книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

P(t1\t)

= — A (t, t) H (t) E [x(t 11) x' (t,)}.

(8-83)

Для t^iti

ошибку фильтрации

можно выразить в виде

t

x(t\{)

=

W (t, t,) Х ( і г

+

(t, x) [G (x) W (x)

-

t,

-

К (x) ü (x)] dx,

(8-84)

где

Ч*(і, x)—переходная

матрица

состояния

системы

x = [F(t) — К {t) H {t)} x.

(8-85)

Используя уравнение (8-84), получаем:

E[x(t\

t) x' (t,)} =

W(t,tt)E [x{t,

I g x'

&)]

+

t

x) {G (x) £ [да (x) x' (t,)} -

Л" (T) E [V (x)

&)]} dz.

+

\4(t,

h

Однако оба математических ожидания под интегралом

в правой

части

равны

нулю в

силу уравнений

(8-25),

(8-39) и условия

S (0 =

0.

По определению

ошибки

филь­

трации

x (/,) = х

(tj I /,) -f-x (t111,).

Поэтому

следствие

8-1 приводит к результату

E[x(t\

t) x' (/,)] = W (t, ІЛ E fx (t, \t,)[~x (f, | g

+

+

x{ßl\tl)]'}

= 4r(t,t1)P(tl\t1).

(8-86)

Сравнивая уравнение (8-85) с уравнением, получен­

ным

транспонированием

матриц

в обеих

частях

(8-75),

можно

увидеть,

что оба они имеют

одну

и ту же

пере­

ходную матрицу состояния или фундаментальную

мат­

рицу,

а именно

^(t,

х).

Согласно

уравнению

(8-76)

Я * ' ( * І ) = Я ( * І | * І ) и

B*'(t)=W(t,

и)Р(Щи).

(8-87)

W

РЦг\()

= — А (t, t) H (О В*' (t)

(8-88)

для

t^sti.

Начальное

условие для уравнения

(8-88), оче­

видно, имеет вид:

P(ti\ti) =E[x(ti\tt)x'(ti\til)l

(8-89)

Его можно получить, решая уравнение

(8-54)

для

/=і/'і при условии S(t)

=0.

Три разные формы уравнения (8-88) можно сразу

получить

'из соотношений между

матрицами

A(t,

t),

B*(t)

и

B(t).

Подстановка уравнения (8-77) в уравнение

(8-88)

дает:

P (t, \t) = -

В* (0 H' (t) R -1

(t) H (t) В*' (t).

(8-90)

P{t1\f) =

-B(t)P(t\t)H'(f)R-4f)H(t)X

XP(t\t)B'(t)^-B

(t) К {t) R (0 К' (t) В' (t), (8-91)

P(tt\t)=-A

{t, t) R (t) A' {t, t).

(8-92)

Случайный процесс

{x(ti\t),

t^ti),

описываемый

x (M 0 = * С. I ti) - f А

W (х) * СФ) + о Wl dz,

где (х(т(т),

х^ііі}

— гауссовский

марковский

процесс

с нулевым

средним, a {ѵ(х), х^іі)

— гауссовский

белый

шум с нулевым

средним.

Обращаясь

к вопросу о вычислении матриц A [t,

t) и

P(ti\t), заметим,

что для этой цели

предпочтительно

ис­

уравнений (8-79), (8-81) и

(8-91). Причина заключается

в том, что в этих уравнениях требуется обращать

раз­

личные

матрицы. Точнее,

в уравнении (8-81) для

вы­

числения

В (it) требуется

обратить матрицу P(t\t).

Но

для

t~^t\

при условии

B*(ti)=P(ti\ii).

Здесь K(t) =

= P(t\i)H'(t)R-i(t)

—матрица

передачи

оптимального

фильтра.

3) Случайный

процесс

{x(t\\t),

t^ti)—

гауссовский

марковский

процесс второго

порядка

с нулевым

средним

и корреляционной

матрицей,

удовлетворяющей

матрич­

ному дифференциальному

уравнению

P (f, 10 =

-

A{t,t)R

{t) A' {t, t),

(8-96)

для

t^ti

при

начальном

условии

вида

P(U\ti)

=

= E[x{ti\ti)x'(h\ti)],

т. е. равном

корреляционной

матри­

це

ошибки

оптимальной

фильтрации

в момент

ti.

Проиллюстрируем использование

приведенных

здесь

результатов на

следующем

простом

примере,

при іо =

=—оо и

ігі = 0.

