для t^Q при £ [ » ( 0 ] = 0 ; E [w2 (()] = a2 = const; E [x (0)] = 0;
E [x2 (0)] = = const и E [x (0) w (/)] = 0.
Структурная схема системы представлена на рис. 8-2. |
|
Имеем |
F(t)=G(t)=Ii(t) |
= l, |
так |
|
что |
F(t)—G(t)H(t)=0. |
Сле |
довательно, уравнение для дисперсии |
принимает вид: |
|
где Я — скалярная дисперсия |
ошибки |
фильтрации, Переменные |
в уравнении |
разделяются, и его решение имеет вид: |
|
|
|
|
|
2 |
9 |
|
|
|
Р С 1 0 : |
|
|
|
|
|
Оно может быть записано в нормализованном виде
P(t\t)_ 1
. 2
Этот результат представлен графически на рис. 8-3.
Рис. 8-2. Структурная схе |
Рис. |
8-3. Нормализованная диспер |
ма |
скалярной |
системы пер |
сия |
ошибки оптимальной фильтра |
вого |
порядка |
из приме |
ции |
как функция нормализованного |
ра 8-1. |
времени. |
|
Коэффициент передачи фильтра в этом |
случае |
а уравнение |
фильтра, очевидно, имеет вид: |
|
|
х = х + К(0 [2(0 —х]. |
Заметим, |
что при t—>-оо дисперсия |
P(t)—>-0, а K(t)—>-1. |
В установившемся состоянии дисперсия ошибки фильтрации дости
гает нулевого |
значения, но коэффициент передачи не |
стремится |
к нулю, как |
можно было бы предположить. Уравнение |
фильтра |
в установившемся состоянии принимает вид x=z(t), т. е. действие
фильтра сводится к интегрированию. Этот результат представляется достаточно правдоподобным, поскольку из уравнений системы сле
дует, что x — z(t). |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, хотя система x=x+w(t), |
|
неустойчива, фильтр |
оказы |
вается работоспособным, и дисперсия |
ошибки |
при достаточно |
боль |
шом времени фильтрации достигает нуля. |
|
|
|
|
Предположим |
теперь, что для |
упрощения |
фильтра |
принято |
K(t) = \ для всех |
t^O, т. е. на всем |
рабочем |
интервале использует |
ся оптимальный для установившегося |
режима |
коэффициент |
передачи |
фильтра. Оценка |
(уже не оптимальная) |
тогда |
будет иметь вид |
|
о |
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить соответствующую дисперсию ошибки, положим |
в уравнении (8-50) |
F (t) = G (t) = H (t) = |
К (t) = I |
и Q (t)]= |
R (t) = |
= 5 (t) = a 2 , и получим Я = 0. Это значит, что P ( / ) = a2 j для всех t^O. Если дисперсия а2 велика, то фильтр будет приносить до вольно мало пользы, хотя его и относительно просто реализовать, поскольку в нем нет переменного коэффициента передачи. С другой стороны, если о 2 является приемлемой дисперсией ошибки для любого t^O, то такой субоптимальный фильтр можно применять.
8-3. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ В ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКЕ
В настоящем параграфе уравнение Винера —Хоп- фа решается с целью получения алгоритма оптимально го сглаживания в закрепленной точке. Результаты, ко торые будут здесь получены, кроме подтверждения ре зультатов гл. 7, содержат новое дифференциальное уравнение для матрицы передачи сглаживающего филь
тра и два новых дифференциальных |
уравнения для кор |
реляционной матрицы ошибки сглаживания. |
|
|
Метод изложения здесь аналогичен методу изложе |
ния в предыдущем параграфе. Результаты |
настоящего |
параграфа получены |
Медичем [Л. 8-5] в 1967 г. |
|
Требуется получить оптимальную |
оценку |
x(tt\t) |
для |
некоторого закрепленного -ti^t0, |
где t — переменная, |
t^ti. Для U^a^ti |
задачу можно |
рассматривать |
как |
задачу фильтрации. Поэтому можно предположить, что уравнение (8-52) решено на этом интервале и текущая
оценка х(/і|^і) известна. Для |
простоты рассмотрим |
только случай S(t) = 0 при любом |
t^to. |
Для целей сглаживания в закрепленной точке будем считать t1 начальным временем, а x(tt\£,) — начальной
оценкой. Уравнение Винера—Хопфа в этом случае мож но записать в виде
|
t |
|
|
|
E [x (t,) z' (а)] - ( A (t, х) Е [г (x) z' (s)] dx = |
О |
при ^ і ^ с т ^ ^ |
где оптимальное |
сглаживание |
в закреп |
ленной точке |
описывается |
выражением |
|
|
|
t |
|
|
|
x (t, j t) = |
f Л (f, |
t) г (г) dx. |
(8-55) |
Для того чтобы различать весовую матрицу опти мального фильтра, сглаживающего в закрепленной точ ке, и весовую матрицу оптимального фильтра из пре дыдущего раздела, обозначим последнюю через A°(t, т), так что
t |
|
x (t 10 == j Л° (t, т) г (т) dx |
(8-56) |
для всех / > / о И
£ [* (0 z' (а)] - j Л° (^, x) E [z (х) г' (,)] ах = 0 ( 8 . 5 7 )
'о
для всех ta^osS^. Уравнения (8-56) и (8-57), разумеет ся, также справедливы для ti^a^t, если в них заме нить t0 на ti.
