|
Далее, |
полагая u(k) =S(k)x(k), |
представим |
уравнение |
(9-52) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ( 6 + 1 ) = Ф ( / г - Н , |
k)x(k)—V(k+l, |
k)W-l{k+\, |
|
k)G>(k+\, |
k)x(k)=0 |
для |
всех |
k=û, |
1, ... , |
N—1. |
Очевидно, |
начальное |
состояние приво |
дится к нулю уже на первом шаге управления. |
Более |
того, |
из |
уравнения |
(9-50) |
ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W(k)=0'(k+\, |
k)W(k+l)Q>(k+'l, |
|
k)—a>'{k+\, |
k)X |
|
|
|
|
XW{k+(\)x¥(k+\, |
|
к)Ч'~Цк+\, |
|
а)Ф(к+\, |
|
k)+A(k) |
|
=A(k). |
|
|
Тогда из уравнений (9-51) |
и |
(9-49) |
|
следует, |
что для |
6=0, |
М(0) = №(0)— Л ( 0 ) = 0 |
и |
Ѵ"лг = 0, |
т. е. |
управление |
является |
«наи |
лучшим». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти результаты можно было предсказать, попытавшись найти |
такое управление u{k) |
для уравнения (9-52), при котором x(k+[) |
= |
=0. |
Поскольку |
матрица |
W(k+l, |
k) |
несингулярна |
для всех |
k, |
то, |
очевидно, |
|
|
|
«(£)=— W-*(k+l, |
k)0(k+\, |
|
k)x(k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако если матрица 4r(k+l, |
k) сингулярна, |
то этот |
результат |
бесполезен. В этом случае матрицу передачи |
обратной |
связи |
мож |
но определить из первой строки в уравнении |
(9-53). |
|
|
|
|
|
|
Пример 9-2. В качестве более частного примера рассмотрим ска |
лярную |
систему |
|
x(k + |
\)=x(k)+2u(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
6=0, |
I |
|
|
N—1, и |
пусть критерий |
качества |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/д, = |
х 2 ( Л О - И р Е и Ч ' |
— О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ß — положительная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
этой |
задачи |
Ф ( £ + 1 , |
k) = \\ |
W(k+\, |
k) =2; |
A (N) = W(N) = 1; |
A(N—l)= |
|
... |
= Л ( 1 ) = 0 ; |
B(N—\)= |
|
... |
= ß ( 0 ) = 4 ß . |
|
|
|
|
|
|
Тогда из уравнений (9-47) и (9-50) |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
_ |
[Aw(k + |
i) + 4pj-> 2W(k + 1 ) |
|
|
|
— W(k-\- |
П |
|
|
|
s(k) |
= |
2 [ r |
( f |
e | 1 |
) + |
p] |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
(k + 1) |
|
|
|
|
|
|
W{k+\) |
+ $ — — ^ w |
для k = N — 1 0 при W(N) = |
\. |
Замечая, что |
— W (k) |
|
'2 [W- (fe) + p]
иподставляя сюда выражение №(&), получаем рекуррентное соот
ношение для коэффициента передачи обратной |
связи |
с „ |
n |
2ßS(fe) |
_ |
S (к) |
°^ |
Ч- |
2 [— 2р5 (Ä) + |
H |
1 — 2S (fe)' |
где k—K—1, ... , 1. Можно видеть, что граничным условием дли
этого соотношения будет равенство
|
S(N— |
|
|
— W(N) |
= |
— 1 |
|
|
|
1 ) - |
2[Г(/ Ѵ ) + |
р] ~~ |
2 ( ß + 1) |
' |
|
С помощью указанного рекуррентного соотношения |
получаем |
табл. 9-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9-1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N — 1 |
- 1 / 2 ( р +1 ) |
|
|
Р / ( Р + 0 |
|
N — 2 |
- 1/2 ( Р + . 2 ) |
|
|
Р/(Р + |
2) |
|
1 |
_ 1 / 2 ( р |
+ І Ѵ - 1 ) |
|
|
ß/(ß + |
tf-l) |
|
0 |
- |
1/2(Р + |
N) |
|
|
PAP + |
W) |
|
Из табл. 9-1 ясно, что общее |
выражение для коэффициента пе |
редачи обратной связи имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
W = |
2 (ß -f- TV —- é) ' |
|
|
|
где &=0, 1, ... , N—1. Уравнение |
системы |
теперь примет вид |
|
1) = X (£) — |
|
1 |
|
|
(І + |
ІѴ — k — 1 |
|
x (fe + |
p + |
/ v _ f e |
x (k) = |
— ß + |
y v _ £ ^ (k). |
Если, |
например, |
положить $^N, |
|
то S(&) |
— l/2ß и |
|
х( А + 1 ) = [ l - - p - ] x ( A ) .
