книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

Необходимость.

Подставляя

уравнение

(8-7) в урав­

нение (8-6), получаем:

J

[хЦШ = S P

| E [ X

ft)*'(Ol

-

- 2 f £ [ * f t ) z ' ( ' ) l H f t ,

3 ) + еЛе (^„

?)}'di +

to

i

t

+ f

[Л

ft, т ) + е Л , ( * „

x)]dxj £ [z(x)z'(^)]X

X H f t ,

з) +

еЛе (г„ 3 )]'d3 J.

(8-8)

Отсюда

следует,

что

j£-=

Sp j

- 2 j

£

[x ft) г' (3 )] Л'. ft,

з) X

Х

Л +

[ [ Л

ft,

T ) +

B ^ f t ,

х)] Х

t

'о

Xdx f £ [ z ( T ) , ' 0 ) ] ^ 6 f t ,

3 ) Л +

' t

+ | Л ft,

x)tfx j £ [ z ( x ) Z ' 0 ) ] H f t . 3 ) +

4 f t ,

а)]'Л

Полагая (дУ/де)| е = 0

= 0,

получаем

r

t

t

Sp

f A (f,,

т) dx

f E [z (x) z'

A \

{tt,

a) dz

-

К

)

Изменяя порядок интегрирования

в первом

слагаемом

в левой части и умножая обе части

уравнения

на — 1 ,

получаем:

Sp

f І£[л(Ог'(3 )]-

[Л(г„

т)£[г(т)2'(3)]ЛІХ

= 0.

(8-9)

Уравнение

(8-9)

должно

выполняться

для любой

весо­

вой матрицы Ae(tlt

т). Следовательно, оно выполняется

тогда и только тогда, когда матрица

A (ti, т)

удовлетво­

ряет

соотношению

E[x(tt)z'(?)]

—

\A(t,,

т)Е[г(х)г'(т)\ач

=

0

для всех

h

ta<=3-it.

Достаточность.

Раскрывая

скобки

в

уравнении

(8-8),

получаем:

J [x (t, 11)] =

Sp [ E [X (*,) x'

(t,)} ~2\E\x

(Q

z'

(*)]

X

{

(

i.

XA'{U,

a)ds — 2s

\E[x(t,)z'{?)]A\(t„

a)rf*

+

h

t

t

+

J A (*„

x)4x

f £

[2 (x) г' (З)] Л'

a) Л

+

t

t

Л ' (tl f a) do

+

e J Л , (*lf

T) dx f £ [2

(т) г' (3)]

+

+ в | л ( / „

T)dx^E[z(x)z'^)]A',(tlt

°)ds

+

to

t

U

+

. * J

A , V 1

,

x)rfxj

£ [z (x) Z ' ( » ) M ' . ( * „ 9 )<feJ.

(8-10)

ния

(8-6), то можно

убедиться, что

эта

сумма

равна

среднеквадратической

ошибке

для

весовой матрицы

A(t,

т), т. е. минимальной среднеквадратической

ошиб­

ке. Обозначим ее

J°[x(ti\t)].

Так как пятое

слагаемое

получено

транспонирова­

уравнения (8-11)

делает это

слагаемое положительным.

Теперь ясно, что если

E[x(t,)z'V)]-

t

T)E[z{z)z'(,)\dz

= 0

[ Л ( ^ ,

h

для всех to^o^t,

то второе

слагаемое

в правой части

уравнения (8-11)

обращается

в нуль и

нения

Винера — Хопфа, что и будет сделано в

§ 8-2

и 8-3.

Легко найти качественные аргументы в пользу

урав­

нения

Винера — Хопфа. Во-первых, здесь утверждается,

утверждается,

что

корреляционная

матрица

разности

двух оптимальных оценок равна нулевой матрице.

Лемма 8-1. Пусть

x(tt\t)

и -**(г,|

t) —

оптимальные

оценки

состояния x{tx).

Тогда

E

{[X (f, \t)-x*

(t,

11)) [S (M Z) - x*

С I 01 '} =

0-

(8-14)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

x{tt

\t) =

x(tA —x

(t, \t)

и x*(t1\t)

= x(t1)

— x*(t^t).

Согласно

следствию

8-1

Е[х(^\^х'(Ц^}

=

0;

(8-15)

£ И М

0 >

(M

0 1 = 0 .

(8-16)

Важно заметить, что здесь рассматривается

изме­

нение а только на

полуинтервале

вида

[to, t).

Случай

a=t

будет рассматриваться

отдельно по

причинам, яс­

ным из дальнейшего.

(8-19) по t,

Дифференцируя

левую

часть уравнения

получаем два слагаемых:

^fE[x(t)z'

(a)] = E[x{t)z'

(а)] = Е {[F (t) X {t)

+

+

G (t) w (01 z' Щ =F(t)E

[x (f) z' (,)] + G(t)E

[w (t) z' (,)];

t

(8-20)

T)£[z(x)z'(3 )]rfx =

~^А(І,

t

= = |ІеЬ _ 1я [2 (х)г'(с»)] Л + Л(/, t)E[z(t)z'(a)]t

(8-21)

t.

где

г 0 < а < г .

Рассмотрим последнее

слагаемое в уравнении (8-20).

Из (7-2) имеем:

так что

z' (а) =х'{а)Н'{а)

+ ѵ' (о),

(8-22)

Е [w

{t)z'{e)]=E{w(t)x'{o)}H'(a)+E{w{t)v'{o)l

Поскольку

a<t,

то E[w(t)v'(а)]

= 0. Поэтому

E[w{t)z'{a)\=E{w{t)x'{o)\H'{o).

(8-23)

Решение уравнения (7-1)

можно представить

в виде

X (а) =

Ф (a, Q X (/„) + [ Ф (а,

x) G (x) w (х) Л ,

(8-24)

І

где

Ф'(а, т)—переходная

матрица

состояния.

Используя этот результат,

получаем:

Е [w {t) X' (о)} = E[W (0 x' (t0)} Ф' (a,

Q

+

а

+ jE№V)ш'(х)1G'С")ф'(°« т ) d % -

Первое слагаемое в правой части этого соотношения

обращается в нуль,

так как x(t0)

не зависит от

{w(t),