книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

u(t)=ii,[z(t0

+ iàt);

t = 0,

1, . . . , / ; x (to)],

(10-18)

где-* = *о + /А*; / = 0,

1, . . . . N— 1.

Эквивалентная

задача

Для заданного

значения

Л/ задача,

описываемая

уравнениями (10-5),

(10-9), (10-15) и (10-18), в которой

требуется определить управляющую

последовательность

{u(t)\ t — tc + jàt;

/ = 0, 1,

N—1},

минимизирующую

значение JN, В ТОЧНОСТИ совпадает с задачей

дискретного

стохастического

линейного

регулятора

из гл. 9.

В то же время в пределе при At—>-0 и Л/ таком, что

Л/А/ = /і—to, она

является

задачей непрерывного

стоха­

W(to+№t)=W(t1)=A+A(ti)At,

(10-23)

— W(t) = F' (t) W(t) +

W (t) F

(t)~

- W(t)C{t)B-4t)C'{t)W{t)

+

A(t),

(10-27)

где t теперь обозначает непрерывное

время,

причем

S(t)=

— {{С (t) At + О (At2)]' W(t + At) [С (t)"At +

+

О (M2)}

- f В (t) At} - 1

[C (t) At A-О (At2)}' W(t

+

bt)\I

+

+ F (t) At + О (At2)]

== - [С (t) W (t A- ДО С (t) At2

+

-f- B (t) At A- О (ДО] - 1 [ С (0 W (t -f- ДО At - f О (At2)}

=

= -

[С (0 W(t + ДО С (0

At А-В

(t) А-О (At2)]'1

[С

(t) W (t - f

+

д/) +

о ( д о ] .

В пределе при At—>-0 отсюда следует, что

S(i)=—B-i(t)C,(t)W(t)

(10-28)

ДЛЯ tos^ts^.ti.

в пределе при А^—*-0 остает­

Вид уравнения (10-19)

ся

прежним:

u(t)

=

S (t)x (t\ t)

(10-29)

мает вид u{t) =S(t)x{t).

Ясно,

что способ

определения

S(t) не зависит от наличия или отсутствия

неопределен­

ности в системе.

Для

стохастической

задачи

в оптимальном

фильтре

должно

быть

учтено влияние

управляющего

воздейст­

вия. Поэтому

уравнение

фильтра здесь

принимает вид:

x = F (t) x + К (t) [г {t) -

H (t),x] +

С (t) и (t)

10-4. КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА

Возвращаясь

вновь

к

эквивалентной

дискретной

задаче

и полагая,

что

t

обозначает

дискретное

время

t = to+>k>M\

k — 0,

1,

N—1, из

уравнений

(9-84) и

(9-85)

имеем:

V(ti—t)

= Е[х'

(t)M(t)x{t)]+a(4);

(10-30)

a(t)

=

a(t

+ At) -f- E [w' (t) Г" (r +

At, t)W (t +

At) Г (t +

+

At, t)w(t)\-

E[x'(t

I *)Ф'(/ +

Д*, t)W{t

+

+ At)W(t-y-At,

t)S(t)x(t

I t)].

(10-31)

В уравнении (10-30)

V(ti—t)

соответствует

величи­

не VN-k

из уравнения

(9-84)

и является значением кри­

терия

качества оптимального

управления на

интервале

[t, ti],

где

t — дискретное

время,

определенное

выше.

Согласно § 9-3 граничное условие для уравнения

(10-31)

имеет вид а(/і) =0.

V(h-t)=E{x'(t)[W(t)-A(t)St]x(t)}

+ a(t),

V(ti—t) =E[x'{t)W(t)x(t)]

+ a(t)

(10-32)

управления,

то, положив

в уравнении

(10-32)

t = t0,

по­

лучим:

V(ti-t0)=E[x/(io)W(to)x(t0)]

+

a(to).

Отсюда

следует, что

ѵ(*. - g=s P £ [ и ? ( д ( g ]

+

+ a (t0) =

Sp [W (/„) P (t0))

+

a (t0),

( 10-33)

где матрица

W(t0)

является решением уравнения

(10-27),

а P (t0)—корреляционная

матрица

начального

состоя­

ния.