Другими

словами,

здесь

сглаживание

мальный фильтр, служащий для расчета x(t\t),

достиг

установившегося состояния.

Пример 8-2. Рассмотрим систему

x = ax+w(t) ;

z(t)=x(t)+v(t),

(8-97)

где

а—действительная

скалярная величина;

{w(t),

— о о } и

{v(t),

t~^.—оо}—скалярные

гауссовские белые

шумы с

нулевыми

Р=2аР—Р2+1,

где P—P(t\t).

Установившееся

решение получим,

подставляя сюда

Р = 0 :

Vât+l.

P(t\t)=a+

Так как H(t) = l и R-X(t) = l, отсюда следует,

что

K{t)=P(t\t).

Теперь рассмотрим сглаживание в закрепленной точке

для че­

тырех случаев, различающихся в зависимости

от параметра

системы

а при *5?іі=0 .

1. а>0 при | а | < 1 . В этом

случае система (8-97)

неустойчива.

Здесь

F{t)—K{t)H(t)=a

— a — Ѵаг+

1 я- — 1 ;

р (О I 0) = а + Ѵаг + 1 ^ 1.

Уравнение

(8-95) принимает вид

В*-.—В*,

2. а > 0 при

| а | > 1 . Здесь / > ( ф ) « 2 а и

K(t)~2a,

так что

F(t)—K(t)H{t)=—а.

Следовательно,

В* = —аВ*,

что дает

B*(t)=2ae-at;

f2?0,

8-7. Пусть

матрица передачи фильтра определена в предполо­

жении, что S 0

= 0 , т. е. с помощью соотношений

K(t)=P(t\t)H'(t)R-i(l);

P = F(t)P

+ PF'(t)—PH'(t)R-4t)H(t)P

+

G(t)Q(t)G'(t)

для t^to, где

P=P(t\t)

и P(ta\ta)<=P(h)

и

пусть матрица S(t)

нение следует в этом случае решить, чтобы

определить

истинную

корреляционную

матрицу

ошибки фильтрации?

8-8.

Если

матрица R(t)

неотрицательно

определена для всех

t^to,

будет ли уравнение

дА (t

і)

F(t)A(t,

х ) _

±~1~-A(t,

t)H(t)A(t,

x)

= 0

при t0 <

x < t

эквивалентным

уравнению

t

дА

it

і\

X

F(t)A(t,

x ) -

± - L - A ( t , t)H{t)A{t,

x)

XE[z

(x) z'

(a)] c?x =

0

при

to^o<.t?

Исследовать этот

же вопрос

в случае,

когда

матрица

Q(t)

положительно

определена

для t^t0,

а

матрица

R(t)

неотри­

цательно

определена.

8-9.

Рассмотреть

скалярную

систему

x =

m(t),

z(t)=x(t)+v(t)

для

t^O,

где

Q(0=9/4;

R{t) = l;

S(0 = 1/2,

/>(*<>) =28,

деленной по гауссовскому закону с нулевым математическим

ожи­

данием и дисперсией

"g = const

0.

Частицу

ускоряет

случайная сила,

имеющая

вид гауссовского

белого

шума {w(t),

t^-.O}

с

нулевым

средним и дисперсией з^—-

= const>0.

Положение

частицы непрерывно

измеряется

в

присутст­

вии аддитивного

скалярного

гауссовского

белого

шума

{v(t),

t^0}

с нулевым

средним

и дисперсией

o2 „ = const>0,

независимого от

{w(t)t

t^0}.

Для простоты

предположим,

что частица

имеет

еди­

ничную массу.

а)

Вывести, но не решать

уравнения

для оптимальных

оценок

положения и скорости частицы при

t^0.

б)

Вывести, но не решать

уравнения для оценки

скорости, с ко­

торой

частица покидает начало координат

при t=0

с

использова­

нием

алгоритма

оптимального

сглаживания

в закрепленной

точке.

8-12. Как выглядят уравнения оптимального сглаживания в за­

крепленной точке, если случайные процессы

{w(t)t

t^to}

и

{v(t).

t^to}

коррелированны и E\w(t)v'(x)]=S(t)à{t—т)

для всех

t,

TJS^O?

8-13. Для задачи

оптимального

сглаживания

на закрепленном

интервале to^t^tt

показать, что:

на закрепленном

интер­

а)

оптимальный

фильтр, сглаживающий

вале, описывается

уравнением

x(t

К ) = F (0 x (t I U) + •-!.(/., i)\x(t

| <,) - x

(t |0]

для

г, приграничном

условии x (tt

\ tt)

и при условии, что

для

Z o ^ / s s ^ i

с граничным условием

P(tt\tt).

