книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

лагать, что атомы кольца не являются ближайшими со­ седями (например, объемно-центрированная решетка).

Для проведения расчета нужно вначале определить энергию для любой возможной ситуации в кольце. Она складывается из следующих частей:

1. ф — энергии между двумя неодинаковыми соседя­

ми.

2. При наличии направленного вправо внешнего поля Н0 —2и.0 Н0 =энергии спина I по отношению к полю Н0 .

3. Влияние окружения на спин в кольце опишем с по­ мощью пока неизвестного «внутреннего» поля Н' в том смысле, что 2fx0H' равно энергии спина / в кольце по от­ ношению к полю W.

Другие вклады в энергию не рассматриваются. Оха­ рактеризуем через (г, v) ситуацию, при которой спин г расположен в центре, а в кольце находится v спинов /. Соответственно (I, v) будет обозначать: спин / — в цент­ ре и v спинов / в кольце.

При расчете вероятностей по схеме

w = С ехр (— Е kT)

следует учесть, что случай v спинов / в кольце может быть реализован различными способами. Если в целях сокращения обозначить

то, введя нормирующий множитель С, получим:

w(r,v) = C ^ x v t / V

и

w(l,v)~ciz)xz-y+l г\

390

Отсюда для вероятностен рг плп /?/ того, что в центре находятся спин /' и соответственно /, имеем:

(71.3)

Как для да (г, v), так и для w(l, v) справедливо:

vw (r, v)=e — w (г, v)

де

для расчета v, под знаком частных производных, следо­ вательно,

что случайно выбранный спин кольца является спином /:

Теперь пришла очередь основного приема метода. Центральный спин и какой-либо спин кольца с физи­ ческой точки зрения равноправны. Вероятности того, что они представляют собой спин /, должны быть, следова­ тельно, одинаковыми, т. е. должно выполняться pi — vjz

или после сокращения на Су:

(х + уе)г = е х (1 + хуе)2"1 + еу (х + уе)г ~'.

С помощью этого уравнения е, или, что то же самое, гипотетическое внутреннее поле Н', неявно задается в

391

виде функции х н у. К счастью, уравнение можно суще­ ственно упростить. Вначале его можно привести к виду

Если подставить сюда значения х, у я z т соотноше­ ний (71.2) и обозначить

Кроме того, для относительной намагничености име­ ем MIMoo = (pr—pi)l{Pr+pi). При значениях р г и из уравнений (71.3), а также при использовании уравнения (71.5) отсюда вытекает

С помощью уравнения (71.7) величина б определяет­ ся как функция Г и Н0 и тем самым отношение М/Ма> также определяется как функция тех же переменных.

Вначале обсудим уравнение (71.7) для случая, когда

392

h равно нулю. (Известно, что h практически всегда мало по сравнению с единицей.) Тогда при малых значениях б, как это следует из разложения гиперболического си­ нуса в ряд, имеем:

Наоборот, если б значительно больше 1, то с хоро­ шим приближением справедливо

х = е при б ;у> 1.

вместо этого следует ожидать получения плавной кри­ вой, отмеченной на рис. 109 штрихами. (При обсуждении

фика можно рассматривать как искаженную температур­

видно соответствует температуре Кюри в, следователь но, будет иметь место

393

пли

вательно, для намагничивания при низких температурах получим:

При высоких температурах ( 7 " > в ) величины б и h становятся очень малыми, следовательно, согласно урав­ нению (71.8)

МС р /

—— = 20 + ft.

При значении z8 из уравнения (71.9) отсюда выте­ кает:

394

По согласно уравнению (71.10)

М

Рис. 110. Изгиб кривой 1/'х вблизи в . Ферромагнитная точ­

Используя значение h из уравнения (71.6), получаем:

= 6 значения, равного нулю. При очень малых значени­ ях разности Т—в легко находим:

395

Указываемая этим уравнением кривизна зависимости 1/х—Т полностью соответствует наблюдениям, хотя рас­ стояние между обеими точками Кюри, как правило, ока­ зывается заметно меньше, чем в/z.

Б л и ж н и й п о р я д о к п р и т е м п е р а т у р а х вы ­ ш е т е м п е р а т у р ы К ю р и . В простых рассуждениях Вайса или Брэгг—Уильямса сделаны весьма ограничи­

между ближним порядком а и дальним порядком s. При обсуждении проблем разделения фаз и ферромагнетиз­ ма предполагалось, что гомогенные фазы представляют собой чисто статистическую смесь. Эти предположения приводят к скачку удельной теплоемкости при темпера­ турах выше температуры Кюри. Фактически сохраняю­ щийся и при Г > 6 ближний порядок можно легко опре­ делить в случае ферромагнетизма из формул (71.3) и (71.4), используя приближение Бэте, т. е. устанавливая среднее число v для спинов / в кольце, когда в центре

выражение в степенной ряд по 1/z, то получим прибли­ женную зависимость

Таким образом, непосредственно за температурой Кюри относительное отклонение от статистического рас­ пределения составляет как раз 1/z.

396

Это же самое значение найдено в уравнении (71.12) для относительного отклонения восприимчивости от про­ стейшего закона Кюри—Вайса сразу же при температу­ рах выше в .

Вместо пространственной решетки будем вначале, рас­ сматривать линейную цепь, снова положив в основу мо­

Пусть между двумя соседними спинами вновь сущест­ вует разница «энергии связи» величиной ср, поскольку энергии при аитппараллелыюй ориентации па величину Ф больше энергии при параллельной ориентации. Полу­ чим строгое решение данной проблемы для линейной це­ ни (каждая точка решетки имеет только двух соседей), пользуясь тем же методом, обобщение которого позволи­ ло Онзагеру произвести также строгое рассмотрение плоской решетки. Так как ни линейная цепь, ни плоская решетка в природе не реализуются, результату не следу­ ет приписывать непосредственное физическое значение. Но используемые при его получении методы, с одной сто­ роны, поучительны с математической точки зрения, а с другой стороны, позволяют надеяться, что они послужат основой и для получения строгого решения задачи о про­

ность анализа данной статистической проблемы с помо­

397

тации. Энергия /-го спина относительно магнитного поля

После введения симметричной двухрядной матрицы

/В,

В =

где

ит. д., отдельное слагаемое в Z записывается в виде

В.... Д... Д... •••5..

1

Предписываемое для расчета Z суммирование по зна­ чениям v2 , V3, VN означает теперь образование произ­ ведения BN. Остающееся суммирование по vi означает суммирование по диагональному элементу BN. Эта опе­ рация обозначается «шпур», таким образом,

Z == шпур В^.

Если q означает матрицу, в которую трансформиру­ ется В на главной оси, т. е.

[о к

398

то

I» к)

Теперь по общему правилу для каких-либо двух мат­ риц А и В шпур Л 5 = шпур ВА. Таким образом,

Статистическая сумма просто равна N-н степени наи­ большего собственного значения Xi матрицы В. В нашем случае эта матрица имеет вид;

, » f - | . + i x . H ) - - 2 -

Для логарифма статистической суммы, таким обра­ зом, имеем:

In Z = N ' а + In {chrj+ V sh2 ц + e~4 a }] ,

где a—q>l2kT; T] = I I H / & 7 \

d\nZ/dr\ дает среднее значение vi-f-v2 +...+vjv. После выполнения дифференцирования получим:

399