Вэтом случае вес управляющего усилия в критерии качества значительно превышает вес конечной ошибки. Это приводит к ма лым значениям коэффициента передачи, точнее, к малой отрицатель ной величине, постоянной для всех к. Очевидно, управление очень
мало |
влияет |
на конечную |
ошибку и в пределе при ß—>-оо не |
влияет вовсе, т е. x(k+l)=x(k), |
что приводит к x(N) |
= х ( 0 ) . |
|
Из табл. 9-1 для ß>JV |
имеем ЩО) « 1 и поэтому |
в силу |
урав |
нения |
(9-51) |
М ( 0 ) » 1 . |
Тогда |
значение |
критерия качества составит |
Ѵ*=хЦ0). |
|
|
|
|
|
|
|
Если же положить |
ß = 0 , т. е. если |
в критерий качества |
входит |
только конечная ошибка, то |
|
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(k) = 2 (N — к) |
|
|
26* |
|
|
|
|
|
|
|
391 |
и абсолютная величина коэффициента Передачи |
обратной |
связи Мо |
нотонно |
возрастает от 1/2JV при |
&=0 до |
1/2 |
при |
£=JV—1. |
Из |
табл. |
9-1 |
также ясно, |
что W(0)=0 |
при ß = 0, |
поэтому |
критерий |
ка |
чества |
в |
этом |
случае |
Ѵ ІУ=0 . |
Это |
означает, |
что конечная ошибка |
равна |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
другие |
значения |
ß в диапазоне |
0 < ß < o o |
позволяют |
получить качество управления, лежащее где-то между двумя рас смотренными здесь экстремальными случаями.
9-3. СТОХАСТИЧЕСКАЯ З А Д А Ч А
Решение задачи стохастического линейного регуля тора, поставленной в § 9-1, получим, в основном следуя методу, «спользованному в предыдущем параграфе для решения детерминированной задачи. Так же как и при исследовании детерминированной задачи, обозначим:
|
|
N |
|
Ѵдг = |
гаіп.. |
rain E I£ |
[x' (i) A (j) x {i) - f |
|
|
u(0) |
u(N-l) ^.= |
] |
|
- f |
и' (i - |
1) В (i - |
1) и (i - 1 )] J. |
(9-54) |
В уравнении (9-54) требуется проводить минимиза цию по физически реализуемым управлениям u(k), k = 0, l,...,N—1, т. е. по управлениям, удовлетворяющим уравнению (9-5).