Предполагается,

что

процессы

{w(t),

t^to}

и М О . t^to}

взаимно

независимы.

8-14.

Показать,

можно ли модифицировать

результаты

задачи

8-13

в случае

коррелированных

процессов

{w(t),

t^t0}

и

{v{t),

t^k}

при E[w(t),

v'(%)}=S(t)b(t—x)

для

всех /,

x^zto,

и

если

можно, то каким образом.

8-16.

Вывести,

но

не решать

уравнения для

сглаженных

на

задачи 8-11. Рассмотреть систему на

интервале

времени

О ^ г ^ Г ,

где Т постоянно.

8-16. Из соответствующего

интегрального

уравнения

Винера —•

Хопфа получить уравнения оптимального сглаживания с

постоян­

ным запаздыванием для г^Го, где запаздывание

Г—const>0, в пред­

положении

независимости

случайных

процессов

{^(0,

г ^ г 0 } и

М О , t>to}.

8-17. Для модели системы

x =

F (О X + G (t)w (0;

z{t)

=

H

(t)x(t)

+ v(t),

где t^to,

предположить,

что процесс

М О .

не гауссовский

i=A(t)v

+

l(t),

где t^to,

A(t)—непрерывная

матрица

размера

mxm,

а

{£(0.

t^to}—m-мерный

гауссовский

белый

шум с

нулевым

средним.

Предположить, что

вектор

v(to)

«е

зависит

от

x(to),

{£(0>

i^-h),

{w{t),

i^to}

и имеет положительно

определенную

корреля­

ционную матрицу E[v(to)v'(t0)]=V(to).

Пусть

для

{|(0.

справедливы соотношения

E[x(t0)l'(t)]

= 0;

E[W)¥W=W(t)ö(t-x);

Ei[w(t)l'(x)]=0

при любых

t,

x^to,

где W — матрица

размера mx>n,

положительно

определенная и непрерывная.

а)

Можно

ли

в

этом

случае

при

определении

оптимальной

оценки

x(t\t)

для

r^fo применить

метод

расширения вектора со­

стояния и теорему 8-1? Если можно, то

составить

соответствующие

уравнения, а если нельзя, то объяснить почему.

б)

Ранее

(см. задачи 4-13 и 6-19)

была

введена

процедура

формирования

разностных

измерений

для

дискретных

измерений

где

И* (0 = H (t) + H (t) F(t)-A

(t) Я (О,

a {£(/), t^ta]—m-мерный

гауссовский белый

шум с нулевым

сред­

ним, для которого

Е [I (t) V (x)] =

[H (t) G (t) Q (t) G' (t) M' (t) + W (t)] d (t -

x);

E [w (t) V (x)] =

Q(t)G'(t)H>

(t) S (t - x);

E[x

(<„) Ç' (01=0

при всех t,

x^to.

Заметим,

что эти формулы

требуют дифферен­

цируемое™

матрицы И(і)

[Л. 8-2, 8-6—8-8J.

в) Применить

теорему

8-1 к формулам

п. «б» и получить

урав­

мального

фильтра,

в котором

не

используется операция

дифферен­

цирования

z(t)

[Л. 8-2, 8-6—8-8].

г) Показать,

что для такого

метода

начальными

условиями

являются:

x (to \to) =

Р (to) H' (t„) [H

(t,)

P(t0) H'

(t„) + V (t0)\-

>z (t0)

где матрица P(to)=E[x(t0)x'(t0)]

предполагается

известной

[Л. 8-2,

8-6—8-8].

д) Перечислить дополнительные условия, необходимые

в п. «в»,

такие как дифференцируемость Н(і) и пр. Можно

ли предположение

о положительной

определенности

матрицы W(t)

в п. «в»

ослабить,

потребовав, чтобы

эта матрица

была лишь неотрицательно опре­

делена? Объяснить

ответ.

Г л а в а д е в я т а я

СТАТИСТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ

УПРАВЛЕНИЕ

В ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

368

•

* ( А + 1 ) = Ф ( А + 1, k)x{k)+r(k+l,

k)w(k) +

+ W(k+\,

k)u(k);

(9-1)

z(k+\)=H{k+l)x(k+l)+v{k+l)

(9-2)

24-85

369