книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

мальная оценка

вида

x(ti\t),

t^ti.

виде {t,

t = ti +

jAt;

Определим

дискретное

время

в

/ = 0 ,

1 . . . } , где

Д*>0.

Теорема 7-4.

[ Л .

7-3].

1 ) Оптимальное

сглаживание

в

закрепленной

точке

для

системы, (7-1),

(7-2)

описывается

дифференциаль­

ным

уравнением

x (tt\t)

= ; я

(о к (t)

[z

(t)—

H (t) x

(t\t)\

(7-57)

при

t>t^,

где

К {t) —матрица

передачи

оптимального

фильтра;

x(tx\t^)

— начальное

условие,

а В (t) —

матрица

передачи

оптимального

фильтра,

сглаживающего

в

за­

крепленной

точке, размера

пХп.

2)

Матрица

B(t)

является

решением

матричного

линейного

дифференциального

уравнения

B =

-B[F{t)

+

A(t)},

(7-58)

где t ^ t u

B(ti)=I,

a

A(t)

= G (t) Q (t)

G' (t) P~l

(t\t).

=

3)

Случайный

процесс

{x(h\t),

t^ti},

где x(ti\t)

= x(ti)—x(t\\t)—ошибка

сглаживания

в

закрепленной

точке, является

гауссовским

марковским

процессом

вто­

рого

порядка

с нулевым

средним

и

корреляционной

матрицей,

удовлетворяющей

матричному

линейному

диф­

ференциальному

уравнению

Р ( f , \ f ) = - B ( t ) К (t) R (t) К' {t) В' (t),

(7-59)

t^ti,

с начальным

условием

вида P(ti\ti)

= E[x(U\U)

X

Xx'{U\U)l

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заменяя в

уравнениях

(6-76)

и (6-77) теоремы 6-2 индекс k

на tit

j

на / + А/

и ;—1

на /, получаем.

*(Ог + Д0 = *(О 0 +

Я('

+

д о х

X [x(t - f д ^ + д о ~ x(t

+

Д'Ю1;

(7-6 °)

б(^ +

Д 0 = [ ] Л(,),

(7-61)

где

А(х)*

= Р(х\г)Ф'(х

+ М,

х)Р-Цх+М\х),

(7-62)

t = ti + jAt, / = 0,

1 ... ; т = 0 + Ш ,

i = 0,

1 .. .

Из

доказательства

теоремы

для оптимальной

филь­

трации

следует:

x {t -f- At\t +

ДО - Je (f +

Д* 10 =

/С (r - f ДО [2 (f-j-

At) —

-

Я (/ -f ДО Ф (t - f А/, 0 * Ш •

Поэтому

уравнение

(7-60) можно записать

в виде

x (t, 11 + ДО -

x (/, Ю = B(t + àf)K{t-\-

At) \z (t - f At) -

~

H (t + ДО Ф (f +

Дг, 0 *

|0].

откуда для / ^ О следует:

л (*,|0 = В (О К (0 [г (0 — H(t)x

(t\t)\,

(7-63)

если существует

предел

lim

ß(r + AO = ß(0-

B(t

+ At){I +{F (t)

+ G (t) Q (t) G' (t) p-i(t\t)]At

+

+

0(At2)}

=

B(t).

Группируя члены, имеем:

B(t

+ At)—B(t)=—B(t

+ At) {[F (t) +

+ G (t) Q(t) G' (t) P-i

(t\t)]At + 0

(At2)}.

Наконец,

разделив

обе части

последнего

уравнения

на

и

переходя

к пределу

при At—»~0, получим:

В =

-

В [F (() + G {t) Q (f) G' {t) P-1

{Щ

Так как

В{и+А*)=А{Ь).

lim

B(t1 +

M) =

B(t1),

то ясно, что

д/->о

В(^,) =

1ітЛ(^) .

Д<-»0

Но из уравнения

(7-62)

имеем:

lim

Л ft) =

Ига Р & І О Ф ' +

іі)Р'1{іі

+ Щі)

= 1-

Д<->0

Д<-»0

Следовательно,

требуемое начальное

условие

имеет

ВИД

Д ( * і ) = / .

ковского процесса

второго порядка {x(ti\t),

где

x(t\\t)=x(t\)-—x(ti\t)

ошибка сглаживания

в закреп­

ренциальное

уравнение

для

P(ti\t)

=E[x(U\t)x'(ti\t)].

Если в

уравнении

(6-80)

теоремы

6-2 заменить k

на ti, j на t + At,

а /—1

на t, то получим

уравнение

P{ti\t

+ M)—P(ti\t)=—B{t

+ At)K{t +

M)x

XH(t+At)P(t

+ At\t)B'(t

+

At).

