книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

белая последовательность, независимая от х(0), с нуле­ вым средним и неотрицательно определенной корреля­

370

вида (9-3) накладывает на задачу весьма существенные ограничения. Одной из причин такого выбора является то, что в теории стохастического управления нет общего результата, аналогичного результату Шермана (теорема

квадратичной формы от векторов состояния и управле­ ния. Поскольку речь идет о случайном процессе, исполь­ зуется операция математического ожидания. Следова­ тельно, как и в задаче оценки, здесь оценивается каче­ ство ансамбля систем. Для того чтобы учесть поведение как вектора состояния, так и вектора управления на рассматриваемом интервале времени, квадратичные фор­ мы от этих двух векторов суммируются. Значения ин­ дексов выбираются таким образом, чтобы в JN вошли только поддающиеся изменению векторы состояния и только те векторы управления, которые могут их изме­

вида «ошибка системы плюс управляющее усилие». Эта интерпретация следует из квадратичности критерия, по­

ся, что желаемое состояние системы — нулевое, т. е. на­ чало координат n-мерного евклидова пространства, так как если х(і)=0, і = 1 , 2,.,..,N, то вклад этого слагаемо­ го в JN равен нулю при любом А(і). Если в каждый мо-

мент времени і желаемое состояние системы представ­

Для удобства предположим, что при любом і желаемое состояние xd(i)=0. Заметим, что в силу квадратичности этого члена мерой ошибки здесь является квадрат ошиб­ ки или, в более общем случае, взвешенный квадрат ошибки, поскольку имеется свобода в выборе матрицы

Mi)- Обычно матрицы А(і) выбирают диагональными. Например, в системе второго порядка первое слагаемое в правой части уравнения (9-3) обычно имеет вид:

и суммирование проводится по і, то оно характеризует меру «интенсивности» управления, которое является входным сигналом системы. Эту интенсивность обычно называют управляющим усилием или энергией управле­ ния. Последнее название возникло вследствие квадра­ тичного характера этого слагаемого. Как и в случае первого слагаемого, говорят о «взвешенном управляю­ щем усилии» 'по причине произвола при выборе элемен­

Рассматривая сумму этих двух слагаемых, можно видеть, что JN представляет собой компромиссный кри­ терий качества между ошибкой системы и управляющим усилием. Относительная важность этих двух членов вы­ ражается выбором матриц А(і) и В(і—1). Однако неза­ висимо от этого выбора заметим, что JN назначает штраф как за чрезмзрные ошибки, так и за излишнее управление. Поскольку JN является монотонно неубы­ вающей функцией как х, так и и, требуется выбрать по­ следовательность управления {и(і—1), і=1, 2, ...,№}, минимизирующую JN.

372

Выбор А(і) и В (I—1) допускает значительную свобо­ ду, так что критерий рассматриваемого вида может быть определен для многих физических задач. Например, предположим, что в частной задаче управления учиты­ вается только конечная ошибка в момент времени N и требуется минимизировать эту ошибку, затрачивая лю­ бые управляющие усилия. Тогда, очевидно, следует вы­

Продолжая исследование этого примера, предполо­ жим, что в задаче играет роль только отклонение пер­

зывает чрезмерный расход ресурсов управления, то вво­ дится штраф вида

x' (N) x (N) + a J] u ' (i - 1) и (t - 1)

« = i

где а — положительная постоянная. В этом случае JN является мерой конечной ошибки и управляющего уси­ лия, причем их относительный вес определяется коэффи­ циентом а. Из общих соображений во втором примере следует ожидать затраты меньших управляющих уси­ лий за счет большей конечной ошибки.

373

ставленной таким образом, может привести к управляю­ щей последовательности, не реализуемой на практике, т. е. к управляющей последовательности, требующей фи­ зически недоступных входных данных. Более того, по­ скольку цель управления заключается в изменении со­ стояния системы, желательно, чтобы управляющая по­ следовательность зависела от известной информации о состоянии системы, т. е. от результатов измерений. Тог­ да управляющая последовательность формируется с ис­

здесь в целях повышения общности результатов он бу­ дет предполагаться произвольным.

Поскольку вектор управления, определяемый урав­

374

ставляет собой меру качества регулирования полученной

крепленным временем. Иными словами, в ней требуется описать закон управления на заранее заданном интер­ вале времени, в отличие от задач со свободным конеч­ ным временем, где оно явно участвует в оптимизации. Классическим примером подобных задач является зада­ ча управления с оптимальным быстродействием, в кото­ рой требуется достигнуть некоторой определенной цели за минимальное время.

