Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
15.46 Mб
Скачать

Тогда получается следующая схема применения уравнения Найквиста: сопротивление, поддерживаемое при температуре Т, за­

мыкается

с помощью ряда

коммутационных элементов

 

(символизи­

 

 

 

 

 

 

 

рованных ящиком У) (рис. 119).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ящик У не должен содержать дисси-

 

 

 

 

 

 

 

пативных элементов и, в частности, ника­

 

 

 

 

 

 

 

кого омического сопротивления. Тогда име­

 

 

 

:J-

 

 

 

ем два уравнения для напряжения U, уста­

 

 

 

 

 

 

навливающегося

на

концах

R,

а

именно,

 

 

 

 

 

 

 

во-первых, падение напряжения, обуслов­

 

 

 

 

 

 

 

ленное

нетермическими

элементами

У,

и,

Рис.

119.

К

формуле

во-вторых,

уравнение

(85.2).

 

 

 

 

 

 

Д л я синусодиального

тока

(все

пара­

Найквиста с обобщен­

 

метры

пропорциональны

ei<ot)

при

обычном

ным

сопротивлением

комплексном способе записи первое из этих

в термостате

и

ком­

мутационным

элемен­

уравнений

имеет

вид

U =

iY(a)J

 

с

дейст­

том

 

У,

не

дающим

вительным

значением

У (со) (в

ящике ведь

потерь. Полное

сопро­

отсутствует омическое сопротивление). Ес­

тивление

цепи

 

Z —

ли, например, У представляет собой после­

R—iY.

 

 

 

 

довательное

соединение

индуктивности

L

 

 

 

 

 

 

 

и емкости

С,

то

справедливо,

в

частности:

 

 

 

 

 

 

 

Y (со) =

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(85.5)

 

 

 

 

 

 

 

coZ. — —— .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При более общем характере изменения тока можно всегда опи­

сать /

с помощью интеграла

Фурье:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J {t)

=

\ j

(со) еtat

da,

j (—со) =

/* (со).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У 2 я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

первое

уравнение

для

U

гласит:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (/)= — Г iY

(со) / (со) е

ш

da.

 

 

 

 

В

качестве

 

второго

уравнения для тока / используется уравне­

ние

(85.2). Если

и для V записать интеграл Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V(ty-

 

1

 

с (а)е

da,

 

 

 

 

 

 

 

V2n

то два последних уравнения после исключения U дают: [R — iTco]/(co) = с(со).

В результате имеем (см. § 83) спектральное распределение тока

/2 _

и

\R— iY (со)|2

450

В технике комплексную величину

Z (со) = R iY (со)

называют полным сопротивлением контура. Согласно (85.4) полу­ чаем:

Ada

=

kT -^—da

(85.6)

м

 

я

 

\Zf

 

'

2/гГ

Г

Я

,

 

Л

=

 

 

— - д - щ

85.7)

 

 

я

J

|ZI 2

 

'

 

 

 

о

 

 

 

Если сюда подставить

для

У(со)

его

частное значение

(85.5), то

интеграл можно легко вычислить, используя тождество (83.12). По­

лучаем

в результате,

что

как средняя энергия — LI2 индуктивно-

 

1

Q2

1

сти, так

и энергия —

емкости имеют правильное значение ~~^kT

Вчастности, имеем:

 

 

J

2 :

2kT

Г

 

Rda

 

 

 

 

 

 

я

,)

(

 

1

\ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

2kT

С

 

 

Rda

 

 

 

 

 

")2 _

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

о

coa ba +fcoL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L VUAj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

соС

 

 

 

 

Используя

в

качестве переменной

интегрирования

величину s=

= 1/со, получаем:

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kT

Г

 

Rds

 

 

 

 

 

 

 

 

я

,}

I

L

s

\ 2

 

 

 

Следовательно, значение Q2 получается из

значения

/ 2 путем

перемены мест L и 1/С. Входящий

в

выражение для Р

интеграл

можно привести

к виду

(83.12). Имеем,

в частности:

 

 

-

 

2kT R

}

~

 

«2^й>

 

 

 

 

/ 2

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

L 3

J

R2 2

. . / .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

L

 

 

Согласно

(83.12)

интеграл

имеет

значение —

—-

, следователь-

но, остается J2=kT/L

и тем самым

Q2=kTC.

