для to^a<4, а это означает, что уравнение (8-27) при нимает вид
|
|
E[z{t)z'{a)] |
= H{t)E[x{t)z'{o)} |
|
|
(8-29) |
для |
to<^a<t. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
уравнение |
(8-21) |
можно |
записать |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
-§f^A{t, |
|
х ) £ [ г ( х ) г ' ( з ) ] ^ |
= |
|
|
|
t |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Г дА (t, |
x) Е [ z ( т ) z , ( з |
) ] |
^ 0 / / |
( 0 £ ( ѵ ( 0 |
г , |
( 8 |
3 0 ) |
|
Объединяя уравнения (8-26) и (8-30), получаем част |
ную производную по t |
от (8-19): |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
F (t) E [x (0 г' (a)] - |
j" |
£ [г (x) г' (,)] |
rfx |
- |
|
|
— A(t, |
|
t)H(t)E[x(t)z'(•>)]=() |
|
|
для |
tn<3<^t. |
Подставляя сюда |
E [x (t) z' (т)} ИЗ уравне |
ния |
(8-19), |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
t
[F(t)~A{t, |
t)H{t)]^A{t, |
x) E [z (x) Z' ( I ) ] rfx - |
Ç[F(0i4(/, |
x) |
дА [t, x) |
|
|
|
|
|
или, что то же самое, |
|
|
|
|
— A(t, t)H(t)A{t, |
4)]E[z(%)z'(i)]dt |
= 0 |
(8-31) |
для t0^a<t.
Для того чтобы уравнение (8-31) удовлетворялось, Достаточно, чтобы матрица A (і, т) удовлетворяла урав нению в частных производных вида
F (t) A (t, x) - д Л § т ) - A (t, t) H (t) A (t, x) = 0 (8-32)
на интервале ^ о ^ т ^ ; / , т. е. чтобы выражение |
в скобках |
в уравнении (8-31) было тождественно равно |
нулю на |
интервале интегрирования. |
|
Можно также показать, что уравнение (8-32) пред ставляет собой необходимое условие того, что удовле творяется уравнение (8-31). Пусть B(t, т) означает вы ражение в скобках в уравнении (8-31). Тогда если мат рица A(t, т) удовлетворяет уравнению Винера — Хопфа (8-19), то ему удовлетворяет и матрица A(t, x)+B(t, x). Это значит, что векторы
|
|
t |
|
|
x(t\t) = |
^A(t, |
z)z(z)dz |
и |
|
to |
|
t |
|
|
|
|
|
x*(t\t) |
= ^\A(t, |
i) + |
B(t, T)]z(x)rfx = |
|
h |
t |
|
|
|
|
= |
X(t\t)+ |
Jß(f, |
t)z(x)d-z |
|
|
to |
|
являются оптимальными |
оценками состояния x(t). Од |
нако согласно лемме 8-1 корреляционная матрица раз
ности |
этих |
двух оценок должна обращаться в нуль, т. е. |
|
Е {\х* (t |0 - x (t\ 01 [x* (t\t)-x{t\ |
t)} '} = 0. |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
f [B(f, т1 )Я[г(х,)г'(х2 )]й'(^ |
т 2 )сМт 2 = |
0. |
(8-33) |
|
to to |
|
|
|
|
|
|
|
Однако |
|
|
|
|
|
|
|
|
E [z (т,) z' ( T , ) ] = H (x,) E [x (z,) |
x' ( T , ) ] H' ( T , ) |
+ |
|
|
+ H (x,) E [x (x,) V' K ) ] + |
£ [o (T,) |
(X2)1 Я ' (x2) |
+ |
|
|
+ /?(x1 )8(xI -x2 ). |
|
|
(8-34) |
Первые |
три слагаемые |
в |
правой |
части |
уравнения |
(8-34) |
после подстановки |
(8-34) в |
уравнение |
(8-33) да |
дут |
неотрицательный |
вклад в интеграл, а четвертое сла |
гаемое |
даст положительный вклад, поскольку матрица |
R(xi) |
|
положительно |
определена. Следовательно, для |
того чтобы уравнение (8-33) удовлетворялось, необхо димо выполнение равенства B(t, т ) = 0 для t 0 ^ x ^ t .