Во-вторых, на компоненты вектора управления не на­ кладывается ограничений по амплитуде. Такие ограни­ чения являются желательными, если известно, что си­ стема (9-1) имеет насыщение по входному сигналу. Од­ нако второе слагаемое JN, как уже отмечалось, накла­ дывает штраф за чрезмерные значения вектора управ­ ления. Это свойство может быть использовано, чтобы ограничить стремление системы к насыщению.

В-третьих, состояние системы в конечный момент вре­ мени может быть свободным, т. е. на него не наклады­ вается никаких специальных ограничений. Легко, одна­ ко, найти ситуации, где подобные ограничения являются желательными. Например, можно потребовать миними­ зации функционала

375

при условий E[x'(N)x(N)]£^ß, где fi — Положительная постоянная. Задачи такого типа в рамках данной книги можно решать только косвенно, пользуясь тем, что x ( N ) входит в критерий качества.

9-2. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ З А Д А Ч А

Как указывалось ранее, вначале будет полезно рас­ смотреть идеализированный вариант стохастического ли­ нейного регулятора, в котором отсутствуют возмущения системы и все переменные состояния могут быть точно измерены. В этом случае уравнения (9-1), (9-3) и (9-5) принимают вид:

|x(0)

x* (k)

X (k)

Заметим, что в функционал JN не входят математи­ ческие ожидания, так как здесь рассматривается детер­ минированный процесс, а уравнение измерения отсутст­ вует, поскольку z= x . В силу того что переменные со­ стояния могут быть измерены точно, также отсутствует неопределенность, связанная с начальным состоянием jc(0), и х(0) в уравнении (9-5) заменяется на истинное значение начального состояния. Задача детерминирован­ ного линейного регулятора формулируется следующим

.образом.

:376

Структурная схема системы, полученной в резуль­ тате решения этой задачи, изображена в общем виде на

§ 9-1, можно решать с использованием принципа опти­ мальности, принадлежащего Беллману (Л. 9-1].

состояния x. Как на х, так и на и могут быть наложены ограничения; ti и t2 могут быть закрепленными или сво­ бодными в зависимости от исходных предпосылок; t мо­ жет обозначать дискретное или непрерывное время на интервале [tlt і2]. Пусть / — некоторый критерий качест­ ва, который следует оптимизировать на интервале [tu t2] (минимизировать или максимизировать). Для опреде­ ленности положим, что u(t) следует выбрать так, чтобы минимизировать /. Доказательство для максимизации / проводится аналогично.

Предположим, что существует по меньшей мере одно управление u(t), удовлетворяющее всем ограничениям и

377

минимизирующее / на интервале [tu t2]. Обозначим это оптимальное управление через u°(t) и соответствующее ему значение критерия качества через /°.

обеспечивает значение критерия качества / * * < / ° на ин­ тервале [ti, t2]. Однако согласно гипотезе и°(і) является оптимальным управлением для системы S и поэтому не может быть улучшено. Следовательно, налицо противо­ речие, доказывающее теорему.

Заметим, что управление u°(,t) не обязательно един­ ственно, и поэтому возможно существование управления и* (t) Фи°(і) на интервале [f, t2], такого, что управление

мальности иллюстрируется рис. 9-3. Предположим, что для некоторой системы с непрерывным временем и на-

tли состояние системы в мо­ мент времени V возникло в результате управления и ° ( 1 ) на интервале (/), t'].

378

для решения задач оптимизации систем управления. В задачах с дискретным временем его используют для сведения задачи определения всей управляющей после­ довательности к рекуррентному вычислению отдельных членов этой последовательности. В задачах с непрерыв­ ным временем применение принципа позволяет свести вариационную задачу к решению уравнения в частных производных специального вида, а также получить не­ обходимые и (или) достаточные условия оптимальности управления, которые сами по себе удобны для приложе­ ний. Все эти замечания впоследствии широко иллюстри­ руются.

вать указанную квадратичную форму. Если для этой це­ ли использовать дифференциальное исчисление, то мож­ но получить систему из rN алгебраических уравнений, которые следует решать при условии (9-6). Очевидно, что вычислительные трудности при решении такой зада­ чи оказываются чрезмерными, за исключением некото­

(9-9), можно также рассматривать как ЛЛшаговый про­ цесс принятия решений. Тогда N принимаемых решений вида u(0),...,u(N—1) должны минимизировать задан­ ную квадратичную форму. Вместо того, чтобы принимать N решений одновременно, желательно разработать про­ цедуру поочередного принятия решений, т. е. свести .ZVшаговую задачу к одношаговой. Принцип оптимальности представляет средство для достижения этой цели. По­ ставленная здесь задача будет решаться по индукции, начиная с последнего шага управления.

379