Теперь

исследуем

предельное

поведение

уравнения

(10-31)

при

At—>-0. Вначале

запишем

это

уравнение

в виде

a (/) =

a (t + M) - f E {S? [Г'

(t-\-At,t)W(tA~

- f

At) Г (t +

Д*. /) w (t) w' (t)]}-

E {Sp [Ф' (t - f Д*. 0 W (t

+

+

Д ^ У ^ + Д/,

I t)x'{t

I 01} = a

+ Д0 +

+

S? [ P

(* +

Д*. t)W (t -\- At)Y(t

+

-

— Sn [Ф' (t A- At,

t) W (t +

ДО ЧГ (* +

Д*, 0 5 (t) P (t \ t)},

где использованы

соотношения

(10-34)

E[w(t)w'(t)]

=

Q(t)/At;

E[x(t\t)x'(t\t)\

=

P(t\t).

Рассмотрим в качестве

частного случая скалярную систему х =

= w(t)+u(t) для O s g / s s r ,

где 7" = const>0.

Предположим, что Q (t) =

>

0.

Выберем критерий качества

вида

т

/ =

£ J

[Y2 *2

(0

+«2

(01

Л .

где у — положительная

постоянная. Этот

критерий качества являет­

Для

этого

случая F(/)=0;

G ( / ) = C ( 0 = 1;

A(t)=y2;

B(t) = l;

Л = 0 . Следовательно, уравнение

(10-40)

принимает вид

117= W 2 — Y 2

для О ^ ^ Г при

W(T)=0.

Решением

этого

уравнения

является:

U7(r)=Yth у(Т—t).

(10-46)

Поскольку

B(t)=C(t)=\,

из

урав-

еения (10-39)

следует, что 5 ( 0 = — W ( t ) .

Коэффициент

обратной

связи

изображен

на

рис. 10-4 в

виде

функции

времени.

-у thy

Заметим, что максимум модуля коэффи­

циента

обратной

связи

приходится

на

Рис. 10-4.

Коэффициент

момент

t=0,

где 5 ( 0 ) = —Y th уТ, а

за"

тем он монотонно убывает до нуля. Так

передачи

обратной

свя­

как

0<th Y

^

^

I

для всех уТ>0,

то от­

зи как функция

времени.

сюда

следует,

что

всегда

|S(f)|<!Y-

Очевидно

чем больше

вес ошибки

по

к = F {() x + С (t)

и (t);

t,

I

= x' (t,)

Ах (tt)

+ J \x' (t)

A (t) x (t) +

u' (t) В (t) и (t)]

dt,

to

где to^t^t,, в

предположении,

что x(to)

известно, x(t)

можно

измерить точно и требуется определить

управление

u(t) для t0cZ

^t^ti,

минимизирующее /.

а)

Для данного te[t0, ti]

и x{t)=x

определить

значение

V (x, t) = min

I x' (t,)

Ax (t,) -f

( [x' (t) A (x) x (x)

+

"(x)

[

}

дѴ

min [х'Ах -4- и'Ви + (ѵхѴ) х]

-щ-

=

для всех t^to, t\\ при

граничном

условии

V(x, ti)

=x'(ti)Ax(ti).

Здесь

ѴхѴ означает

градиент

V

по х, т. е. вектор-строку

вида

[дѴ/дХі

. . . дѴ/дХп].

При решении задачи

разделить интервал

[t, h]

на два интервала [t, t+At]

и {t+At,

tt],

а затем

использовать

принцип оптимальности,

полагая,

что функция V(x,

t)

непрерывна

и непрерывно дифференцируема для любых значений х

и t,

ta-^t^

^ti.

(Приведенное уравнение в частных

производных

является ча­

чается

уравнение,

называемое

уравнением

Гамильтона—Якоби —

Беллмана).

б) Проделав указанную операцию минимизации, показать, что

оптимальное управление u(t) имеет вид:

« (0 = - 4- в-1

(О С (t) [VxV

(x, t)]'

и получить уравнение Гамильтона — Якоби, которому

должна удов­

летворять функция V(x, t).

в)

В

качестве

возможного

решения

уравнения

Гамильтона —

Якоби

из

п. «б» принять V(x,

t)=x'W(t)x,

где

W(t) — симметри­

ческая матрица, и показать, что матрица

W(t)

должна удовлетво­

рять уравнению (10-40):

W =

— F'(t)W

— WF (t) +

WC(t)B~'

(t) С (t)W — A (t),