Возвращаясь |
к уравнению |
фильтра (8-3) |
при ti = t |
и дифференцируя его почленно по /, имеем: |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x(t\t)=yAft |
т ) |
z{z)dz |
+ |
A(t, |
t)z{t). |
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
Однако |
согласно |
уравнению (8-32) |
|
|
|
|
д А § т). =F{t)A{t, |
z)~A{t, |
t)H(t)A(t, |
z). |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x(t\t)=\ |
\F (t) A (t, T) — A (t, |
t) H (t) A (t, |
x)] z ( T ) ; < / T + |
- f A (t, t) z(t) = F (t) j<0A (t, z) z (x) dz - f t
z(t) — H (0 J A {t, z) z (x) dz
= F(t)x{t\t) |
+ A (t, t) [z (t) |
-H{t)x(t\t)}. |
Полагая К (t) = A(t, t), окончательно имеем:
|
x = F(t)x + |
K(t)lz{t)-H(t)x] |
(8-35) |
для t>t0, |
где x — x(t\t). |
Уравнение |
(8-35) является |
описанием фильтра. Осталось установить начальные условия и выражение для матрицы передачи K(t) раз мера пХт. Ясно, что начальное условие имеет вид:
£ ( f 0 | O = p 4 ( f 0 , |
z)z(z)dz |
to
или, что то же самое,
|
x(t0\t0) |
= 0. |
|
|
Матрица передачи |
|
|
|
Рассмотрим |
уравнение |
Винера — Хопфа |
для a = t |
|
t |
z)E[z(z)z'(t)\dz |
= |
|
E{x(t)z'(t)}~ |
\A(t, |
0. (8-36) |
t'o
Ясно, Ч Т О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
(x (t) z' (/)] = |
Е{х |
(t) [H (i) x(t)+v |
(t)}'} |
= |
|
|
|
= |
E[x |
(0 x' (t)] Я ' (t) + |
E[x (t) и' (t)]. |
|
(8-37) |
Согласно уравнению (6-24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
хЦ)—Ф (/, |
t0) x (/„) - f |
f Ф (/, |
T) G (T) W ( T ) dx, |
|
и отсюда |
следует, что |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
[x (t) V' (t)] = |
Ç Ф (t, |
x) G (x) Я [w (x) y' (0] dx, |
(8-38) |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
так как x(/0 ) не зависит от [v(t), |
t^U}. |
|
|
|
|
Однако |
E[w{x)v'{t)} |
= |
|
S{t)b{t—г.), |
|
|
|
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ [*(0y'(0 ] = G(0S(0. |
|
|
(8-39) |
Уравнение (8-37) теперь принимает вид: |
|
|
|
E[x(t) |
z'(t)} |
= E[x (t) x'{t)W |
(t) + |
G (t)S{t). |
|
(8-40) |
Кроме |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E [z (x) z' (t)} = |
E{z |
(x) [H (t) x(t) |
+ |
v {t)]'} |
= |
|
= Е[г(х)х' |
(t)} H' (t) + |
E[z |
(x) V' (01 = |
E [z (x) x' (t)) H' (t) + |
+ |
E {{H(x) |
X (X) - f |
0 (x)] |
V' (t)} = |
E[z |
(x) x' |
(t)} H' (t) |
+ |
|
|
-f- Я (x) £ |
(x) t-' (0] + |
Я (f) 8 (f - |
x). |
|
(8-41) |
Подставляя в (8-36) уравнения (8-40) |
и (8-41), |
полу |
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E [x (t) x' (t)} H'(t) + G (t) S (t) - |
J A (t, |
x) E [z (x) X |
|
|
|
|
|
t |
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
x' (t)} H'{t)dx- |
|
^A(t, |
x) Я (x) £ |
[JC (x) V' (f)] |
dx — |
|
|
|
t |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
-^A{t,x)R |
|
(08{t - |
0. |
(8-42) |
Ясно, что четвертое слагаемое в левой части обра щается в нуль, поскольку подынтегральное выражение