|
Фильтр |
|
|
|
|
|
|
|
Начнем, |
как и раньше, с |
рассмотрения |
уравнения |
Винера — Хопфа на интервале ti^a<t, |
и вычислим для |
него частную производную по t: |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jÈ4TLE |
|
\ Z Wz ' Wl dx + A (t,7t) E [z (t) z'(*)]=0. |
(8-58) |
|
Согласно уравнению |
(8-29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ [ 2 ( 0 г , ( а ) ] = Я ( і ) £ [ х ( 0 2 , ( о ) ] |
|
|
для |
/ , < з < [ Л |
Следовательно, |
['уравнение (8-58) |
можно |
записать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IдА |
m %) |
Е |
і г |
w г ' |
rfT+л |
он w£ |
i* w z ' |
= 0 |
для tx <?<^t. |
Подставляя |
в это соотношение |
Е [х{і)г'{і)\ |
из уравнения (8-57), |
получаем: |
|
t |
|
|
|
|
j |
ді— Е t* |
wz' |
wi d z + A С о H (0 |
x |
Л |
|
|
|
|
Х £ л ° ( /, т ) £ [ г ( т ) 2 ' ( э ) ] І х = 0
или, что то же самое
t
(8-59)
Из тех же соображений, из каких была доказана эквивалентность уравнений (8-32) и (8-31), теперь мож но показать, что уравнение
- ^ ^ |
+ A{t,t)H(l)A°{t,T)==0 |
(8-60) |
при T J < T < ^ эквивалентно уравнению (8-59). Дифферен цируя уравнение (8-55) по t, имеем:
t |
|
|
5 (f,) 0 = | Д А Д ( І Л ) z(x)dT |
+ A{t, |
t)z(t). |
Подставляя в это выражение дА (t, x)!dt из уравнения (8-60), получаем уравнение
|
|
t |
x(tx\t) |
= A(t,t)z{l)- |
j" A(t,t)H (/) Л° (t, x) z ( T ) dx = |
|
|
ti |
|
|
t |
= |
A(t,t)z(t)-A{t, |
i)H(t) [Л°(/л)г(г ) а , |
|
|
/, |
которое, в предположении, что оценка (8-56) вычисля ется на интервале £і<;т<^, сводится к уравнению
х{Ц1) = А (t, /) [z (I) - H (0 x (t \ 0] |
(8-61 ) |
для всех t^ty.
Уравнение (8-61) определяет структуру оптимально
го |
фильтра, |
сглаживающего |
|
в закрепленной |
точке. |
Начальным |
условием для этого |
уравнения является те |
кущая оптимальная оценка |
x{t\\t\). |
|
|
Решение |
уравнения |
(8-61) |
можно "формально |
запи |
сать в виде |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ft 10 =Гх ft ) Q + |
J A (x, x) [z (x) - H (x) x (x I x)] rfx |
для |
^ ^ f t . Это решение |
можно |
интерпретировать |
сле |
дующим образом: фильтрация |
заключается в интегри- |
Z(t)-H(t)x(t\t): |
A(t,t) |
f |
Рис. 8-4. Структурная схема оптимального фильтра,
сглаживающего в закрепленной точке.
ровании произведения переменной матрицы передачи на невязку измерения, что показано на рис. 8-4.
Еще раз подчеркнем, что оптимальный фильтр, сгла живающий в закрепленной точке, требует параллельной работы оптимального фильтра, описанного в предыду щем параграфе.