Одношаговая |
задача |
|
|
|
|
Для одношаговой |
задачи оптимизации |
с |
началом |
в момент УѴ—1 и окончанием |
в момент N запишем: |
V, = |
min E [x' {N) A (N) x (N) + |
и' {N - |
1) X |
|
u(N— 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
XB{N- |
l)u(N— |
1)]. |
|
(9-55) |
Согласно уравнению (9-1) |
|
|
|
|
|
х(Ы)=Ф{Ы, |
N—l)x(N—ï) |
+ |
|
|
+ T(N, |
N—l)w(N—l)+W{N, |
N-l)u(N-l) |
и уравнение |
(9-55) принимает вид: |
|
|
|
Ѵ \ = min Е [(Фх + |
Гда + |
Wu)' А (Фх + Vw + Щ |
+ и'Ви] = |
и |
|
|
|
|
+ т'Г'АФх |
-4- |
= min Е [х'Ф'АФх + х'Ф'АТхю+х'Ф'АЧи |
"+ хю'Т'АЧи + т'Г'АГ |
w + и'Ч'АФх |
- f u'W'ATw |
+ |
|
|
+ «' |
(W'A¥-\-B)u], |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
x = x(N—\); |
w = w{N— 1); u = u(N— 1); |
Л = Л ( # ) ; |
B = B(N— |
1); |
ф = ф(ІѴ, |
ІѴ—1); |
|
Г = Г(ЛГ, TV—1 ), W = W(N, |
N—\). |
Указанная |
здесь |
операция |
усреднения |
проводится |
по x, w и и. |
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что все |
слагаемые |
в квадратных скобках |
являются скалярами, |
и |
матрица |
А симметрическая. |
Поэтому второе и четвертое слагаемые равны, так же как попарно равны третье и седьмое, пятое и восьмое слагаемые. Следовательно,
|
V, = |
min Е [х'Ф'АФх |
+ |
2х'Ф'А?хю + |
2х'Ф' AWu - f |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2даТ'ЛЧГи + |
w'V'AVw + |
а' (Ч?'ЛЧ7 + В) и]. |
(9-56) |
Согласно § 9-1 в рассматриваемой |
модели х(і) |
яѵи(і) |
статистически |
независимы |
для |
|
всех |
і = 0, |
1 . . . Так |
как |
{w(i); |
і = 0, 1 |
. . . } — |
случайный |
процесс |
с нулевым |
сред |
ним, |
то второе слагаемое |
в |
правой |
части |
уравнения |
(9-56) обращается |
в нуль, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
E[2x'{N— |
1)Ф'(М, |
N—l)A(N)T(N, |
|
|
N—l)w(N—l)]=*. |
|
= 2E[x'(N—l)]0'(N, |
|
N—\)A{N)T{N, |
|
|
N—\)X |
|
|
|
|
|
XE[w(N—\)] |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
Кроме того, поскольку требуется, чтобы управление |
было физически реализуемым, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(N—l)=py-i[z4N—\), |
|
|
|
х(0)1 |
|
|
|
а в |
рассматриваемой |
модели |
системы |
w(j) |
и z(i) |
ста |
тистически независимы |
для |
всех |
г = 1 , 2 |
|
то |
|
E[2w'{N—\)T'{N, |
N—l)A(N)W(N, |
N—\)u(N—l)] |
|
= |
= 2E[w'(N—l)]T'(N, |
|
N—\)A(N)W(N, |
|
|
N—\)E[u(N—\)). |
Отсюда следует, что четвертое слагаемое в правой части уравнения (9-56) также обращается в нуль, по скольку имеет нулевое математическое ожидание.
Тогда
Ѵ1 = |
min;£ [х'Ф'АФх + 2х'Ф'А Wu |
+ |
+ |
w'V'AVw + и' (ЧГ'ЛЧ? + В) и]. |
. (9-57) |
Согласно § 3-3 одно из свойств условного математи ческого ожидания состоит в том, что Е(х) = Е[Е(х\у)], где внешняя операция усреднения в правой части ра венства проводится по у. Используя этот результат, за пишем уравнение (9-57) в виде
V, = m i n |
E {Е [х'Ф'АФх |
+ |
2х'Ф' АЧи - f w'Y'ATw -f- |
|
+ |
u'(47M47 + ß ) u | 2 * ( A ' - 1), |
*(0)]}, |
(9-58) |
где внешняя операция |
усреднения |
проводится |
по |
z*(N— 1). |
|
|
|
|
|
|
Хотя внутреннее математическое ожидание является |
условным относительно х(0) |
и z*(N—1), |
внешнюю |
опе |
рацию усреднения можно |
проводить по одному |
z*(N—1), |
поскольку х(0)—неслучайный вектор. В этой связи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заметим, |
что |
плотность |
распределения |
вероятностей, |
соответствующая внутреннему математическому |
ожида |
нию, имеет вид f = f(x, |
w, |
u\z*). |
|
|
|
Теперь ясно, что критерий качества можно миними |
зировать, |
минимизируя |
по и |
внутреннее |
математическое |
ожидание |
в уравнении |
(9-58) |
для всех z*(N—1) |
и |
х(0). |
Условие физической реализуемости требует, чтобы |
управление |
было некоторой |
детерминированной |
функ |
цией х(0) |
и случайного вектора z*(N—1). |
Поэтому |
два |
слагаемых |
в |
правой части |
уравнения (9-58), в |
которые |
входит вектор |
управления |
и, |
будут иметь |
вид: |
|
|
Е[2х'Ф'A4 u\z*{N— 1), х(0)] =
=2E[x'\z*{N—\), х{Щ]Ф'А4и;
E[u'(W'AW + B)u\z*(N— 1), x(0)] = u'C¥'AW + B)u.