равно нулю почти на всем интервале [t0, / ] . Это является следствием равенства
|
E[x(x)v'{t)h |
0; |
/=jfcT, |
|
G(t)S(t); |
г = т, |
|
|
которое легко получить из уравнений (8-38) и (8-39). Кроме того,
x)R(t)b(t-x)dx |
= A{t, f)R{t) = |
K{t)R{t). |
to
Поэтому уравнение (8-42) можно представить в виде
|
К (0 R{t) |
= E [x (t) x' |
(t)] H'(t) |
— |
|
- |
t |
x)E[z(x)x'(t)]dxH'{t) |
|
+ |
G{t)S(t)= |
<JA{I, |
|
= E |
\ x(t)- |
^A(t, |
x)z{x)dx |
x'(t) |
І Я ' ( / ) |
+ |
|
IL |
h |
|
|
|
|
|
|
-j-G(t)S(t)=E[x(t\t) |
|
x' (/)] H' (t) -f- |
G(t)S(t). |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x{t)=x(t\t) |
+ |
x(t\t), |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
E[x(t\ |
t)x' (0] = |
E{x(t |
|0 |
(t |0 + л(/101 '} |
= |
|
= |
|
|0 x'(t\t)] |
= |
P(t\t), |
|
где Р ( / 1 0 — корреляционная матрица ошибки фильтрации,
а слагаемое E [x (t\t) x' (t\t)] обращается в нуль в силу следствия 8-1.
Теперь
K(t)R(t)=P(t\t)H'(t) |
+ |
G(t)S(t). |
Решая это уравнение относительно K{t), получаем:
К (t) ={Р (t 11) Я ' (t)+G(t)S (t)] R-1 (t) |
(8-43) |
для t^to. Для вычисления матрицы передачи оптималь ного фильтра необходимо, чтобы матрица R(t) была положительно определена. Однако читатель должен
иметь ввиду, |
что без положительной определенности R |
(t) |
невозможно |
также |
доказать |
необходимость |
уравнения |
(8-30) при выводе уравнения фильтра. |
|
|
|
|
|
Напомним, |
что |
уравнение |
Винера — Хопфа |
при |
вы |
воде уравнения фильтра |
решалось |
на интервале |
to^<y<t. |
Случай |
a=t |
|
рассматривался |
только |
для |
вычисления |
матрицы |
передачи |
фильтра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Корреляционная |
|
матрица |
ошибки |
фильтрации |
|
|
Ошибка фильтрации и скорость ее изменения со |
ставляют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(f\t) |
= x(t)-x(t\t); |
|
|
|
(8-44) |
|
|
|
|
x(t\f) |
= |
x(f)—x(t}t). |
|
|
|
(8-45) |
Подставляя уравнения (7-1), (7-2) и (8-35) в урав |
нение (8-45), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
F{t)x |
+ |
G{t)w{t)-F{fi'x |
— K (0 [2 {t) - |
H |
{t)x] |
= |
= |
F(t)x |
+ |
G(t)w |
{t) - |
|
К (t) [H (t)x-r-v |
(t) - |
H (t) x] |
= |
|
= |
[F(f) - K(t)H(t)}x |
+ |
G(t)w(f) |
— K(t)V(0 |
(8-46) |
для |
t^to. |
Согласно |
уравнению |
(8-44) |
x(to\to) |
= |
x(ta)— |
—x(to\to) |
=x(tQ). |
Следовательно, |
x(t0\t0)—случайный |
гауссовский n-вектор с нулевым средним и корреляцион ной матрицей
P(t0\t0)=E[S{t0\to)S,(to\to)] |
= E[x(t0)x'(t0)] |
= P(t0). |
Так как процессы {w(t), |
t^t0} |
и {v(t), |
t^U) |
пред |
ставляют собой гауссовские белые шумы |
с нулевыми |
математическими ожиданиями, то |
из § 4-3 |
следует, что |
случайный процесс, описываемый уравнением (8-46), является гауссовским марковским процессом с нулевым средним. Следовательно, этот процесс полностью харак теризуется своей корреляционной матрицей, для кото рой здесь будет получено матричное дифференциальное уравнение.