 

 

 

 

29*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

451

'2

2

 

При переходе к v-шкале (co = 2nv; Jw

d w = / v d\),

часто

предпочитаемой на практике, уравнение (85.6) можно представить

ввиде

jldv^ikT-^-dv.

(85.6а)

б) Простая модель шума сопротивления

Д л я получения формулы Найквиста мы исходили выше из осцилля­ тора, находящегося между пластинами конденсатора, рассчитывая затухание его колебаний благодаря сопротивлению, на которое замкнуты пластины. О физической природе сопротивления при этом совершенно не говорилось. Оно характеризовалось только омическим сопротивлением R и могло представлять собой как электролит, так и металл. Хотя введение в рассмотрение осциллятора вполне оправ­ дано, однако оно может выглядеть как некое искусственное вспомо­

гательное

средство.

С

другой стороны, хотелось

бы

понять,

как

в результате

температурных

движений

в

пределах

сопротивления

возникает

ток

/ т е р м ,

описываемый уравнениями (85.2) и (85.4). По­

добное обоснование

формулы

Найквиста

в довольно

общем

виде

было

дано

Колленом

и

Уэлтоном 1 с использованием

аппарата кван­

товой

теории.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ниже

вместо этого

будет

сделана

попытка обосновать назван­

ную формулу с помощью простой классической модели. В качестве модели обладающего сопротивлением материала примем континуум, содержащий в каждом кубическом сантиметре я свободно переме­ щающихся частиц с массой m и зарядом е. Вследствие электрической нейтральности континуум имеет плотность заряда — пе. Кроме того, по отношению к движущейся частице со стороны континуума дейст­ вует тормозящая сила — /nBv. Такая модель приблизительно соот­ ветствует электролиту. Ранее Друде пытался использовать эту мо­

дель и

для описания металлов.

 

 

 

Под влиянием напряженности поля Е, действующего в направ­

лении х, частица приобретает скорость

 

 

 

v =

е

E.

 

 

 

mp

 

 

Эта

скорость обусловливает

плотность тока j=env,

следова­

тельно,

 

 

 

 

/= ^ £ -

Таким образом, удельное сопротивление нашей субстанции рав­ но mB/ne2 . Сопротивление R проволоки длиной I и поперечным се­ чением q определяется из выражения

lm&

Я = у — . (85.8) qn е2

1 Callen Н. В., Welton Т. А. — «Phys. Rev.», 1951, v. 83, p. 34.

452

Если это сопротивление имеет температуру Т, то согласно закону равнораспределения для х-компоненты v скорости v должно выполняться:

kT

 

 

 

к2 =

пг .

 

 

(85.9)

Следовательно, помимо трения

со стороны

континуума

должны

действовать еще такие нерегулярные

силы mA(t),

чтобы несмотря на

трение на основании уравнения v+$v=A(t)

оставалось неизменным

именно это значение t>2. Поэтому можно

непосредственно

использо­

вать

старые

результаты

частности,

§ 81) для броуновского дви­

жения. Для

дальнейшего изложения потребуется из этих результа­

тов

только

корреляционное

уравнение

(81.5)

для

v(t)

 

 

 

 

 

v (t) v (t - f т) =

о 2

е _ р

1 т

I

 

 

 

и

связанное

с ним и

описанное в

§

83

спектральное разложение

t ) 2

=

j v2w

dco. Согласно

 

(83.5)

в

общем

случае справедливо

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + ° °

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»и =

j" v (t) v (t -4- т) cos ах

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

— оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение интегрирования

дает:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

~

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°>

я

 