Матрица передачи
Теперь получим выражение для матрицы передачи оптимального фильтра, сглаживающего в закрепленной точке. Как и в § 8-2, начнем с рассмотрения уравнения Винера — Хопфа соответствующего вида для a = t,
t
Е [x ft) z' - j A ft х) Е [г (x) z' {t)} dz = 0. (8-62)
и
Так как здесь предполагается, что случайные про цессы {w(t), t^to} и {v(t), tp>to) независимы, T O S ( 0 = 0
для всех t^t0. Следовательно, уравнение (8-40) можно записать в виде
E[x(ti)z'-(t)] |
= E[x{ti)x'{i)]H'(t), |
(8-63) |
где tp>ti.
|
Уравнение (8-41) сводится к соотношению |
|
Е [z (т) z'(t)] |
= E[z (т) x' (/) ] Н' (/) +.R (О Ô ( * - т ) , |
|
как E[x(x)v'(t)] |
= 0 |
|
t, т > 4 |
(8-64) |
так |
для всех |
a S ( / ) = 0 |
для |
t^t 0 . |
|
|
|
|
|
|
Подставляя в |
(8-62) |
уравнения |
(8-63) и |
(8-64), по |
лучаем: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е[х&)х' |
(01 |
Я ' (0 |
- f Л (t, х) £ [г (x) x' |
(Ol X |
ХЯ'(0 rft — л (f, о/?(о =0.
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
Л (f, 0 Я(0 = |
Е |
| [ * (А) - |
J Л (f, x) z (x) dxl x' (oj Я ' (0 = |
|
|
|
= £[£(*, 10 |
(01 |
|
где использовано |
уравнение |
(8-55) и определены |
ошиб |
ки оценки. |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
A(t, Ц=Е{£{Ь\4)х'У)]Н'У)Я-1у) |
(8-65) |
|
для t^ii, |
так |
как матрица |
R(t) |
положительно опреде |
лена для всех |
t^t 0 . |
|
|
|
|
Вывод окончательных соотношений для матрицы |
Е[хx'(t)] |
|
размера пХп |
является довольно |
трудо |
емким. Однако сравнительно легко получить линейное матричное дифференциальное уравнение, которому эта матрица удовлетворяет. Вначале положим:
|
|
B*(t)=E[x(ti[t)x'(t)]. |
|
|
|
(8-66) |
Далее, |
очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
£*= £[£(*, |о*'(01 |
10 *'(')]. |
(867) |
где точка означает производную по t. |
|
|
|
Так |
как |
x(t1\t) — x(tl) — x(tl\t), |
из уравнений (8-61) |
и (7-2) и из определения ошибки |
фильтрации |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(tl\t) |
= |
— x(t1\t) |
= |
— A(t, t)[z(t)-H{t)x(t\t)} |
|
= |
= |
- |
Л (t, t) [H (0 |
x (0 -f о (0 - |
Я (t)x{t |
\ oi |
= |
|
|
|
= |
- |
A (t, 0 [Я (0 x |
{t 10 + |
V (01. |
|
(8-68) |
так |
как |
E[v{x)w'(t)] |
= 0 |
для |
всех |
/, |
x^ti, |
поскольку |
случайные процессы |
{w(t), |
t^t0} |
и |
{v(t), |
|
t^t0) |
неза |
висимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно уравнению (8-24) |
|
|
|
|
|
|
|
X (х) = Ф (x, t0)x |
(t0) |
- f j |
Ф (x, a) G (a) t« (i) dz |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
для |
всех |
т ^ о - |
Так как {a>(tf), |
|
— чисто |
случайный |
процесс и £[©(a)a/(/)]==Q(^)ô(cr—t), |
отсюда |
сразу |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» ' ( ' ) ] = [ |
°' |
' |
1 < Х < ' : |
|
|
|
|
|
|
|
|
\G(0Q(0, * = |
|
|
|
Подстановка |
этого |
результата |
в |
уравнение |
(8-73) |
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E[x(t, |
|
\t)w'(t)]=0, |
|
|
|
|
а это означает, что уравнение |
(8-72) |
сводится к |
равен |
ству |
|
E[x{ti\t)w'{t)] |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
всех |
t>ti. |
Следовательно, |
уравнение |
(8-71) |
прини |
мает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E [x (f, I t)x'{t)] |
= |
ß* (f) P |
(f). |
|
|
(8-74) |
Подставляя |
уравнения |
(8-70) и |
(8-74) |
в |
уравнение |
(8-67), получаем матричное дифференциальное уравне ние размера пХп:
Ъ* = — А (t, t) H (t) P{t\t) + |
B*F' (t). |
Однако в силу уравнений (8-65), |
(8-66) и (8-53) оче |
видно, что |
|
|
A (t, t)H(t)P(t\t)=B*(t)H'(t)R-4t)H(t)P(t\/) |
= |
= |
B*(t)H'(t)K'(t). |
Следовательно, |
|
|
В* = - В*Н' (t)]K' (t) - f B*F' [t),
или, что то же самое,
B* = B*[F(t)-K{t)H(t)\', |
(8-75) |
где t^ti.
