же |
если |
и очень |
большого |
времени f>, следовательно, |
A(t') |
= 0 при ^ < 0 |
и ^>f> (в окончательных |
формулах пе |
рейдем к |
пределу lim -fM-oo). |
Представим |
A(t) |
в виде |
интеграла |
Фурье: |
|
|
|
|
|
А (0 = |
Г |
С (со) е ш dw; |
С (—со) == С* (со), |
(83.1) |
|
|
V2n J |
|
|
|
|
|
|
-X) |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
J" Л2 (/) dt — j |
| С (со) | 2 da. |
|
(83.2) |
Деление на введенное выше время f> дает среднее во времени A2(t):
— 00
Так как |
| С (со) J2 |
симметрично по со, то можно |
запи |
сать |
|
|
|
|
со |
|
|
АЩ = |
f Al cb, |
где Al = Игл (-J- \С (co)|2j . |
(83.3) |
о
Уравнение (83.3) определяет спектральное разложе
ние величины Л2 .
В уравнении (81.2) было охарактеризовано статисти
ческое поведение |
функции |
A(t) |
с помощью корреляции |
|
|
|
Ф(т) =A(t)A(t |
+ x), |
|
|
где усреднение |
|
по t |
следует |
проводить |
при постоян |
ном т. Найдем |
связь |
между Ф(т) и спектральным |
рас |
пределением Л 2 |
, заданным |
уравнением (83.3). Она |
сле |
дует непосредственно |
из |
(83.1): |
|
|
|
J A{t)A{t |
+ x)dt |
= ~ |
^ |
\ |
c |
(со) С* (со') e'( M -w ') ' |
е~Шхх |
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
dt |
dwd(o'. |
|
|
|
|
|
|
|
--J- со |
|
|
|
В связи |
с тем |
что — |
Г е _ г ( а ~а , ) ' dt = |
б (со — со'), |
—00
после деления на f> (и в пределе f M - o o ) имеем:
Ф(т) = j Al cos an da. |
(83.4) |
0
(Как и следует ожидать, для т = 0 получаем Ф(0) = Л 2 =
=Й
о
Наоборот, из (83.4) получим: |
|
|
А\ = |
- 1 j Ф (г) cos andx. |
(83.5) |
Корреляция Ф(т) |
и спектральное |
распределение Л 2 |
согласно уравнениям |
(83.4) и (83.5) |
связаны |
между со |
бой при помощи преобразования Фурье!
Такую трактовку используем прежде всего для ново
го рассмотрения уравнения |
|
v + 6У = Л (0 |
(83.6) |
со статистической функцией A(t). Если для A(t) вы брать представление в виде интеграла Фурье (83.1), то для v(t) сразу последует:
2я J В + ко
Спектральное разложение v согласно схеме (83.4):
о
следовательно,
|
4 2 |
|
|
У 2 = |
О) |
(83.7) |
^ - . |
Ю |
62 + СО2 |
4 |
' |
Мы сделаем еще один шаг вперед, если используем связь (83.4) между корреляцией и спектральным разло жением. Для v(t) согласно (81.5) будет справедливо
v{t)v(t + x) = v*e-*m .
