книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

ставить в виде

Л - 1 (t) =I+[F(t)

+G(t)Q(t)G'(t)P-i(t\

t)]Ai + О {At2).

=

[x m - x (t\t)} + F (t) [x m

- x (t\t)} At

+

+ G

(t) Q (t) G' (l) P -1 (t\t) [x(t\t,) -

x (t\t)} At-}-О

{At2),

+ G (t) Q (t) G' (OP -

(t\t) \x\t\tj

- x(t\t)}.

(7-38)

Обозначая

A (t) = G{t)Q(t)

G'(t)P-l(t\t),

(7-39)

получаем уравнения (7-29) и (7-30).

Из

теоремы 6-1 следует,

что на

уравнение

(7-38)

наложено граничное условие

x(ti\ti).

Из теоремы 6-1 также известно, что случайный про­

цесс ошибок сглаживания

на

закрепленном интервале

{x(t\ti),

t = to + jAt, j=N, N—l,

0} — гауссовская мар­

x(t\ti) =x(t\t) +A(t)

[х(Е+М\Ь)—гу+АЩ)].

(7-40)

равенство x(U\ti)

=x(ti)—x(ti\ti).

Согласно уравнению (6-59) корреляционная матрица

этой случайной

последовательности

описывается

урав­

нением

P(t\ti)

= P(t\t)

+А (t)[P (t + At IU) -P

(t + At 11) ]A'

(t)

с граничным

условием

(7-41)

Р(к\и)=Е[х{и\41)х'{и\к)].

Теперь рассмотрим

предельное поведение уравнения

(7-40). Вначале

имеем:

x(t+At\h)—x(t+At\t)

=

=A-4t)[x(t\h)—x(t\t)].

(7-42)

Для

U = t

уравнение

(7-28)

можно

записать в

виде

x(t

+ At\t)=x(t]t)+F{t)x{t\t)At

+

+ G(t)w(t)At

+ 0(A42).

(7-43)

Подставляя в (7-42) уравнения (7-36) и (7-43), по­

лучаем

уравнение

x(t+At\ti)—

x(t\t)—F(t)x{t\t)

At—

—G(t)w(t)At+0(Atz)=[x(t\ti)—x(t\t)]

+

+ F{t){x{t\U)-x{t\t)]At

+

G{t)Q{t)G'{t)P-t{t\t)X

X[x(t)U)-x(t\t)]At

+

0(At*),

которое можно привести к виду

x(t+At\ti)—

* ( ф 1 ) = [ ^ ( 0

+

+ G (t) Q (t) G' (f) P-* ( t\ t) ] x (* | U) At—

—G(t)Q(t)G'(t)P-l{t\t)x{t\t)At

+

+ G(4)w(t)At

+

0(AP).

P(t + At\ti)=P{t+At\t)

+

+ A-4t)[P(t{tl)-P(t\t)][A'(t)lri.

(7-44)

Из уравнений (7-32), (7-14)

и (7-5) следует,

что

A'(t)

=P-4f+At\t)G>(t

+ At, t)P(t\t)

=

=[P-l(t\t)<b-l(t

+ M,

t)P(t+At\t)]-i

=

= {P-l(t\t)<D(t,

t + At)[0(t+At,

t)

X

xP(t\t)0'(t+At,

t)+G(t)Q(t)G'(t)At

+

+ О ( Д / г ) ] } - і = [ Ф ' ( / + М /) +P-1

(t 11) X

X Ф (t, t+At)

G {t) Q {t) G' (t) At + O (At2) ] - Ч

Из уравнения

(7-4)

и равенства

Ф ( / ,

t + At) =/—F

(t) At + O (At2)

получаем:

A'(t)=[I

+ F'(t)At

+ P-i(t\t)G(t)Q(t)G'(t)At

+

0(At2)]-\

откуда

сразу

следует:

[A'(t)]-i

= I+{F'(t)

+P-i(t\t)G(t)

X

XQ(t)G'(t)]At

+ 0(At2).

(7-45)

Используя уравнения (7-36) и

(7-45),

получаем:

A-4f)P{%)[A'(f)]-1

=

{P{t\t1)

+

I- [F(t) - f

G(t)Q(t)G'

(t)P-•

(t\t)} P(t\t,)At

+

+

О (ДО}

{/ + [F' (t) -t-P'1

(t\t) G (t) Q(t)G'

(t)} At +

+

О (At*)} = P (t\tt)

-f

{[F (t) + G (t)

X

X Q (t) G' (t)P'1

(t\t)} P

+ P (ttt)

[F' (t)

+

+

P-1

(t\t) G (t) Q (t) G' (f)]} At-\-0

{At*).

(7-46)

Точно таким же

образом

получим уравнение

A-4t)P(t\t)[A'(t)]-i

= P(t\t)

+

+ {[F(t) + G (О Q (,0 G'(t)

P-1

(t

I t)]P (t 11) + P (t 10 X

X [ F ( 0

(t 10 G (0 Q(t)G'(t)]}At

+ 0

(At2),

которое можно привести к виду

A-4t)P(t\l)[A'(t)]-i

= P(t\t)

+[F(t)P(t\t)

+

+ P(t\t)F'(t)+2G(t)Q(t)G'(t)]At

+ 0(At2).