Тогда, взяв от внутреннего математического ожида ния в уравнении (9-58) градиент по и и приравнивая его нулю, получим выражение
2E{x'\z*(N—\), |
х{0)]Ф'АЧ + 2и'(4'А4 |
+ В) =0. |
Транспонируя это выражение, решая полученное уравнение относительно и и вновь вводя аргументы, по лучаем:
u(N— 1 ) = —W{N, |
N—\)A(N)4(N, |
N—\) |
+ |
+ B(N—l)]-^'(N, |
Ы—1)А(Ы)Ф(Ы, |
N—l)x |
XE[x(N-l)\z*(N~\), |
x(0)]. |
|
Здесь использована |
симметричность |
матриц |
A(N) и |
B(N—1). |
|
|
|
Поскольку E[x(N—\)\z*{N—1), |
x(0)] |
является про |
сто текущей оптимальной оценкой состояния |
x(N—1), |
имеем: |
|
|
|
|
u(N—\)=—[W'(N, |
N—\)A(N)4t{N, |
N—\) |
+ |
ХФ(ІѴ, |
N— \fx(N— |
\\N— 1). |
|
(9-59) |
Сравнивая уравнения (9-59) и (9-12), можно видеть, что оптимальное управление для одношаговой задачи линейного стохастического регулятора совпадает с ре шением аналогичной детерминированной задачи с заме ной x(N—1) на x(N—1J АЛ—1). Иными словами, получен первый результат для доказательства принципа разделе ния: оптимальное одношаговое управление представляет собой текущую оптимальную оценку, умноженную на матрицу передачи детерминированного регулятора, при чем обе вычисляются независимо.
Как и в детерминированном случае, введем матрицы
W(N)*=A(N) и
S(N—\)=—{W'(N, |
N—\)W(N)W{N, |
N—\) |
|
+ |
+ B(N—l)\-iW(N, |
N—l)W(N)G>(N, |
N—l) |
(9-60) |
и запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(N— |
\) = S{N~ |
1)JC(A/— |
1 f ІѴ — 1). |
|
(9-61) |
Вычислим Vu подставляя (9-59) в уравнение |
(9-57) |
при A(N) |
= W(N). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
V, = £ [x'Ф'ШФх - |
2х'Ф'WW |
(WWW |
+ |
By 1 чГ'"7Фх + |
-f- w' Y'WVw + x^'WW |
(W'WW-\- B)~ Ч - 'ГФ |
x). |
Упростим это выражение, замечая вначале, что |
x{N-l\N- |
|
l) = x[N |
— \)-x(N |
— 1 \N |
— 1). |
Тогда, обозначая |
символом |
Л |
матрицу |
fflW*!*(^'WW-b |
+ B)-1WWd>, |
можно |
преобразовать |
второе |
и |
четвертое |
слагаемые следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
— 2х'Ах-Іг |
х'А |
х = |
(х |
— 2х)'Ах |
—— (x -f- х)'А |
(х |
— х)== |
== — х'Ах-\-х' |
Ах |
— х'Ах~\- |
х'Ах |
= |
х'Ах |
— |
|
х'Ах, |
где использована симметричность матрицы Л.
Следовательно,
V, — Е [х'Ф'УРФх - х'Ф'ЧРЧг (WWW + В) -*ЧГЧРФх + + х'Ф'ЧРФ (WWW+ В) ' 1Ч'№Фх + т'\YWVw) =
= Е {х'Ф' [W - WW (WWW + В)- 'WW] Фх} +
+ £ [ З с ' Ф W |
- |
f |
By *ЧГѴРФx + о/Г'ГГш]. (9-62) |
Первое слагаемое в правой части уравнения (9-62) аналогично значению Ѵ4 для детерминированной задачи, за исключением того, что теперь в этом выражении при сутствует оператор математического ожидания.