Отсюда в соответствии с (83.5) получим:
_ +~
v\ |
= — Г e-PW COSCUTCTT= — о5 |
_ _ Ё — . |
(83.8) |
м |
я ,] |
я В2 |
+ ©2 |
' |
Следовательно, |
при v2 |
= kT/in для A(i) |
имеем спект |
ральное разложение |
|
|
|
|
|
|
|
Л;! - |
|
кТ-\). |
|
|
(83.9) |
|
|
'" |
и |
111 |
|
|
|
Плодотворность такого описания будет в дальнейшем |
проявляться |
неоднократно. Вначале смущает |
то, что по |
уравнению |
(83.9) |
вообще |
не зависит |
от со. Ибо из |
этого следовало бы, что A2— j A2wda |
стало бы бесконечно |
большим. Отсюда |
можно |
сделать |
вывод, что |
исходное |
уравнение (83.6) имеет лишь ограниченную примени мость. От закона — ро для силы трения с постоянным р нужно отказаться, если частота со возбуждающей силы неограниченно растет. Поэтому уравнение (83.9) спра ведливо лишь до некоторой максимальной частоты, уста новление которой возможно только путем более деталь ного исследования атомарной модели, лежащей в осно
|
|
|
|
|
|
ве уравнения (83.6). Формально |
это обстоятельство |
учитывается |
тем, что |
постоянная |
р в уравнении (83.9) |
заменяется |
функцией |
р = р(со). С частными |
примерами |
такого рода встретимся |
позднее. |
|
|
У п р у г о |
с в я з а н н а я |
ч а с т и ц а . |
Рассмотрим |
влияние опи |
санной подобным образом силы на упруго связанную частицу. Кро
ме трения — fix должна еще действовать |
иетермическая |
сила — а>2х, |
которая |
стремится |
возвратить |
частицу |
в |
положение |
равновесия |
х = 0. Тогда в качестве уравнения движения имеем: |
|
|
|
|
x + fix + |
()>lx = A(t). |
|
|
|
(83.10) |
Это |
уравнение |
охватывает |
два |
важных |
предельных |
случая: |
при отсутствии «термической» силы в случае |
со2 > р 2 / 4 уравнение |
(83.10) |
описывает |
затухающее |
колебание |
с |
круговой |
частотой |
|
|
|
п2 |
i |
l |
|
|
|
|
22
ав случае ( о 0 < 6 / 4 — апериодически затухающее движение с по
стоянными затухания
Вначале не будем рассматривать частные случаи и рассчитаем из уравнения (83.10) среднее значение mv2 удвоенной кинетической энергии, когда A(t) задано с помощью выражений (83.1) —(83.3).
Используя |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (t) = |
— |
— |
Г £ (<о) |
e"°'rfco, |
|
|
|
|
|
^ |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
непосредственно из уравнения |
(83.10) |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
С (со) |
|
|
|
|
|
|
|
S («) = |
|
; |
|
7, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
— оГ + |
|
со„ + |
|
ip*co |
|
|
|
откуда для скорости v=x |
справедливо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
У |
|
|
шС(и)еш |
|
|
|
|
ь (0 = —г=г |
I —; |
; |
|
|
dm. |
|
|
|
V2n |
J с о 2 , - с о 2 |
|
4- /рсо |
|
|
|
В соответствии со схемой, которая привела выше от уравнения |
(83.1) к уравнению (83.3), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
\ vldm, |
r № v l |
= Al— |
|
|
|
— |
, |
(83.11) |
|
4J |
|
|
|
|
К - с о ^ |
+ р 2 |
со |
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
- |
• |
|
|
т. е. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co2dco |
|
|
|
|
|
|
|
" 2 = |
Ли2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'СО |
— |
,.212 |
I |
о2 |
,.2 |
|
|
|
|
|
|
|
COQI + |
р |
СО |
|
|
|
о
При термическом равновесии должно выполняться v2 = kT/m независимо от численных значений coo и 6. С другой стороны, тер мическое ускорение A (t) не имеет ничего общего с упругой связью. Оно не является функцией координаты в пространстве. Вводя в урав нение (83.11) ранее найденное значение (83.9) для J?w, получаем
_ kT_ 2Р р co2dco
т л J ( ^ - щ ^ + р*©'4
о
К счастью, этот интеграл совершенно не зависит от ш0 . Как можно строго показать из элементарного расчета,
|
во |
л |
|
|
co2dco |
(83.12) |
|
с о 2 - с о 2 ) 2 + р 2 с о 2 |
2р |
|
|
|
о |
|
|
|
(для любого значения ш 2 ) . |
|
|
|
Следовательно, статистическое ускорение, |
описанное уравнени |
|
ем (83.9), и в случае упругой связи приводит |
к правильному зна |
|
чению kT/tn для V 2 . |
|
|
При предшествующем статистическом описании A(t) |
с по |
мощью корреляции ( § 8 1 ) |
в уравнении |
(81.4) |
найдено в |
качестве |
условия термического равновесия |
|
|
|
|
со |
|
ЧкТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( т ) Л |
= |
Р . |