р2 +

со2

'

 

 

 

 

а

при использовании уравнения

(85.9)

также

 

 

 

 

 

Теперь

рассмотрим

 

проволоку

(длиной

/ и

поперечным

сечени­

ем q). В ней в общей сложности содержится

N—nqLnacTmx

опи­

санного вида. Если Vj представляет собой

скорость частицы j , то

для

мгновенного тока

/

можно

записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

При

этом предполагается,

что ток / постоянен

вдоль проволоки

и частицы практически равномерно распределены по проволоке. За­

метному отклонению от

данного положения будут

препятствовать

связанные с ним соответствующие пространственные

заряды. Для

подтверждения-уравнения

(85.11) достаточно тогда замечания о том,

что из выражения (85.11)

среднее по времени значение будет равно:

J

Ne

 

—— v = qnev.

 

29а—480

453

Отделяя это среднее значение, вместо (85.11), как и должно быть, можно записать:

е

V I

/

- \

Ne

-

(85.12)

J = —

^

( » / - » ) +

v-

. /

Второе слагаемое отлично от нуля только при наличии напря­ жения U; оно в таком случае равно U/R. Следовательно, мы получи­ ли расчленение

J — J т е р м - j - ,

сформулированное из общих соображений в уравнении

(85.1). При

этом для /терм справедливо следующее частное значение:

Jтерм !

 

/=1

 

Таким образом, фиктивное напряжение V=RJTevK,

введенное

в уравнении (85.2), равно:

 

1=1

Величины (Vj—v) имеют изотропное распределение Максвелла. Следовательно, можно опустить величину v и ограничиться стати­ стической характеристикой

 

 

/=1

где Vj =

Q.

Ввиду статистической независимости отдельных Vj спра­

ведливо

S

t / j t » A « 0 , в связи с чем

 

l+k

N

 

 

 

 

pi

Теперь в обеих частях уравнения можем перейти к среднему по времени и к спектральному разложению. Разложение для Vj(t) при любом / имеет значение, определяемое уравнением (85.10). Поэтому

у2 =

 

2

kT

1

 

n2 1 - N

 

 

 

а

/ 2

Я

/7?Р

/_Ш

 

 

 

 

 

\ Р

 

Однако, так как N=qln,

имеем l2m&/e2N=R,

в силу чего

 

Vl =

4-kTR

1 — ,

(85.13)

Н " р Г

454

Таким образом, для частот, малых по сравнению с обратной ве­ личиной времени торможения, получим полную согласованность с формулой Найквиста (85.4). Если же со имеет величину порядка 6, то из нашей модели это уравнение не может следовать, так как в этом случае не выполняется условие о наличии чистого омического

сопротивления,

что предполагалось

при

выводе

уравнения (85.4).

 

 

 

о

е

 

 

 

Действительно,

из уравнения

движения v-{-pv=

—- Е при Е и v, про-

 

 

 

 

 

т

 

 

порциональных

e i a t , следует

(г'со+6)и=

Е .

 

Связь

между

Е и

j=nev имеет тогда вид:

пеа (р + to)

 

 

 

 

 

 

Е =

/ .

 

 

 

 

Вместо омического сопротивления R данная модель имеет пол­

ное сопротивление

 

 

 

 

 

 

 

 

Z (со) = R +

iR

.

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

Поэтому при такой модели только в случае

ы<Сб

можно

вооб-

 

 

 

2

2

 

 

 

 

ще ожидать выполнения соотношения

Va

= —

kTR.

 

 

86. ДРОБОВОЙ ЭФФЕКТ

Разработанные выше математические методы рассмотрения ста­

тистической функции

позволяют

нам проанализировать

флуктуации

тока,

известные

под

названием

дробного эффекта. Если диод

за-

1 сек

испускает

с нити накала

п электронов, то возникает ток

со

средним значением J — ne. Предположим, что отдельные

электроны

вылетают статистически независимо друг от друга. Кроме того, при­

нимаем время пролета электронов бесконечно малым. В

этом слу­

чае ток I(t) будет иметь

весьма

нерегулярные флуктуации. Нас ин­

тересует статистическая функция

 

 

 

/' (f) =

J ( t ) - l .