(7-47)

Из уравнений

(7-15) и (7-47) следует:

P (t+At

11) - Л - i (/) Р (t1 t)[A'{t)Y^P{t\t)

+

-r-[F(t)P(t\t)+P(t\t)F'(t)

+

G(t)Q(t)G'(t)]At-

~P(t\t)-[F(t)P(t\t)+P(t\t)F'(t)+2G(t)Q(t)G'(t)]X

XAt + O (At2) = —G (0 Q (/) G' (t) At + О (At2).

(7-48)

Подставляя уравнения (7-46) и (7-48) в

(7-44),

по­

лучаем:

P(t

+ At\t1)=

— G(t)Q(t)G,(t)At

+ P{t\ti)

+

+

{[F(t) + G(t)Q(t)

G'(t)P-i(t\t)]P(t\U)

+

+ P(t\ti)[F'(t)+P-i(t\t)G(t)Q(t)G'(t)]}At

+

0(At2).

Следовательно,

P W.) =

^ (0 + G(t)Q (t) G' (t)P

1 (f ft] P W,) +

+

^.(¥.) t7 7 ' (0 +

P - 1

(*|0 G (0 Q (0 G' (О) -

G (0 Q (0 G' (t)

(7-49)

для

^ о ^ ^ О -

Используя

определение

матрицы

A(t)

(7-39), получаем уравнение (7-31) теоремы.

Из теоремы 6-1 с очевидностью следует, что на урав­

нение (7-49) наложено

граничное условие вида

P(ti\ti)

=

= £{x(/i|*i)af'(/i|/i)].

Алгоритм

теоремы

7-3

получен

Раухом

и др. [Л. 7-2]

вающего

на закрепленном

интервале, показана

на

рис. 7-3. Как и в случае оптимального фильтра,

сглажи­

вающий

фильтр состоит

из

модели

динамики

системы

x = F(t)x,

возбуждаемой

сигналом

коррекции

от

цепи

роль входного «измерения» и г р а е т

текущая о п т и м а л ь ­

ная

оценка x(t\t), а «невязкой» является

разность меж­

ду

д в у м я оптимальными оценками

вида

x(t\ti)—x(t\t).

вначале необходимо

получить оценку x(t\t)

для всех t

на интервале to^t^ti.

Иными словами,

до того как

нием знать x(t\t)

для всех h^t^ti,

поскольку при

A(t) = G(t)Q(t)G'

(t)M(t).

Заметим, что вычисление матрицы P((\ti) не являет­

вания в том смысле, какой имеет вычисление P(t\t)

для

оптимальной

фильтрации.

Действительно,

матрицу

P(t\ti) нельзя определить, пока

неизвестна матрица A (t),

в то время как в случае оптимальной фильтрации

нель­

зя

определить

матрицу K(t),

пока не

известна

матри­

ца

P(t\t).

{x(t\ti);

to^t^ti}

В заключение отметим, что ошибка

помним,

что этот процесс

описывается уравнением

x(t\tt)

= [F (01+

А (/)] x(t\tt) -

A (t) x(t\t) +

G(t)w

(t)

с граничным

условием

x(ti\ti)

—x(ti)—x(ti\ti),

где

x(ti\ti)—гауссовский

случайный n-вектор

с нулевым

средним и известной корреляционной матрицей

P(ti\ti).

Известно,

что

{x{t\t),

to^t^ti)

— гауссовский

мар­

x(t\t)

=

[F (t) — K(t)H

(t)\ x {t\l) +G{t)w{t)-K

(/) V (t)

с тем

же

граничным

условием x(t1\tl) = x(t1) —

xit^t,).

Вводя 2«-мерный

вектор

УѴ)

=

x(t\t)

i|f (0 +

A(t)\

-А (0

у

=

о

о

+

Й У ( 0 -

vi!)-

а'(і)

Из § 4-3

известно,

что {y(t),

tos^t^ti}

является ray.

Для простоты рассмотрим случай, когда a2<^.aw/av

и дисперсия

установившейся ошибки фильтрации составляет:

P(t\t)=pi = Oviav.

Из уравнения (7-30) имеем:

А (0 = G (t) Q (0 G'_(t) P~l(t

I t) =

1

f - .

< — =

Так как <22 <^a^/a^, то в примере

ri

u1>

7-1

а ^ / а , , .

Тогда из урав­

закрепленном интервале, описывается

соотношением

x (t

I

-ах

(t

+

^ [x(t I tt)

-

- * ( '

I OJ = (К- —

I U)-^(t

I /)•

А так как р . « 0 ш / а в > а ,

то это уравнение можно записать в виде

x(t\U)**V.[x{!\tl)-x{t\f)\

(7-55)

для Г о ^ ^ г і , с

граничным

условием î " ( É i | / i ) .

Структурная схема

сглаживающего фильтра (7-55)

изображена на рис. 7-4. Следует

?(t\t)

H *

z6

В данном

примере уравнение для дисперсии ошибки

сглажива­

ния

(7-31) имеет вид:

Pit I г1 ) =

2 ( ! х - а ) - Я ( М

при

to^t-^ti,

где Р ( / і | / і ) = р і

—сГиСТв.

Так как р,»а , используем приближение вида

P(t\

f,)^2(x/>(M * , ) - « * .

(7-56)

Решение уравнения

(7-56) имеет вид: