книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

вательно, как yh так и 72 определяются из условия df/dy = 0 или

—Yi) также является его решением. Целесообразно опи­ сать состав с помощью величины

г) = 1 — 2у.

Здесь т) = 0 означает 50%-ную смесь, г)=1 или л = — U наоборот, чистую компоненту А или В. Условия равнове­ сия гласят тогда:

Это точно такое же уравнение для т), которое мы об­ суждали [(68.9)] для дальнего порядка в случае сверх­ структуры.

На рис. 106 в соответствии с уравнением (69.6) нане­ сена температура Т как функция т) или Y- Каждой тем­ пературе ниже Tc=zq/2k соответствуют два значения Y. относящиеся к получаемой таким образом «пограничной кривой», которая определяет равновесную концентрацию обеих фаз. Непосредственно вблизи Тс (при малых зна­ чениях Т|) пограничная кривая описывается уравнением

380

становится нестабильным. При температуре, заданной

на 300° С до точки Е можно вызвать разделение фаз, ко­ торое, однако, можно снова прервать с помощью охлаж­ дения. Так возникает возможность тщательно исследо­ вать отдельные стадии разделения фаз и его влияние на технологические свойства. Обнаружилось, что именно первая, микроскопически едва заметная стадия часто связана с существенным повышением твердости. С этим эффектом связано, например, качество дюралюминия и многих других сплавов легких металлов.

70. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

а) Общие положения

Явление ферромагнетизма можно обсуждать по схеме предыдущих параграфов, если в его основу положить некоторые приведенные ниже положения, сильно упро­ щающие действительную модель.

381

1. Ферромагнетик в каждом узле решетки содержит один электронный спин с магнитным моментом цо —

=%е12тс.

2.При наличии магнитного поля Н, направленного, например, вправо, отдельный спин направлен либо на­ право (по направлению Н), либо налево (противопо­ ложно Н).

3.Энергия взаимодействия имеется лишь между дву­

де всего состоит в наличии первой предпосылки, так как ни у одного реального ферромагнетика число действую­ щих электронных спинов не совпадает с числом атомов. Более серьезны возражения против введения второй предпосылки, которую обычно обосновывают разновидно­

и отыскать их собственные значения. Если допустить, что ср4 f e отлич­ ны от нуля лишь для ближайших соседей и в данном случае везде имеют равное значение ср, то следовало бы применить в качестве оператора Гамильтона

382

Фактически, как следствие третьего условия, в окру­ жении спина г всегда находится большее количество спинов /', чем соответствующее статистическому средне­ му. Используем это обстоятельство для расчета, произ­ водимого в § 71. Четвертое допущение имеет такой же характер, как и допущение, которое мы вводили выше при разделении фаз. С его помощью дальнейшая обра" ботка принимает крайне простую форму.

б) Статистическая сумма по модели Изинга

Припишем каждому атому число v, которое может быть

Если Af=poSvj — намагниченность, замеренная в на­ правлении г, а Мао — нФ — насыщение, при котором все спины расположены в одном направлении, то т] пред­ ставляет собой «относительную намагниченность:

Согласно третьей предпосылке энергия двух соседних спинов (i и k) равна — CPVIV&/2. Она равна — СР/2 при па­ раллельной ориентации (vi=Vk) СР/2 при антипараллель­ ной ориентации (vi = —vs).

Энергия всей состоящей из п атомов системы при на­ личии направленного по г магнитного поля Н будет тог­ да равна:

п п

383

Здесь Е означает, что суммирование следует произво-

*I n / ? , -

дить по всем ближайшим соседям атома i. Rt означает «кольцо I » , состоящее из тех атомов, которые окружают атом и являются его ближайшими соседями.

Множитель 1/4 (а не 1/2!) обусловлен тем, что при суммировании каждое соединение (i, k) встречается дважды. Из уравнения (70.2) для суммы состояний (при (3= 1/kT) следует:

зависимо друг от друга. Следовательно, функция Z вклю­ чает в себя 2" слагаемых. В § 72 выполним это сумми­ рование для линейной цепи. Для случая плоской ре­ шетки оно произведено Онзагером. Для пространствен­

k In Rt

от того, находится ли в центре кольца спин г или спин Тогда среднее значение \h в кольце просто равно г],

тем самым

k In R(

п

(z — число ближайших соседей). Так как далее Е V,- = i=i

личными способами; следовательно, в качестве стати­ стической суммы мы имеем:

(70.3а)

,384

Наиболее вероятным значением пг является то, ко­ торое дает наибольшее слагаемое, т. е. то, которое при­ водит выражение

— nr In пг — (п — nf) In (п — пг) — В£ (пг)

для т] как функции Т и Н.

в) Ограничение рассуждений только одним атомом

В формуле (70.3а) мы определили функцию Z для всей си­ стемы. Результат (70.4) наводит на следующие размыш­ ления. Производная d\Ejdnr представляет собой прира­ щение энергии при увеличении пг на 1 и одновременно снижении щ на 1. Следовательно, если ег И Л И SI означа­ ют энергию одного спина г и соответственно /, то

dE

—= 8 , - 8 ; .

dnr

В связи с этим уравнение (70.4) гласит:

или

Независимо от предыдущего расчета этот результат можно было бы получить так:

Рассмотрим спин (центральный атом) под воздейст­ вием его соседей и поля Н. Если спин имеет направле­ ние г, то

Таким образом, получаем построение, представлен­ ное на рис. 107 в плоскости г), а: во-первых, ц лежит на

почти независимо от Н и равно существующей и при Н = = 0 спонтанной намагниченности r\s. Только когда Т ста­

ется в г) = а, а уравнение (70.9) принимает вид:

тц 0 Н ke

или

и 0 Н k(T — в)

При Г > в , следовательно, имеем намагничивание, пропорциональное Н. Отнесенная к одному спину элект-

Это и есть известный закон Кюри—Вайса.

Обычно этот результат иллюстрируют схемой, приве­

Только что полученные формулы были в основных чер­ тах уже выведены Пьером Вайсом на основании следую­ щей идеи.

формула Ланжевена 1

при описании парамагнетизма всегда дает очень малые значения М/Мс. Чтобы описать очень большую по срав­ нению с этим намагниченность ферромагнитных веществ, Вайс сделал допущение, что действие внешнего поля Н поддерживается уже имеющейся намагниченностью и что, следовательно, поле Н в формуле Ланжевена следу­ ет заменить на

388

принимались'. При таком допущении формула Лапжевена переходит в выражение

ет собой работу, которую необходимо затратить, чтобы при полном насыщении повернуть отдельный спин в про­ тивоположном направлении. Следовательно, WM^ име­

но допущение 4, согласно которому спины г и / статисти­ чески распределены по решетке и в соответствии с этим

среднее число v спинов / в кольце не зависит от того, на­ ходится ли в центре спин г или /. Шаг к усовершенство­ ванию модели состоит в том, что сам центр вместе с коль­ цом может рассматриваться со статистических позиций, в частности, что окружение кольца, т.е. в особенности следующие по удаленности от центра соседние атомы в среднем не зависят от ситуации в кольце. Будем предпо-

1 С помощью квантовой теории коэффициент Вайса истолковы­ вается как действие обменных сил. См. по этому вопросу работу Гейзенберга (Heisenberg.— «Z. Physik», 1928, Bd 49, S. 619), а также сообщения в журнале «Rev. Mod. Phys.» за 1953 г.

2 Weiss P. R. — «Phys. Rev.», 1948, Bd 74, S. 1493.

389