Из уравнения (8-66) и следствия 8-1 получаем На чальное условие для уравнения (8-75):
B*(ti)=E[x(ti\tl)x'(tl)] =
=£ { х ( / і | ^ ) [ г ( ^ | / і ) + і ' ( / і | / і ) ] , } =
=£ { i c ( / i | f 1 ) r ( M f i ) ]
или
Я*(*і)=Я(/і|/і) . |
(8-76) |
После того как уравнение (8-75) решено для |
B*{t), |
t^ti, матрица передачи сглаживающего фильтра |
опре |
деляется выражением |
|
|
A(t, t)=B*(t)H'(t)R-i(t), |
(8-77) |
что следует из уравнений (8-65) |
и (8-66). |
|
Приведенная здесь формула |
для матрицы передачи |
сглаживающего фильтра отличается от формулы, полу
ченной в гл. 7 (см. также задачу 7-10). |
|
Сравнительно |
легко показать, что эти формулы эквивалентны. |
Пусть |
B(t) |
—матрица размера |
пХп: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(t)=B*(t)P-4t\t) |
|
|
|
(8-78) |
в предположении, |
что матрица |
Р _ 1 ( ^ Ю |
существует для |
всех t^ti. |
Отсюда |
следует, |
что уравнение |
(8-77) |
можно |
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(t, |
|
|
i)=B*(*t)P-i(t\t)P(t\t)H'(t)R-i(,t)=B(t)K(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8-79) |
где |
использованы |
уравнения |
(8-78) |
и |
(8-53), |
причем |
последнее при S(i) |
=0. |
|
|
|
почленно по t, по |
|
Дифференцируя |
уравнение |
(8-78) |
лучаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в=в*р-і |
|
+ |
в * ^ - , |
|
|
|
где для удобства записи аргументы опущены. |
|
|
Подставляя соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP~l |
. р - і р р - і |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
~~ |
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение |
(8-75) |
в последнее уравнение, |
получаем: |
|
|
B = |
B* (F - |
КНУР-1 |
- |
В*Р'іРР-г^= |
|
|
= |
B*F'P-1 |
— B*H'K'P~l |
— B*P-lPP-\ |
|
(8-80) |
Для S(t)=0, t^ti |
уравнение (8-54) |
принимает вид: |
P = FP -f |
PF' — PHrR-lHP + |
GQG', |
где также опущены аргументы. Подставляя этот резуль тат и соотношение K=Pti,'R~i в уравнение (8-80), рас крывая скобки и группируя члены, получаем:
|
В = |
В* F' Р'1 - |
В*Н'К'Р-1 |
- В*Р-1 |
(FP + P f |
- |
- |
PH'R-^HP -f-GQG') P-1 = ß * f ' P ~ 1 - |
B^H'R-'H |
- |
_ |
B*P~iF |
— B*F'P~X |
•\-B*H'R-1H |
— B*P-1GQG'P~1 |
= |
=~B*P-1(F-~GQG'P~l).
Но B = B*P~l, |
поэтому |
сразу получаем |
матричное |
дифференциальное |
уравнение |
|
|
|
ß = |
_ В [F (t) + G (0 Q (0 G' (0 P"1 |
10] |
(8-81) |
для t^ti. В |
силу |
уравнений |
(8-78) и (8-76) |
заметим, |
что для уравнения |
(8-81) начальным условием |
является |
|
B(ti)=B*(tl)P-^(tl\ti) |
= |
|
|
|
= Р{к\и)Р-Ци\и)=1 |
|
(8-82) |
— единичная матрица размера |
пХп. |
|
|
Уравнения (8-79), (8-81) и (8-82) аналогичны соот |
ветствующим |
уравнениям |
для |
матрицы передачи филь |
тра, сглаживающего в закрепленной точке, из теоремы 7-4.
Корреляционная матрица ошибки сглаживания
Здесь будут получены три обыкновенных матрич ных дифференциальных уравнения для корреляционной матрицы ошибки сглаживания в закрепленной точке. В каждом из этих уравнений будет присутствовать одна
из матриц |
B*(t), |
B(t) |
или A(t, t). |
|
|
По определению |
|
|
|
|
|
P(ti\t)=E[x(h\t)S,(ti\t)l |
|
|
где t^ti. |
Подставляя |
сюда x(ti\t) |
и |
используя следст |
вие 8-1, имеем: |
|
|
|
|
|
P(tt\t) |
= E {x (t, 11) [x (tt) |
-x(tt |
I 0]'} = |
