книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

x(t0\ *о)=0

В(в) с

X(t\t+T) +

G = tn + T

Fft)

A(t)

x(to\to)=0

x(e s)

z(e)

t—s-т

320

чальных условий x(t0\t0 + T). Ясно, что фильтр, сглажи­ вающий в закрепленной точке, не должен работать при

матрицей передачи фильтра, сглаживающего на закреп­ ленном интервале, присутствует в уравнениях (7-71 ) — (7-73). Здесь, однако, ее следует вычислять в прямом времени. Обращения матрицы P(t\t) можно избежать, непосредственно решая уравнение (7-52) с начальным

с постоянным запаздыванием представляет собой систе­ му п2 обыкновенных линейных дифференциальных урав­ нений. Начальными условиями для этих уравнений яв­ ляются п2 элементов матрицы B(t0 + T), которая может быть получена только после предварительного решения уравнения (7-58) на интервале t0^t<^t0 + T.

Аналогичная ситуация возникает при расчете на­ чальных условий для уравнения (7-73).

Пример 7-6. Рассмотрим сглаживание с постоянным запазды­ ванием для простой системы связи, в которой передаваемое сооб­ щение можно представить как выходной сигнал интегратора с вход­ ным сигналом в виде белого шума с нулевым средним. Уравнение

Заметим, что эта модель является частным случаем модели из примера 7-1 при а—0. Из примера 7-1 имеем:

Рі = »«j't,; Рг = — Vw°v>

Тогда дисперсия ошибки оптимальной фильтрации составит:

ИЛИ

для ^ О . Кроме того, имеем:

Теперь получим используемые в дальнейшем выражения для коэффициента передачи и дисперсии ошибки оптимального сглажи­ вания в закрепленной точке. Из уравнения (7-58) имеем:

322

ние можно оценить с такой же точностью, как и текущее, если начать оценку с момента /=0 при произвольно большой дисперсии

где y — постоянная интегрирования. Для £=0, C(T) =В(Т) =sch \iT.

Следовательно,

Уравнение (7-78) имеет стандартную форму обыкновенного ли­ нейного дифференциального уравнения первого порядка, решение которого можно записать в виде

где

h (0 = - ° 1 П + c h 2 ^ c s < * 2 M ' + 7)];

Ц — постоянная интегрирования, a с(0—интегрирующий множитель

вида

1

= exp (— 2 ln ch \xt) = -^Щц = sch2 \xt.

оценки до 50% по сравнению с возможной дисперсией ошибки оптимальной фильтрации.

где x (0 10) = 0 и t = а — T.

324

x(o\0) = 0

В (а)

x(t\t + T)

C<t + T)

s = r

A(t)

£(o\o)=a

x(s I s)

БЗ T

Рис. 7-9. Оптимальный сглаживающий фильтр с постоянным запаздыванием из примера 7-6 (ключ К замкнут только в мо­ мент 0 = 7").

Структурная схема фильтра, соответствующая этим уравнениям, приведена на рис. 7-9.

Следует заметить, что здесь для К(а) следует применить какую-

либо аппроксимацию при малых 0, так как К(0) = оо в силу пред­

положения Яд ^ > аюаѵ.

З А Д А Ч И К ГЛ. 7

7-1. Применить процедуру предельного перехода, использован­ ную в настоящей главе, к результатам задачи 5-11 и показать, что уравнения оптимальной фильтрации в этом случае принимают вид:

тические ожидания и присутствует известное управление u(t)7 За­ метим, что уравнение (7-1) для этой задачи принимает вид:

x=F(t)x+G(t)w(t)+C(t)u(i).

325

7-3. Если в уравнении (7-7) фигурирует произвольная матрица

ние для соответствующей корреляционной матрицы ошибки? Явля­

имеют ненулевые математические ожидания и присутствует извест­

стемы из примера 7-6 и составить структурную схему сглаживаю­

зать, что этот процесс является гауссовским марковским второго порядка.

где t ^ t i . Заметим, что эта формулировка позволяет избежать вы­

числения Р _ 1 ( ф ) .

7-11. Рассмотреть систему из примера 7-1 при а = 0 и О д = о № в щ .

а) Для задачи оптимальной фильтрации показать, что в этом примере

P (t 11) = Яд и К (t) = .ч = а щ 5 , для всех t 5> 0.

б) Замечая, что оптимальный фильтр представляет линейную стационарную систему, определить ее передаточную функцию и по­ казать, как можно реализовать фильтр в виде простой RC-uenn.

326

в) Для оптимального сглаживания в закрепленной точке при

д) Составить структурную схему объединенного оптимального фильтра и оптимальных фильтров, сглаживающих в закрепленной точке и с постоянным запаздыванием.

7-12. Доказать теорему 7-5.

7-13. Показать, что при нулевом запаздывании (Г=0) утверж­ дение теоремы 7-5 сводится к утверждению теоремы 7-1.

Г л а в а в о с ь м а я

ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ. АНАЛОГОВЫЕ

АЛГОРИТМЫ

В настоящей главе рассматривается иной подход к задаче оценки в непрерывных линейных системах по сравнению с методами предыдущей главы. Здесь задача с самого начала решается в непрерывном времени без обращения к процедуре предельного перехода. Полу­ ченные результаты совпадают с результатами, получен­ ными в гл. 7.

После постановки задачи будет получено матричное интегральное уравнение, представляющее собой необхо­ димое и достаточное условие оптимальности оценки. Это интегральное уравнение, называемое уравнением Винера — Хопфа, выводится здесь с использованием классических вариационных методов. В остальных пара­ графах главы уравнение Винера — Хопфа решается для задач оптимальной фильтрации и оптимального сглажи­ вания в закрепленной точке. Решение остальных задач предоставляется читателю в качестве упражнения, по­ скольку эти результаты известны из гл. 7.

8-1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В И Н Е Р А — Х О П Ф А

Вначале рассмотрим задачу оптимальной оценки, несколько отличную от задачи § 7-1. Предположим, что состояние является непрерывным гауссовский процессом

327

с нулевым средним {x(t), t^t0}, где х — «-вектор, a t0— заданное начальное время. Очевидно, что случайный

ная положительно определенная матрица. Предполага­

оценка отыскивается в классе линейных оценок. Каче­ ственным обоснованием такого ограничения является

328

теорема 5-2, свойства оптимальных оценок на стр. 185, уравнение (5-12), полученное для оптимальных оце­ нок гауссовских процессов с дискретным временем и обсуждение результатов § 7-3 (стр. 291). Действительно, уравнение (8-3) является непрерывным аналогом урав­ нения (5-12). С его помощью оптимальную оценку мож­ но интерпретировать как выходной сигнал нестационар­ ной линейной системы с входным воздействием в виде

Рис. 8-1. Представление оптимальной си­ стемы оценки в виде нестационарной ли­ нейной системы.

облегчит задачу оптимизации и позволит получить про­ стые и эффективные алгоритмы оценки. Такая точка зрения принята в классической теории управления, ког­ да заранее фиксируется структура системы управления, а ее параметры подбираются впоследствии с целью

качества вида среднеквадратической ошибки (8-2), но и для любого критерия качества вида

329