Пусть Х Р(^, т) означает переходную матрицу состоя ния системы (8-46), a C(t) =F(t)—K{t)H(t). Тогда ре-
шение уравнения можно записать в виде
л (ф) = ЧГ (t, tQ) x (t01 Q+ f 47 (t, x) [G (x) a, (x) -
h
- / Ç ( x ) o ( x ) ] d T .
Далее
|
P(t\t) |
= E [x(t\t)x'{t\t)} |
= |
|
= |
¥('. t0)E[x(t0\ta)x'(t0\t0)]W'(t, |
g |
+ |
+ |
£ J Ç ЧГ (f, |
x) [G (x) ш (x) - К (x) о (x)] |
dxX |
|
u0 |
|
|
|
где взаимная корреляция элементов случайного вектора
x(t0\t0) |
|
и случайных |
процессов {w(i), |
t^O} |
и |
{v(t), |
t^U) |
отсутствует, |
поскольку x(t0\l0) |
=x(t0) |
не |
зависит |
от этих двух процессов. |
|
|
|
|
|
|
Вспоминая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
E[x(to\to)x'(to\to)] |
= P(to); |
E[w(t)w'(x)] |
|
= Q(t)à{t |
|
т); |
E [v (t) v'(x)] = R(t) |
ô (t-x) |
; E [w (t) v' (x)] = S(t) ô |
(t—x), |
можно привести уравнение (8-47) к виду |
|
|
|
|
|
|
P(t\t) |
= |
w(t, |
t0)P(t0)W(t, |
о |
+ |
|
|
|
|
+ |
f W (t, x) [G (x) Q (x) G' (x) - f К (x) /? (x) /С' (x) |
- |
|
- |
G (x) S (x) |
(x) - К (x) S' (x) G' (x)] 47' (f, |
x) G?X |
(8-48) |
для г1 |
г? г0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (8-48) |
описывает корреляционную |
матри |
цу ошибки фильтрации для фильтра с произвольной матрицей передачи. Однако для матрицы передачи опти мального фильтра К{х)=[Р{х\х)Н'(х) + 0(х)8{х)№-*(г)
оно является интегральным уравнением относительно
матрицы |
P{t\t) и поэтому применять |
его для вычисле |
ния P(t\t) |
нецелесообразно. |
уравнение (8-48) |
Более |
логично попытаться свести |
к дифференциальному уравнению, дифференцируя ег о
Решение уравнения (8-50) при начальном условии P{to\to)=P{to) представляет собой корреляционную матрицу ошибки фильтрации для фильтра (8-35). Под черкнем, что уравнение (8-50) справедливо для матрицы передачи любого фильтра. Если же используется опти мальная матрица К ( 1 ) , то уравнение (8-50) можно упро стить следующим образом. Раскрывая скобки и группи руя члены, можно записать уравнение в виде
|
|
|
|
|
|
|
P—F |
(t) P—K(t) |
H (t) P + PF' (t) —PH' (t) К' (t) + |
+ K(t)R(t)K/{t)-G(t)S(t)K'(t)-K(t)S'{t)G'(t) |
|
+ |
+ G(t)Q(t) |
G'(t)=F{t)P |
+ PF'{t)-K(t){PH'{t) |
+ |
+ |
G(t)S(t)]'-{PH'(t)+G(t)S(t)]K'(t) |
+ |
|
|
+ |
|
K(t)R(t)K'(t)+G(t)Q(t)G'{t). |
|
Подставляя |
в |
это уравнение |
K{t) —[P(t\t)H'(t) |
+ |
+ G{t)S{t)]R-i{t), |
|
получаем: |
|
|
P = F{t)P |
+ PF'{t)—[PH'{t) |
+ |
G{t)S(t)]R-i{t)x |
|
X[PH' |
(t) + G (0 S (t)]' + G(t) Q (t) G' (t). |
|
Так как матрица P неизвестна, более удобно пред ставить это уравнение в следующем виде:
|
P=[F(t)-G(t)S(t)R-Ht)H(t)]P |
+ |
+ |
P[F(t)-G(t)S(t)R-i(t)H(t)]'-PH'(t)R-i(t)X |
XHWP+GitttQW-S^R-iWS'itWit), |
(8-51) |
где t^to, |
а начальное условие P{U\to) |
=P(U). |
Выводы
Сформулируем результаты параграфа в виде сле дующей теоремы.
