книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

т. е. зависимость намагниченности от Т и Н . По вопросу обсуждения этой функции сошлемся на литературу1 . Для очень малых полей (г) С 1) имеем:

м _ ИоН -vf

Мх kT

Следовательно, для отнесенной к одному спину об­ ратной восприимчивости (%=M/NH) получим:

веденные формулы ц = 0, то получим:

В

Это количественное выражение для ближнего порядка. Предельный случай viv2 -> 1 означает параллельную ори­ ентацию соседних спинов, viv2 = 0,— наоборот, чисто статистическую ориентацию.

400

в случае / > 1 имеют свойства определенной уравнением (73.1) макроскопической энтропии, а именно:

Величина 8Е при классическом описании означает толщину микроканонического ансамбля, в квантовой теории ее можно интерпретировать как неопределенность величины энергии, но для дальнейшего изложения она не

(г)играет роли. Она введена в уравнение (73.2а), так как под знаком логариф­

ма может стоять лишь неименованное

ч и с л о _

л

Фактически мы смогли показать следующее: если Bjdbj означает совершенную над системой работу при мед­ ленном изменении параметра Ь-}, то из

определении (73.2а) вытекает:

/

При dS/dE—1/Т это равноценно термодинамическо­ му определению (73.1), так как разность между увели­ чением энергии dE и совершенной над системой работой XBjdbj может интерпретироваться только как подведен-

ное тепло.

Далее мы показали: если две системы 1 п 2 находят­ ся друг с другом в соприкосновении (рис. 111) и требу­ ется выяснить, как распределяется между ними их об­ щая энергия, то наиболее вероятное распределение за­ дается следующим условием для определенной уравне­

т. е. 1/Т] = 1/Т2. Вопрос, какое из двух приведенных выше определений правильное, разрешается тем, что при чрез­ вычайно больших значениях f, т. с. для макроскопиче­ ского тела, оба определения равноценны. Как мы видели в § 31, это происходит из-за того, что объем 2/-мерной

402

сферы при крайне больших значениях / сосредоточен «только на ее поверхности».

Схематичным примером является

В дальнейшем будем предпочитать определение (73.2а). Его применимость для расчета многих свойств материальных тел подробно показана в гл. 2 и 3, так что теория в принципе может считаться законченной. Не­ смотря на это чувствуется настоятельная потребность обобщенной интерпретации определения (73.2а). Попы­ таемся удовлетворить эту потребность.

б) Энтропия как мера нашего незнания

На основании некоторых численных данных о величине энергии, объема и т. д. термодинамика дает сведения о поведении материальных тел, состоящих из чрезвычай­ но большого числа атомов, о движении которых в от­ дельности почти ничего не известно. Это незнание учи­ тывается в статистической механике, тем, что система рассматривается как часть микроканонического ансамб­

представляет собой число невырожденных квантовых со­ стояний, которые лежат в интервале от Е до Е-\-8Е. Сле­ довательно, о данной системе известно только, что име­ ется какая-то совокупность и>(Е)8Е состояний. Таким об­ разом, весьма целесообразно в качестве меры незнания атомарного состояния системы выбрать как раз выраже-

пне ы(Е){)Е, а энтропию (73.2a) изолированной системы интерпретировать как

S — k In (незнания).

в) Энтропия и вероятность

При более глубоком подходе для очень большого чис­

где W получает название «вероятности» состояния. Этот способ записи ничего не говорит, пока отсутствует опре­ деление слова вероятность. Обычно под W понимают так называемую термодинамическую вероятность, которая не имеет ничего общего с обычным понятием вероятно­ сти, а просто указывает число возможностей реализации данного состояния в смысле приведенных выше опреде­

ванная система может состоять из двух подсистем 1 и 2, которые могут обмениваться энергией или одна из кото­ рых может расширяться за счет другой. В этом случае Е\ (энергия подсистемы / ) , а также V\ (ее объем) пред­ ставляют собой параметры, обозначенные обобщенно че­

Если на рис. 112 вся очерченная площадь символи­ чески представляет развернутый слой со(£) и, следова­

частному численному значению величины а. Тем самым можно представить себе всю поверхность а(Е) сплошь изрезанной «линиями», на каждой из которых а постояи-

404

а кривая а—2/—2 измерений. Следовательно, при fx 102 0 снижение числа измерений на 1 практически не имеет

где энтропию вообще можно понимать как макроскопи­ ческую величину в смысле определения (73.1).

Тем самым выражение для вероятности принимает окончательную форму:

Эта связь между энтропией и вероятностью примеча­ тельна тем, что она, за исключением постоянной Больцмана kh содержит лишь данные о макроскопически на­ блюдаемых величинах: величину w(a)da можно в прин­ ципе определить путем регистрации изменения парамет-

405

pa а во времени, в то время как 5(a) следует измерять путем обычных обратимых термодинамических опера­ ций. Заметим, что не зависящая от а аддитивная вели­ чина при 5(a) не оказывает влияния на величину w (a) da.

Некоторые примеры призваны пояснить значение фундаменталь­ ного уравнения (73. 7).

Т о р с и о н н ы й м а я т н и к . Пусть на проволоке подвешено материальное тело, которое может совершать крутильные колебания

Таким образом, зависящая от Ei часть S принимает вид:

406

Но это и будет в точности распределение вероятности для ка­ нонического ансамбля, которое мы уже подробно обсуждали в (37. 2).

74 ЯВЛЕНИЯ ФЛУКТУАЦИИ

Из общей формулы

— S(a)

вытекают явления флуктуации в узком смысле, когда величина а при термическом равновесии равна нулю, т. е. когда значение а = 0 соответствует максимуму энт­ ропии. В этом случае (dS/da)a=o = 0. Можно тогда при­ менить справедливое при малых а разложение в ряд Тейлора

407

где вторая производная относится теперь только к под­ системе (1). Далее

dT

стемы (1), так что

1_ и2

w{u)du = const е 2 k T2°v du.

Если положить (для ориентировки в порядке вели­ чин) Е\ =TCV, то получим

Для относительной флуктуации тем самым имеем:

где £ j , V\ и т. д. означают теперь равновесные значения. Тогда

члена появляются лишь вторые производные. Однако ес-

408

ли система (2) намного больше системы (1), то эти про* изводные пренебрежимо малы для второй системы. Сле­ довательно, с точностью до не зависящего от и и и сла­ гаемого будем иметь:

иSv = p/T. Устраним часто мешающий применению

Обсудим физическое значение новых величин. Если рассматривать энергию Е и давление р как функции Т и V, то

409