Второе слагаемое в уравнении (9-62) обусловлено имеющейся в задаче неопределенностью, а именно ошибкой фильтрации и возмущением системы. Это вто рое слагаемое можно вычислить следующим образом. Пусть Кц — элементы матрицы Л, а г\ц — элементы сим метрической матрицы T'WT размера рХр. Тогда
( п |
E[x'Ax-{-w'VWrw] |
|
= |
П |
, w ~ |
|
|
P |
Р |
|
|
2 |
2 bj |
Xi |
X |
j + |
2 |
S |
|
-HjWiWj |
l=\ |
/=1 |
|
|
|
i = l |
/ = 1 |
|
|
n |
n |
|
|
|
p |
|
p |
= |
2 2 |
|
^ |
j |
№ |
+ |
2 |
TilijQïj, |
|
г = і / = і |
|
|
|
/ = i |
/ = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
где PU — элементы |
корреляционной матрицы |
ошибки |
фильтрации |
P(N— \\N— |
\)=Е |
|
[S(N—\\N—\)x'{N— |
— 1|УѴ—1)], |
a qa — элементы |
корреляционной |
матрицы |
возмущения |
системы |
|
|
Q(N—\)=E[w(N—\)w'(N—1)]. |
Обозначим это слагаемое |
a(N—1). |
|
|
С другой стороны, заметим, что |
|
|
E [x'Ax + w'T'Wrw] |
= E {Sp [Ахх' + |
|
|
+ T/WTww']} |
= Sp(AP |
+ |
T,WTQ). |
|
Для того |
чтобы |
результаты |
настоящего параграфа |
по возможности были близки к результатам |
решения |
детерминированной |
задачи, введем |
матрицу |
|
M=Ф' [ W— WW ( W' WW + |
B)-iX¥'W]<$>, |
|
упрощая тем самым уравнение (9-62).
Теперь введем вновь аргументы и перепишем резуль таты, полученные для одношаговой задачи оптимального 396
Из уравнений (9-66) |
и (9-68) следует: |
|
|
|
£{Vi)=E{E[x,(N—l)M(N—l)x(N—l)]+xi(N—l)} |
|
|
= |
|
= E[x'(N—l)M(N—l)x(N—l)] |
|
|
+ |
a(N—l). |
|
Поэтому уравнение (9-69) можно записать |
в виде |
|
У2 |
= тіп Е[х' |
(N- |
\)A{N— |
\)x{N |
- 1)+ |
|
|
|
u(/V—2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+u'(N |
- |
2) В {N - 2) u{M - |
2) -f- je' (ЛГ - 1 ) |
M {N - |
1) X |
'X*(W— |
|
- |
lj = min E[x' |
{N- |
|
1)W(N—\)X |
|
|
|
|
|
u(N—2) |
|
|
|
|
|
X x ( i V - l) + |
u' ( t f - |
2)ß(A/ - 2 ) a ( i V — 2 ) ] + с ф Ѵ - І ) , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9-70) |
|
Г ( І Ѵ — 1 ) |
= Af(tf— l)+A(N— |
1). |
|
|
|
|
|
|
Ясно, |
что |
a (N—1) |
можно |
вынести |
из-под |
знака |
минимума, поскольку его значение не зависит |
от |
выбо |
ра u(N—2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(N—1) |
За |
исключением |
аддитивной |
постоянной |
уравнение |
(9-70) имеет |
ту |
же |
форму, |
что |
и |
уравнение |
(9-55) для одношаговой задачи. Значения индексов вре мени здесь, разумеется, на единицу меньше, чем в урав нении (9-55), а матрица W (N) =A(N) заменяется на
W(N—l)=M(N—l)+A(N—l),
чтобы получить подобное уравнение. Поэтому, повторяя
те же действия, что и ранее, получаем: |
|
|
|
|
и (N - 2) = |
S (N - |
2) x (N - 2\N - |
2); |
S(N |
— 2) = |
— [¥'(N |
— 1, |
N -2)W{N- |
1)47(ІѴ- 1, |