Разделив его на At и перейдя к пределу при At—»-0,

получим:

P (МО =

-

в (О P (t\t) Н' (о R ' 1

( о н (о P (t\t) В' (о (7-65)

для t^ti,

где использованы ранее вычисленные

пределы

Um Я

- f ДО = ß

(0.

lim

K

{ t + à t )

=

P(t\t)H'(ty.R

- ' ( 0 ;

Д<-ѵ0

й

1

lim P(t-{-At\t)

=

P{t\t).

Из уравнения

(7-8)

следует:

K(t)=P(t\t)H'(t)R-i(t)

H{t)P(i\t)=R(t)K'(t).

Подставляя

два

последних

соотношения

в

уравне­

ние (7-65), получаем требуемый результат:

Я ( М 0 = -

В (t)K(t)

R(t)K'{t)

B'(t).

мации. Его работа не зависит

от того,

известно или нет

t = t,

~

'

x(t,\t)

X(to\to)=0^7ç>

Zft)

4 ?

• x(t\t)

можно

одновременно

с x(l\\t) вычислять

P(ti\t)

и пре­

рывать

сглаживание,

например, в тот

момент,

когда

след

матрицы

P(ty\t),

представляющий

собой

средний

квадрат

модуля ошибки

сглаживания

в

закрепленной

точке,

окажется

меньше

заданного порога. С этого мо­

вание в некоторой

новой

точке

tt.

В этой связи следует

заметить,

что вычисление

матрицы P(ti\t)

достаточно

просто, поскольку согласно уравнению (7-59)

P (МО =

P (MA) -

Ç В (х) К (x) R ' ' (х) К' (х) В' (т) dz,

где t^ti.

t\

Заметим

также,

что

если

выражение

(7-30) для

матрицы

передачи

оптимального

фильтра,

сглажпваю-

системой и2 уравнений. Более

того, в коэффициент при

матрице В в уравнении

(7-58)

входит

обратная матри­

ца P~l(t\t)

со всеми вытекающими

отсюда вычислитель­

ными трудностями. Эти трудности

можно частично

обой­

ти, решая уравнение (7-52) и получая

непосредственно

матрицу M (t) =P-l(t\t),

i~^U.

В этом случае

начальное

условие для уравнения (7-52)

имеет вид M(ti)

= P _ 1 (*iUi) -

Ясно, что матрица

P(ti\ti)

должна в этом случае

быть

несингулярной.

Можно

также

определить

матрицу

передачи

филь­

метода,

в

котором

полностью

отсутствует

матрица

P-^tlt).

Этот

метод приведен

в задаче

7-10, он

также

будет рассмотрен в § 8-3.

Пример

7-5. Исследуем

задачу

сглаживания

в

закрепленной

точке для того же класса

систем,

какой

рассматривался

в

примере

7-3, а именно для класса

систем

без

внутренних

шумов,

т. е. при

Q(0=0 для всех

t^to.

Полагая, что матрица

P{t\t)

несингулярна

для всех

t^tu по­

лучаем:

G(t)Q(t)G'(t)P-i(t]t)=0,

так что уравнение

(7-58) при B(ti)=I

принимает вид:

B = —BF(t).

(7-66)

Легко

убедиться,

что решением этого

уравнения

будет

матрица

B{t)=0(tu

t)

(7-67)

для t ^ t i ,

где

Ф(/і,

t) — переходная

матрица

состояния

системы

Подставляя

в (7-57) уравнение

(7-67),

имеем:

*(*,

I о=Ф ( * . . 0 * ( 0

\z{t)-H{t)x(t

I 0].

Однако

согласно уравнению (7-7)

К

(t) [z{t)-H

(t) x(t

\t)] = x(i\ ()- F (t)

x(t\t).

Поэтому

x(tt

| 0

= Ф ( * , .

0

[x(t

\t)-F(t)

x(t\

t)]

=

=

Ф(*„ t)x(t

I 0 - Ф ( ' і .

t)F(t)x{t

1 *)•

I 0 = Ф(Л.0*(< I 0 + Ф(Л.О *(* 10 =

=^ - [Ф (/,,0*(<

I 0]

и отсюда

сразу следует, что

х ( М 0 = Ф(<і . 0*('І0

(7 -6 8 )

для t^ti.

Следовательно, если Q(l)=0,

то оптимальное

сглажива­

P(ti

і)=—

Ф ( / І , t)P(t\t)H'(t)R-*(t)H{t)P(t\t)«$'(tu

t).

Но из уравнения

(7-9)

следует, что

—

P(t

I t)H'

(t)R-4t)H{t)P(t

I 0

=

= P(t\t)-F[t)P(t\t)-P{t\t)F'

(0,

если

Q(l)=0.

Тогда

ясно, что

P(h

I t)

=

<b(tl.t)P{t

I 0Ф' (<і.0-Ф('і. t)F(t)P{f

I 0 Ф ' ( ' і . 0 -

- Ф ( ( І

, І ) Р ( І

i t)F>(t)V{t,

I о = Ф('і.О^С

I ОФ'(Л.О +

+

é(tl,t)P(t\

t) Ф' (t,, о + Ф (/,. 0 P CI

0 Ф' (<і.