|
(83.13) |
|
|
|
|
2 |
|
В то же время зависимость |
(83.5) |
между |
Ф(т) |
и Aw имеет вид: |
(т) dx — ( 4 ) в ^ о -
Таким образом, уравнение (83.13) содержится как частный слу чай в уравнении (83.9). Более того, постоянство Л^, согласно (83.4) свидетельствует о том, что функция Ф(т) при т = 0 должна иметь вид чрезвычайно острого пика. Используя б-функцию Дирака, из уравнения (83.5) получим:
m
Такое поведение функции Ф(т) можно объяснить лишь в том случае, если влияние среды, в которой размещена частица, прояв ляется в виде отдельных резких ударов бесконечно малой продол жительности. Если учесть конечную длительность отдельного удара, мы с неизбежностью придем к корреляционной кривой Ф(т) , кото рая по порядку величины простирается на длительность этих уда ров. Отсюда обратным образом следует порядок величины той ча стоты, при превышении которой A2W вопреки утверждению (83.9) должна стремиться к нулю. Ниже на примере слабо затухающего осциллятора будет более детально исследована зависимость А^ от
84.СЛАБО ДЕМПФИРОВАННЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ЗАТУХАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ЧАСТОТЫ
а) Общие положения
Исходим из уравнения движения
х + $(ы)х + а>1х = АЦ), |
(84.1) |
которое усложнено по сравнению с (83.10) в том отношении, что р
рассматривается как |
функция частоты'. Одновременно в уравне- |
1 Определение Р |
как |
р = Р(со) имеет смысл лишь тогда, когда |
функция x(t) |
может |
быть |
представлена в виде интеграла Фурье х |
= |
= f I (со) е ~ ш |
da). Тогда |
|
|
х + р (со) х + е>1 х = j (— со2 —fop(со) + со2,) | (со) ё ~ ш |
da. |
ние (84.1) должно быть введено ограничение, требующее, чтобы
|
|
< о 2 , » ^ - . |
(84.2) |
По методу предыдущего параграфа представление в виде инте |
грала Фурье |
дает: |
|
|
|
о2 = , А., |
co2<ico |
|
|
и |
( с о 2 - с о 2 ) 2 + со2 Р2 (со) |
|
Разница |
с уравнением |
(83.11) состоит лишь |
в том, что здесь |
следует вводить зависящее, от частоты значение р. Простое преоб разование этого уравнения возможно лишь в случае слабого зату хания. В этом случае в связи с остротой максимума, лежащего вбли зи со = со0 в подынтегральной функции, A2W И р (СО) можно заменить соответственно на A2w<t и Р(соо). Тогда получим
9 Я
( 0 '2fHco0 )
Теперь следует сделать замечание о трении в уравнении движе ния (84.1). В этом уравнении имеем дело не с произвольным ускоре нием A(t) и не с произвольным затуханием р, связанным с трением. В уравнении (84.1) скорее предполагается следующее: исходим из некоторого недемпфированного осциллятора (лг+со2 х=0). Приво дим его при температуре Т в «контакт» с макроскопической средой (например, вязкой жидкостью или же (§ 85) с конденсатором, замк нутым на омическое сопротивление).
Следствием такого контакта является, во-первых, трение, харак
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теризуемое |
коэффициентом |
Р ( м ) |
и, во-вторых, «статистическое» |
ускорение |
A(t). |
Следовательно, как Р(со), |
так и A(t) |
определяются |
наличием |
контакта. Поэтому |
выведенная |
ранее зависимость |
между |
^ щ |
и P(w0 ) должна быть справедливой для любой |
частоты, |
в свя |
зи |
с чем впредь |
можно заменять |
со0 на со. |
|
|
|
В уравнении (84.3) удвоенная кинетическая энергия tnv2 пред ставляет собой одновременно среднюю общую энергию е(Т) осцил лятора, входящего в левую часть уравнения (84.1). Пусть далее уравнение (84.1) относится к заряженной частице с зарядом е, а ускорение A (t) обусловливается х-компонентной Е напряженности
электрического поля Е. Тогда
A(t) = —E(t).
m
Следовательно, при таких обозначениях для спектрального рас пределения напряженности поля имеем:
£ 2 и = е ( Г ) — ^ Р ( ш ) . |
(84.4) |
При этом в области классической |
физики |
|
e(T) = |
kT. |
(84.5) |
Согласно квантовой теории более общим выражением является
1 |
, |
ha |
|
е ( Г , = т |
|
— • |
( 8 4 -6 ) |
При термическом равновесии каждому затуханию Р ( » ) , вызван ному зарядом е, соответствует электрическое поле, характеризуемое спектральным распределением (84.4). Задавая значения & в явном виде для двух частных случаев, из уравнения (84.4) получим извест ные формулы для излучения абсолютного черного тела и шума со противления.