 

Используя величину

образуем последовательно

введенные

выше в § 78, 81 и 83 параметры

 

 

Если v означает число электронов, вылетающих за время от t до г+т , то

j J' (0 dt = е (v — пх)

29а

455

j J' (t)dtj

= e2 (v — n%y.

Теперь v = nx. Для флуктуации справедлива основная формула статистики независимых событий

(v — я т ) 2 = пх. Таким образом, имеем просто

т

Поэтому в соответствии с (81.3) для Ф(т) справедливо

j Ф (т) dx = ej.

—оо

Однако в нашей модели значения / ' в моменты времени t и г + т статистически не связаны между собой. Следовательно, Ф(т) долж­ на иметь вид б-функции:

Ф (т) = е J б (т).

(Ведь \ 6(x)dx=l.) Но согласно уравнению (83.5) мы имеем спек­ тральное разложение

или в v-шкале

j'Jdv

= 2eJ dv.

(86.1)

Это и будет полученная впервые Шоттки формула дробового эффекта.

Производились неоднократные попытки связать этот результат с рассмотренным выше током / шума сопротивления. Согласно уравниям (85.2) и (85.4) справедливо:

 

(4)терм^ =

4 ~

^ .

(86.2)

Вначале кажется,

что флуктуации,

описываемые

уравнениями

(86.1) и (86.2), имеют

совершенно

различное происхождение. Одна­

ко их общей основой является атомистическая природа электриче­

ства. Эта

природа проявляется

в уравнении (86.1)

непосредственно

в виде

элементарного

заряда,

в то время

как уравнение (86.2) по­

лучено

в

результате

того, что

отдельные

носители

зарядов подвер­

гались термическим возбуждениям Такая параллель детально рас­ сматривается, например, Фюртом1 .

1 Furth R. — «Ргос. Roy. Soc.» (London), Ser. A, 1948, v. 192, p. 593.

456

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

87. НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ И ВОЗРАСТАНИЕ ЭНТРОПИИ

Положения классической термодинамики относятся к та­ ким процессам, которые протекают обратимо. Значение такого ограничения мы обсудили в § 6, рассматривая цикл Карно. Обратимы лишь те процессы, которые про­ исходят «бесконечно медленно». Любой реальный, т. е. протекающий с конечной скоростью, процесс неизбежно является необратимым. Так, например, перенос тепла от А к В возможен лишь в том случае, если А более на­ грето, чем В. Поршень, разделяющий две массы газа, движется лишь в том случае, если давление на обеих его сторонах различно. В обоих случаях протекающий в действительности процесс связан с увеличением эн­ тропии.

Получается своеобразная ситуация, когда термодина­ мика говорит только об обратимых процессах, при кото­ рых энтропия в любой изолированной системе остается постоянной, в то время как любой реально протекающий процесс связан с увеличением энтропии.

Для проблем, рассматриваемых в данном разделе, характерен специфический способ трактовки. Известно, что необратимый процесс всегда связан с увеличением энтропии, следовательно, оба феномена всегда встреча­ ются одновременно. Если сказать, что один из феноменов является причиной другого, то такое утверждение не вне­ сет ничего нового с физической точки зрения. Однако оно позволяет более точно и полно сформулировать соответ­ ствующие закономерности. В этом смысле можно в дан­ ном случае сказать, что либо «энтропия увеличивается от того, что происходит необратимый процесс», либо «не­ обратимый процесс имеет место потому, что он связан с увеличением энтропии». На начальных этапах разви­ тия теории теплоты предпочиталась первая формулиров­ ка. В последнее время более плодотворной оказалась вторая формулировка. Согласно этой формулировке тен­ денция энтропии к возрастанию рассматривается как «причина» необратимости процесса. Можно говорить о «силе», приводящей в действие этот процесс. При та­ ком подходе ожидаем, что процесс будет протекать тем быстрее, чем больше связанное с ним увеличение энтро-

457

пии. Так приходим к предположению о наличии связи

между увеличением энтропии и скоростью

процесса.