0 =

£=—ах,

(7-70)

где a=const>0. Примем ^о=0 и предположим,

что начальная кон­

где

[v(t),

/3*0}—скалярный гауссовский белый шум с нулевым сред­

ним и дисперсией

о^, независимый от х (0).

Так

как требуется

уточнить

значение

х(0),

положим

/і = /о=0.

ет

Задача

фильтрации,

которую

следует решить

сначала,

совпада­

с задачей

из примера 7-1, за исключением того, что здесь Q(0 =

— a2w = 0, а

х(0)

имеет

ненулевое математическое

ожидание.

Из примера 7-1 имеем:

Рі = ( - в +

^а»")<»*=0;

Н2 = (— а — V~äF) z\

= — 2аа\

4

+

^ 4

'

так что

PV\t)=7—T2

fag/(ag -f 2т\

M* " f " «

(°o + 2a°l

) - аУ2a''

Уравнение оптимального фильтра имеет вид:

x(t\t)

= -ax(t\t)

+

K(t)

[г(0

- * ( / | 0 ]

для

/3=0

при х (0 | 0) =

х (0),

где учитывается тот

факт,

что х (0)

имеет

ненулевое

математическое

ожидание.

Для

системы

(7-70)

имеем:

где

/ : - 0.

Ф(<,, <) = Ф(о, о = «°*.

(7-68)

и (7-69)

следует, что

Из

уравнений

x(0\t)=e°*x(t\t)

(о |о

2а

р

Замечая, что постоянная времени химической реакции Т=\/а

й

полагая,

что реакция

в

основном заканчивается за время t = 4T,

имеем

2а°1

2

в качестве предела точности

оценки

начальной

концентрации,

при

условии,

что дисперсия

а2,

произвольно велика.

7-6. ОПТИМАЛЬНОЕ

СГЛАЖИВАНИЕ С ПОСТОЯННЫМ

З А П А З Д Ы В А Н И Е М

В заключение главы исследуем задачу оптималь­

ного сглаживания с постоянным запаздыванием

для

системы

(7-1), (7-2). Здесь будет рассматриваться оцен­

ка вида

x(t\t + T),

t^to,

где

величина

7 = const>0

на­

метрии

и связи,

если

допустима

задержка

оценок.

Теорема 7-5 [Л. 7 4].

1)

Оптимальное

сглаживание

с постоянным

запазды­

ванием

для

системы

(7-1),

(7-2)

описывается

уравне­

нием

x {t\t +

T) =

F (t) x {t\t +

T) + С (t +

T)

X

X Ä ' ( H

7-) [z(t

+

T)-H{t

+

T)x{tt+

T\t +

T)]

+

+ A(t)[x~(t\t-\-T)-x(t\t)\

(7-71)

при t~p>U, где

K(t)=P(t\t)H'(t)R-*(t);

A(t)

=

G(t)Q(t)G'(t)P-4t\t),

a C(t + T) —матрица

передачи

сглаживающего

филь­

тра с постоянным

запаздыванием

размера

пХп.

Началь­

ным условием

является

результат

оптимального

сглажи­

вания

в закрепленной

точке

x(t0\t0+T).

линейному

мат­

2)

Матрица

С(і + Т)

удовлетворяет

ричному

дифференциальному

уравнению

C(t+T)

=

[F{t) +

A{t)}C(t

+

T)-

-CV

+

T)[F{t

+ T) + A{t

+

T)],

-(7-72)

где

t^lo,

с начальным

условием

в виде

матрицы

пере­

дачи

оптимального

фильтра,

сглаживающего

в

закреп­

ленной

точке to для

момента

t0+T

: С(t0

+ T) = В (U + T).

3)

Ошибка

сглаживания

с

постоянным

запаздыва­

нием {x(t\t + T),

t^zto}

является

гауссовский

марковским

процессом

второго порядка

с нулевым

средним

и

корре­

ляционной

матрицей,

удовлетворяющей

линейному

мат­

ричному

дифференциальному

уравнению

Р (t\t -\-T)

—

\F (t) +

А (01Р (ft

+

Т) +

+ P (t\t +

T)

[F (t) +

A (і)] ' ~

С (t -f- T) X

X К (t -f

T) R (t + T) K' (t - f

T) С

(t +

T) -G(t)Q(t)U>

(t)

(7-73)

при

t ^ t 0

с начальным

условием

в

виде

корреляционной

матрицы

ошибки

сглаживания

в закрепленной

точке to

для

момента t0 + T:

P(t*\t0

+ T)=E[x(t0\t0

+ T)x'(t0\t0

+ T)].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство теоремы

пре­

На рисунке отмечено, что

для сглаживания

нужны

две шкалы

времени.

Шкала

времени а используется

в фильтре

Калмана

и оптимальном фильтре,

сглажи­