б) Излучение абсолютно черного тела
Пусть осциллятор движется в вакууме. В таком случае единственной причиной затухания является излучение энергии, соответствующее решению Герца уравнений Максвелла. Обусловленное этим излуче нием затухание равно:
|
|
|
|
|
2 |
е2 со2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
т с 3 |
|
|
|
Д л я |
того |
чтобы |
несмотря |
на |
это |
затухание |
осциллятор |
имел |
среднюю |
энергию е, |
согласно уравнению (84.4) должно существо |
вать электрическое поле Е, для которого |
|
|
|
|
|
|
Е" = |
|
4 |
со2 |
|
|
|
|
|
|
р Зя |
С з |
• |
|
|
Для спектральной плотности энергии изотропного излучения аб |
солютно черного тела из соотношения |
|
|
|
|
|
|
И = - ^ - |
|
(Е2 + Н2) |
|
|
|
- |
6 - 5 " |
8л |
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
в |
среднем квадраты шести |
компо- |
получаем и — —— Ех, |
|
|
о Я |
|
|
|
|
|
|
|
нент напряженности |
поля равны |
между |
собой, и, |
следовательно, |
"» = e |
^ |
i |
^ |
- |
( 8 |
Здесь и м dm — плотность энергии, |
соответствующая |
интервалу |
частоты со, dco теплового излучения |
абсолютно |
черного тела. При е, |
определяемом из выражения (84.6), уравнение (84.7) идентично фор муле излучения Планка.
|
|
|
в) Шумы |
сопротивления |
Пусть теперь |
осциллятор находится между пластинами конденсато |
ра, связанными между собой |
омическим сопротивлением R (рис. 117). |
Пусть а — расстояние между |
пластинами. Легко увидеть, что в дан- |
ном случае возникает новая причина затухания: движение заряда с
|
|
|
|
|
|
|
|
вызывает |
ток / |
во внешней цепи, и, следовательно, появление Джоу- |
лева тепла |
PR |
естественно за счет энергии движения. Механизм та |
кого затухания |
заключается в том, что с |
током / |
связана |
разность |
напряжений |
U=JR, |
т. е. напряженность |
F. = U/a поля, затормажи |
вающего |
частицу. |
Д л я количественного |
описания |
этой |
картины |
вспомним о том, что заряд е, находящийся на расстоянии х от пла
стины |
/, индуцирует |
на пластинах |
I и II |
наведенные |
заряды Qi = |
= —е |
а — х |
х |
частица |
движется |
со скоростью |
и Qn = |
— е — . Если |
|
а |
а |
|
|
|
v = x, то Qi = — Q n = — v. Выравнивание этих зарядов во внешней
а
е
цепи вызывает ток / = — и, а следовательно, падение напряжения
а
U = JR=—Rv. В таком случае тормозящая сила была бы равна
|
а |
|
Она всегда |
противоположна |
направлению |
v. Эта сила дала |
бы затухание |
|
Р = - 7 ~ / г . |
(84.8) |
В действительности соотношения несколь ко сложнее; если С — емкость конденсатора, то при напряжении U мгновенный заряд пла стин равен
Qj = CU — е-
Qu= — CU — e
Я
Рис. 117. Движе ние заряда е меж ду двумя замкну тыми на сопротив ление R пластина ми конденсаторов / и //.
Ток / равен Qi — —Qn\ следовательно,
• CU +• v.
Вследствие U=JR зависимость между v и J имеет вид:
J — RCJ = — v.