Теорема 8-2.
1) |
Оптимальный |
непрерывный |
фильтр |
для |
случая, |
когда |
гауссовские |
белые |
шумы |
коррелированы |
и |
E[w(t)v' |
{r)] = S (t) Ь (t—т), |
описывается |
уравнением |
|
|
x = F (0 x + К (t) [z (t) - |
H (0 Je] |
(8-52) |
для t~~~ |
ta, где x=x(t\t), |
при |
начальном |
условии |
x(tü\t0)—Q\ |
матрица |
передачи фильтра |
размера |
пХп |
определяется с помощью |
соотношения |
K(t)=[P(t\t)H'(t) |
+ G(t)S(t)] |
где |
P(t\t) |
— корреляционная |
|
матрица |
размера |
пхп |
ошибки |
фильтрации |
x(t\t) |
=x(t)—x(t\t), |
|
t^t 0 . |
гаус |
|
2) |
Случайный |
процесс |
{x(t\t), |
t^U} |
является |
совским |
марковским |
процессом |
с |
нулевым |
средним и |
корреляционной |
матрицей, |
удовлетворяющей |
матрично |
му |
дифференциальному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
P = |
[F(i)-G{t)S(f)R-*(f)H(t)]P |
|
|
+ |
|
P[F(t)- |
|
- |
G (О S (t) Z?"1 |
(О Я (О]' - |
PH' (О R-1 |
(t) H (t) P |
+ |
|
|
|
+ G (t) [Q (0 — S (t) R-1 |
(t) S' {t)) G' (t) |
(8-54) |
для |
t^to, |
где P = P(t\t), |
при |
|
|
P(t0\k)=P(to)=E[x(t0)X |
Xx'{U)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая эти |
результаты |
с |
результатами, получен |
ными в теореме 7-1, можно убедиться, что уравнение
фильтра имеет одинаковый |
Вид вне зависимости |
от того, |
являются |
процессы |
{w(t), |
t^U) |
и {v(t), |
t~^t0} |
независи |
мыми или нет, но выражения |
для |
матрицы |
передачи |
различаются. Однако |
если эти два процесса |
независимы, |
т. е. S(t)—0 |
для t^t 0 , |
то |
приведенные |
здесь |
результа |
ты |
сводятся |
к результатам |
теоремы |
7-1, как и следовало |
ожидать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8-1. Пусть вектор |
возмущения |
системы |
w(t) |
и вектор |
ошибки |
измерения v(t) |
имеют |
одинаковое |
число компонент |
р=т |
и гауссовский белый шум, являющийся возмущением |
|
системы, |
так |
же искажает измерения. Это означает, |
что три рассматриваемые |
корреляционные |
матрицы |
равны, т. е. |
Q(t)=R(t)=S(t) |
|
|
для |
всех |
i^-U |
(все матрицы размера тхт). |
Предположим, |
|
что |
матрица |
Q(t) |
положительно определена для всех t^tf,. |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
сразу следует, что |
S(t)R-i(t)—Q(t)Q-l(t)=I, |
|
|
единич |
ная |
матрица |
размера тхт, |
a Q(t)—S(t)R-i(t)S(t) |
= Q(l)— |
Q{t) = 0, |
нулевая |
матрица размера |
тхт. |
В |
этом случае |
матрица |
передачи |
фильтра |
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(l)=P(t\t)H'(t)Q-i(t) |
|
+ |
G(t), |
|
|
|
|
|
и уравнение (8-54) для корреляционной матрицы |
ошибки фильтра |
ции принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
P = [F (0 - G (0 |
H |
(t)] P + |
P\F(t)-G |
(t) |
H (t)]' |
- |
— PH' |
(t)Q-1 |
{t) H (t)P. |
|
|
|
В качестве частного |
случая рассмотрим |
скалярную |
стационар |
ную систему
z(t)=x(t)+w(t)