N — 2) + |
B(N — 2)}-1V'(N— |
1, N — |
|
2)W{N—\)X |
|
|
|
Х Ф ( # - |
1, |
N-2); |
|
|
|
V2 |
= E [x' (N — 2) M{N-2)x |
(N - 2)] - f a (N — 2); |
|
M(N |
— 2) = |
<b'{N—l, |
|
N — |
2){W(N—l)~ |
~W{N - |
1 ) Ч Г ( # - 1, /V — 2)[ЧГ ' (/V— 1, |
W - 2 ) X |
Х Щ Ѵ - 1)Ч7(/Ѵ- 1, |
A / - 2 ) + ß ( / V - 2 ) ] " 1 X |
Х ^ ' ( ^ - 1 . |
N - 2 ) № ( J V - 1 ) } Ф ( / Ѵ |
— 1 , |
УѴ-2); |
a(N-2) |
= a(N - |
1) + E [w' (N - 2)V(N |
- |
1, |
# - 2) X |
XW(N~ |
І ) П ( І Ѵ ~ |
1, |
і Ѵ - 2 ) м ) ( Л ^ - 2 ) — A : ' ( / V — 2 | i V - 2 ) X |
Х Ф ' ( І Ѵ - 1 > M-2)W(N-l)W(N-l, |
|
N — 2 )X |
|
|
Х 5 ( Л ^ - 2 ) ж ( Л ^ - 2 | У Ѵ - 2 ) ] . |
|
|
Особо следует отметить физический смысл слагаемо
го |
a(N—2). |
Это |
слагаемое учитывает влияние на каче |
ство управления |
ошибки |
оценки и возмущения |
системы |
в |
моменты |
N—2 |
и N—1 |
и 'представляет собой |
«цену», |
которую приходится платить за то, что система подвер жена случайным возмущениям и не удается точно опре делить состояние системы.
Хотя выражение для Ѵ2 здесь имеет более сложный характер, чем в детерминированной задаче, заметим, что расчет оптимального управления для двухшагового процесса является сравнительно простым. Матрицы пе редачи обратной связи S(N—2) и S(N—1) вычисляются точно так же, как и в детерминированной задаче и ис
пользуются |
в |
сочетании |
с |
оптимальными |
оценками |
x(N—2\N—2) |
|
и x(N— |
1 \N— |
1) |
при |
формировании сиг |
налов управления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7—1)-шаговая задача |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и в детерминированной задаче, |
|
при |
/ ^ З |
получим |
оптимальное |
управление |
|
в |
момент |
времени |
N—/+1 |
для |
процесса, состоящего из /—1 шагов, |
опи |
сываемое следующими |
соотношениями: |
|
|
|
» 7 ( л / - / |
+ |
2) = |
Ж ( / Ѵ - / |
+ |
2) + |
Л ( / Ѵ - / + 2 ) |
(9-71) |
S(N-l |
+ |
\) = |
-[W(N-j |
|
|
+ |
2, |
|
J V - j |
+ |
l ) X |
|
XW(N-j |
|
+ 2)V(N-j-r-2, |
|
|
N-j+l) |
|
+ |
|
+ |
B(N-j |
|
+ \)]-1W(N-j+2, |
|
|
|
Л ' _ / + |
1)Х |
Х ^ ( Л > - / + 2 ) Ф ( . У - / + |
2, |
/ Ѵ - / + 1 ) ; |
(9-72) |
— / + |
1) = |
5(Л/ |
— / + 1 ) х ( / Ѵ — / + |
1|Л^ — / + О; (9-73) |
Ѵ*-і = £ [ • * ' ( # - / + l ) A f ( t f - / + ! ) • * ( # - 7 + 1 ) ] + |
|
|
|
|
_ f _ a ( t f _ / + l ) ; |
|
|
|
(9-74) |
М ( Л Г - ] + 1) = |
Ф ' ( Л Г - / + |
2, |
M - / |
- f l ) {W{N-j |
|
4 - 2 ) - |
-W(N-j |
+ |
2)V(N |
- / 4 - 2 , |
N _ / + 1 ) [ Ч Г ' ( # - / + |
2, |
/V - / 4- 1 ) W (N - / 4- 2) 47 (/V - / + 2 , /V - |
/ 4-1 ) 4- |
4 - ДУ Ѵ- /4 - 1 ) ] - 1 Ч7 '(Л / - /4 - 2, |
N-j+l)W(N-j |
|
+ |
2)}X |
|
|
Х Ф ( |
І Ѵ |
- / |
+ 2 |
, |
/ Ѵ - / 4 - 1 ) ; |
|
|
(9-75) |