 

Если а — интересующая нас

величина

(примеры

бу­

дут приведены ниже) и энтропия

S = S(a)

известна

как

функция а, то с изменением а во времени связано изме­ нение энтропии:

S

= а — .

(87.1)

 

да

к

 

Интерпретируем это уравнение таким образом,

что

рассматриваем OS/да как силу, вызывающую

измене­

ние а. При термическом

равновесии dS/da = 0.

Для

не

очень больших отклонений от равновесия ожидаем про­ порциональности

а = С — ,

(87.2)

да

 

где С вначале неизвестный, независимый от а и заведомо положительный множитель. Если, в частности, а0 — рав­ новесное значение а, то в точке а0 S должно быть мак­ симальным, т. е. (dS/da)ao~0; (d2S/da2)ao-<0. Следова­ тельно, если а лежит вблизи а0, то из уравнения (87.2) следует

\ да2 0

 

с положительным С и отрицательным

(d2S/da2)ao.

В механике материальной точки потенциальной энер­ гии (р(х) соответствует сила — ду(х)/дх. При интерпре­ тации выражения dS/da как силы проводим аналогию между энтропией (в теории теплоты) и отрицательной потенциальной энергией (в механике). Перенос данной аналогии на уравнение движения (87.1) сначала не уда­ ется ввиду фундаментальной разницы между принципи­ ально обратимыми процессами чистой механики точки и необратимыми термическими процессами; согласно (87.2) из выражения dS/da определяется скорость а, а из

выражения — дц>/дх, ускорение х. Пропорциональность между силой и скоростью возникает в механике в том случае, если материальная точка движется при таком сильном сопротивлении трения, что в уравнении движе­ ния m(v -f- 8t>) = — — инерционный член mv становится

дх

пренебрежимо малым по сравнению с вязкостным чле-

458

ном m$v. На первом из последующих примеров убедим­ ся, что при таком ограничении с помощью условия а —

хорошо описывается также чисто механический

да

процесс.

При каждом применении уравнений (87.1) и (87.2) следует обязательно учитывать, что принцип возраста­ ния энтропии справедлив только для изолированной си­ стемы. Дл я таковой, в частности, общая энергия, общий объем и общее число частиц являются строго заданны­ ми величинами. Рассмотрим теперь некоторые простые примеры уравнения (87.2).

а) Упруго

связанная материальная точка

в вязкой

среде

Пусть материальная точка может двигаться только в на­

правлении х, а

ее отклонение от равновесного

положе­

ния д: = 0 определяется связью с потенциальной

энергией

Ф = — хх2 .Она

окружена средой, энтропия S = S(U, V)

которой известна. Отклонение х представляет собой пер­

вый пример величины а, введенной в уравнениях

(87.1)

и (87.2). Если теперь

U0 — заданная энергия всей

систе­

мы, то при отклонении х энергия среды равна

U=U0

—ф(х), а зависящая от х энтропия всей системы

 

S(x) =

S(U0-<p(x),V).

 

Предположим, что ф(х)<С(Уп. Тогда можно произве­ сти разложение в ряд по Ф ( Х ) . Следовательно, в связи с общей зависимостью dS/dU =\/Т будут иметь место соотношения

S(x)

= S 0 -

ф(х) и

— =

 

(87.4)

'

 

Т т

'

дх

Т дх

'

Итак, наше

уравнение

(87.2)

в виде х С

идентично

выражению х =

р-

Используя

упругую

силу — кх

и «подвижность» В С/Т, получим х — —Вхх. Отсюда следует x(t) =лг0 ехр (—Bxt) для асимптотического при­ ближения к равновесному положению.

459

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