а
Поэтому при периодическом движении материальной точки, вве
дя комплексные амплитуды / 0 и v0 {I—JQem |
; v = v0e{a(}, |
по |
лучим: |
|
|
/„ = а— iaRC
Таким образом, средине квадратичные значения дают:
|
RJ2 |
г2 |
|
v^R |
|
|
|
|
а2 |
1 + |
a>2R2C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделение джоулева тепла происходит за счет энергии осцил |
лятора: dzldt — —RJ2; |
следовательно, |
|
|
|
de |
_ В е |
и 8 = |
е2 |
R |
. |
(84.9) |
— = |
cfim |
1 |
dt |
1 |
Н |
\ + (£>2R2C2 |
|
К |
' |
Для того чтобы несмотря на затухание осциллятор имел среднюю
тепловую |
энергию е(7"), |
согласно |
уравнению |
(84.4) |
должна |
нала |
гаться |
напряженность |
электрического |
поля Е со спектральным |
рас |
пределением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ 2 Ч dco = |
s (7) — |
1 + о) 2 Я 2 С 2 |
dco. |
|
|
|
|
|
|
(й |
|
к |
' па2 |
|
|
|
|
Поэтому |
при напряжении U—aE |
спектральное |
распределение |
|
|
|
U2dw |
= e(T) |
2 |
|
; R |
da. |
|
(84.10) |
|
|
|
м |
|
v |
л |
|
1 + со2 Я2 С2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
При |
усреднении во времени |
U2= |
J tV^dco из уравнения |
(84.10) |
следует: |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
2 |
(• |
|
Rdd) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + со2 Я2 С2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = a>RC, |
Используя в качестве переменной интегрирования |
имеем: |
|
|
|
|
|
— |
е ( Т ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
— |
CU2 |
представляет |
собой |
энергию конденсатора, заряженного |
до напряжения U. Следовательно, |
при e(T)=kT |
получим: |
|
|
|
|
|
|
- |
— |
С-{72 = |
— kT. |
|
|
(84.11) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Этого результата можно было ожидать с самого начала.
Формула (84.10) представляет собой частный случай впервые выведенной Найквистом формулы «термического шума сопротивле ния». Для ее вывода попытаемся лучше понять возникновение тер мических флуктуации U.
85. ФОРМУЛА НАЙКВИСТА
а) Общий вывод
Снова рассмотрим конденсатор, обкладки которого замкнуты на оми ческое сопротивление, поддерживаемое в термостате при темпера туре Т (рис. 118).
Если на концах сопротивления R устанавливается падение на пряжения U, то возникает ток J=UIR. Теперь вспомним о том, что носители тока подвержены тепловому движению. Они, например, испытывают крайне нерегулярные удары от атомов проводника. По этому можно ожидать, что ток / также край не нерегулярно колеблется вокруг среднего
значения U/R с малыми амплитудами. Следо вательно, действительная величина тока дол жна составлять
|
J |
~ |
Г" J терм |
I |
|
(85.1) |
|
|
|
где /терм появляется в результате статистиче |
Рис. |
118. |
Омиче |
ского характера движения атомов. Таким об |
разом, ток состоит из двух частей, одна из |
ское |
сопротивле |
которых обусловлена напряжением U, а вто |
ние R и емкость С |
рая |
представляет |
собой ток |
/терм, |
совершен |
Омическое |
сопро |
но не связанный с напряжением, а вызывае |
тивление |
находит |
мый |
ударами |
нейтральных |
атомов. |
Поэтому |
ся в Т. |
|
расчет /терм будем производить на основании |
|
|
|
опыта расчета броуновского движения. Снача |
|
|
|
ла продолжим |
общее обсуждение |
формулы (85.1), записав ее в виде |
|
|
|
. |
/ |
U |
+ |
V |
|
|
(85.2) |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
где |
К = Я/Т ерм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введенная таким образом величина V хотя и имеет размерность |
напряжения, однако не имеет абсолютно ничего |
общего с |
каким- |
либо |
приложенным |
или даже |
с измеряемым напряжением. Эта осо |
бенность имеет решающее значение для понимания |
обсуждаемых |
здесь процессов. В данном простом |
случае (конденсатор и сопротив |
ление) ток / связан с изменением U во времени с помощью соотно |
шения / = —Q = — CU ( Q — заряд, |
С —емкость); |
следовательно, из |
уравнения (85.2) |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
— (U + RCU) = V.
Используя представление в виде интегралов Фурье для U и V согласно схеме § 83, для спектрального распределения U и V имеем
|
|
|
1/2 |
U2 |
= |
1 + |
(85.3) |
^ со |
|
со2 Я2 С2 |
Ранее мы уже рассчитали |
Uw |
в уравнении (84.10). При 8(7") = |
=kT для «фиктивного напряжения», введенного в уравнении (85.2), имеем следующее выражение:
9 |
2 |
(85 4) |
Vi |
dco == — kTRd<s>. |
ш |
л |
|
Это и есть формула Найквиста, которая вместе с уравнением (85.2) используется в качестве основы количественного расчета шу ма сопротивления. При этом нужно еще раз подчеркнуть, что толь ко U, но не V имеет значение напряжения по понятиям учения об электричестве.
