПИИ
Положения классической термодинамики относятся к та ким процессам, которые протекают обратимо. Значение такого ограничения мы обсудили в § 6, рассматривая цикл Карно. Обратимы лишь те процессы, которые про исходят «бесконечно медленно». Любой реальный, т. е. протекающий с конечной скоростью, процесс неизбежно является необратимым. Так, например, перенос тепла от А к В возможен лишь в том случае, если А более на грето, чем В. Поршень, разделяющий две массы газа, движется лишь в том случае, если давление на обеих его сторонах различно. В обоих случаях протекающий в действительности процесс связан с увеличением эн тропии.
Получается своеобразная ситуация, когда термодина мика говорит только об обратимых процессах, при кото рых энтропия в любой изолированной системе остается постоянной, в то время как любой реально протекающий процесс связан с увеличением энтропии.
Для проблем, рассматриваемых в данном разделе, характерен специфический способ трактовки. Известно, что необратимый процесс всегда связан с увеличением энтропии, следовательно, оба феномена всегда встреча ются одновременно. Если сказать, что один из феноменов является причиной другого, то такое утверждение не вне сет ничего нового с физической точки зрения. Однако оно позволяет более точно и полно сформулировать соответ ствующие закономерности. В этом смысле можно в дан ном случае сказать, что либо «энтропия увеличивается от того, что происходит необратимый процесс», либо «не обратимый процесс имеет место потому, что он связан с увеличением энтропии». На начальных этапах разви тия теории теплоты предпочиталась первая формулиров ка. В последнее время более плодотворной оказалась вторая формулировка. Согласно этой формулировке тен денция энтропии к возрастанию рассматривается как «причина» необратимости процесса. Можно говорить о «силе», приводящей в действие этот процесс. При та ком подходе ожидаем, что процесс будет протекать тем быстрее, чем больше связанное с ним увеличение энтро-
пии. Так приходим к предположению о наличии связи
между увеличением энтропии и скоростью |
процесса. |
|
Если а — интересующая нас |
величина |
(примеры |
бу |
дут приведены ниже) и энтропия |
S = S(a) |
известна |
как |
функция а, то с изменением а во времени связано изме нение энтропии:
S |
= а — . |
(87.1) |
|
да |
к |
|
Интерпретируем это уравнение таким образом, |
что |
рассматриваем OS/да как силу, вызывающую |
измене |
ние а. При термическом |
равновесии dS/da = 0. |
Для |
не |
очень больших отклонений от равновесия ожидаем про порциональности
где С вначале неизвестный, независимый от а и заведомо положительный множитель. Если, в частности, а0 — рав новесное значение а, то в точке а0 S должно быть мак симальным, т. е. (dS/da)ao~0; (d2S/da2)ao-<0. Следова тельно, если а лежит вблизи а0, то из уравнения (87.2) следует
\ да2 ;а0 |
|
с положительным С и отрицательным |
(d2S/da2)ao. |
В механике материальной точки потенциальной энер гии (р(х) соответствует сила — ду(х)/дх. При интерпре тации выражения dS/da как силы проводим аналогию между энтропией (в теории теплоты) и отрицательной потенциальной энергией (в механике). Перенос данной аналогии на уравнение движения (87.1) сначала не уда ется ввиду фундаментальной разницы между принципи ально обратимыми процессами чистой механики точки и необратимыми термическими процессами; согласно (87.2) из выражения dS/da определяется скорость а, а из
выражения — дц>/дх, ускорение х. Пропорциональность между силой и скоростью возникает в механике в том случае, если материальная точка движется при таком сильном сопротивлении трения, что в уравнении движе ния m(v -f- 8t>) = — — инерционный член mv становится
дх
пренебрежимо малым по сравнению с вязкостным чле-
ном m$v. На первом из последующих примеров убедим ся, что при таком ограничении с помощью условия а —
=С хорошо описывается также чисто механический
да
процесс.
При каждом применении уравнений (87.1) и (87.2) следует обязательно учитывать, что принцип возраста ния энтропии справедлив только для изолированной си стемы. Дл я таковой, в частности, общая энергия, общий объем и общее число частиц являются строго заданны ми величинами. Рассмотрим теперь некоторые простые примеры уравнения (87.2).
а) Упруго |
связанная материальная точка |
в вязкой |
среде |
Пусть материальная точка может двигаться только в на
правлении х, а |
ее отклонение от равновесного |
положе |
ния д: = 0 определяется связью с потенциальной |
энергией |
Ф = — хх2 .Она |
окружена средой, энтропия S = S(U, V) |
которой известна. Отклонение х представляет собой пер
вый пример величины а, введенной в уравнениях |
(87.1) |
и (87.2). Если теперь |
U0 — заданная энергия всей |
систе |
мы, то при отклонении х энергия среды равна |
U=U0— |
—ф(х), а зависящая от х энтропия всей системы |
|
S(x) = |
S(U0-<p(x),V). |
|
Предположим, что ф(х)<С(Уп. Тогда можно произве сти разложение в ряд по Ф ( Х ) . Следовательно, в связи с общей зависимостью dS/dU =\/Т будут иметь место соотношения
S(x) |
= S 0 - |
— |
ф(х) и |
— = |
|
(87.4) |
' |
|
Т т |
' |
дх |
Т дх |
' |
Итак, наше |
уравнение |
(87.2) |
в виде х — С |
идентично |
выражению х = |
р- |
Используя |
упругую |
силу — кх |
и «подвижность» В —С/Т, получим х — —Вхх. Отсюда следует x(t) =лг0 ехр (—Bxt) для асимптотического при ближения к равновесному положению.