книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

причем ввиду быстрого стремления функции Ф к нулю с ростом s интегрирование можно производить по полоске (s от —со до -j-co; и от 0 до 2т).

Таким образом, просто получаем

где малое по сравнению с т время а может быть обозна­ чено как «время когерентности» функции A (t). Оно яв­ ляется мерой ширины «полосы когерентности» на рис. 115. Интегралы (79.4)

о(0 = о 0 в - р ' + е " в ' J A ( S ) e M d |

о

430

основного уравнения v = — . A (t) можно преобразо­ вать, и не используя скоростей Gx , непосредственно при помощи корреляционной функции (81.2). После возведе­ ния в квадрат и усреднения по многим частицам из урав­ нения (79.4) следует:

При i->oo правая часть уравнения должна стремить­ ся к выражению kT/tn, в связи с чем для корреляцион­ ного интеграла получим:

вательпо,

li

х2 = j ' j" v(l)v(l')d£,d%.

6 6

43!

После усреднения и использования уравнения (81.5) при £—^'—s; %-{-%'= и для больших времен ( 6 ^ 1 ) по­ лучаем:

0- c o

Сучетом kTB — D приходим к хорошо известному

выражению х2 = 2Dt.

Если же условие В t^> 1 не выполнено, то в соответ­ ствии с (81.5) необходимо строго рассчитать величину

t t

x*^v2 f f,

о о

Это делается без затруднений и приводит к резуль­ тату

Это выражение совпадает с полученным выше по ме­ тоду Ланжевена и уже детально обсужденным выраже­ нием (77.6)

82. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА

а) Без внешнего силового поля

Еще в § 79 статистическим методом была рассчитана ве­

дачи изберем теперь совсем другой путь, выводя диффе­ ренциальное уравнение для w (v, i) из основного урав­

представляет вероятность того, что по истечении време­ ни х скорость частицы с начальной скоростью v лежит

432

Пусть теперь время т настолько мало, что функция ф(у, г)) значительно отличается от нуля только для та­ ких т], значение которых мало по сравнению с гл. В та­ ком случае можно разложить:

Далее, ограничиваясь членами первого порядка по т, имеем

следовательно, 6\) 2 /ди=0 .

Таким образом, уравнение (82.3) принимает вид:

Если записать уравнение (82.4) в виде

Теперь подставим У—%е^{, откуда

Таким образом, уравнение (82.4) приведено к при­ вычной форме диффузионного уравнения

434

Стандартное решение этого диффузионного уравне­ ния имеет вид:

При f>->-0 это решение переходит в %(р, 0; ро)=6(р — —ро).

Если с помощью выражений

т2р

р = ve^; р 0 = о0

снова перейти к первоначальным переменным, то полу­ чим:

m(v—v„ e ~ P Q 2

Таким образом, заново получен закон (79.7) прибли­ жения к распределению Максвелла, на этот раз исходя из дифференциального уравнения (82.4).

б) При наличии силового поля

Пусть теперь на частицу воздействует дополнительно внешняя сила К(х) с потенциалом Ф(х), следовательно, К(х) = —дФ/дх. Аналогично предыдущим параграфам отыщем вероятность f(x, v, t)dxdv нахождения частицы в интервале х, dx и v, dv. Если в данном случае выра­ жение

Так же как в (82.3) мы должны разложить подынтег­ ральную функцию по % и г) до квадратичных членов. По-

лучающнеся при этом средние значения определим из уравнения

(усреднение производится по многим частицам с равны­ ми Vj = vl), ограничиваясь линейными членами по т:

Ч = ( - Р * - I - ^ L ) г,

\ т j dv

436

действительно стационарно, т. е. обращает в нуль пра­ вую часть уравнения (82.10).

Если выполнить это интегрирование в уравнении (82.10), то производные по v не дадут никакого вклада, так как \(х, v, t) при |и|->оо очень быстро стремится к нулю. Получим

где B = l/mB — подвижность и D = £77mB—коэффициент диффузии; следовательно, надеемся получить дифферен­ циальное уравнение

Как установил Крамере1 , уравнение (82.12) действи­ тельно вытекает как приближенное уравнение из выра­ жения (82.10):

Смысл данного преобразования выясняется при рас­ смотрении рис. 116: для того чтобы получить плотность р в точке х0, интегрировали функцию f(x, v) вдоль пунк­ тирной линии (параллельно оси v) согласно уравнению (82.11). Рассмотрим теперь наклонную прямую g, про-

1 Kramers Н. А. — «Physica», 1940, v. 7, p. 284.

437

И Л И

настолько слабо зависят от х, что на расстояниях поряд­ ка пути торможения самой быстрой частицы они еще мо­ гут рассматриваться почти постоянными, то в самом деле можно заменить интегрирование остальных членов в уравнении (82.13) вдоль g интегрированием при по­

438

(82.12) можно ожидать лишь в том случае, когда выпол­ нены следующие условия:

не выполняются, можно найти в работе Крамерса и Чан-

Во многих случаях, в особенности если данное уско­ рение влияет на колебательную систему, целесообразно получить сведения о спектральном распределении. Для этой цели требуются некоторые математические вы­ кладки.

Под статистической функцией A(t) понимаем функ­ ции, подобные скорости v(t) при броуновском движении частицы или силе воздействия окружающих молекул на данную частицу. В частности, предполагаем, что среднее

функции остается в сущности без изменения, так что при

1 Becker R, — «Z. angew. Phys.», 1954, Bd 6, S. 23].

439