книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

Хотя

матрица P(t\t)

имеет

п2

элементов,

достаточно

рассматривать

только

п ( « + 1 ) / 2

уравнений

системы

(7-9), поскольку P{i\t)

является

корреляционной

и

по­

этому симметрической

матрицей.

Если

матрица P{t\t)

известна,

то случайный

процесс

{x(t\t),

t^t0}

полностью описывается своей

характери­

стической функцией

M s ; 9 =

ехр

~~~s'P{t\t)s

x

V

где s — «-вектор.

Как и в дискретном случае,

нет

необходимости

моде­

лировать фильтр или хотя бы

определять матрицу

K(t)

для того, чтобы оценить качество оптимального

фильтра.

Для этой цели достаточно решить уравнение

(7-9)

от­

носительно

P(t\t).

R(i)

Причина

того что

матрица

выбирается

положи­

тельно

определенной

для всех

t^t0,

очевидна

из

урав­

нений (7-8)

и

(7-9). Физически

это

предположение

озна­

присутствует

«некоторая

ошибка».

Оптимальный фильтр, описываемый уравнением

(7-7)

является, очевидно, линейной системой, в

которой

z(t)

играет роль

входного,

a x(t\t)—выходного

сигнала.

Если переписать уравнение (7-7) в виде

x = [F{t)-K

(О H (/)] x + K(t)z

(t)

x(t\t)

= W(t,

t0)x*{t0\t0)

+ $V(t,

x)K(t)z{x)dx.

(о

Так как

x(to\to)

= 0, то

JC(t\t)=

t

x)K(x)z{x)dx.

t

x(t\t)

= ^A(t,

x)z(x)dx.

to

І9*

291

В заключение заметим, что оценка x(t\t)

однозначна,

с нулевым средним и дисперсией а2, = const > 0 , a {w(t),

t^O} —

—гауссовский

белый шум, независимый от х (0), с нулевым

средним

и дисперсией

а2

= const > 0.

Предположим, что принимаемый сигнал имеет вид:

z(t)=x(t)+u(t),

где {»(<), t?

0} —гауссовский

белый шум с нулевым

средним и дис­

персией

o2 =const>0,

независимый от х (0) и {w (t),

t^-Q).

Физи­

чески

процесс

[v(t),

t^O)

вызывается ошибками и

шумами

в передатчике и атмосферными

возмущениями.

ошибки

x(t\t)=x(t)—x(t\t),

получаем

решение задачи

в виде

тео­

ремы 7-1.

Для

этой задачи

F(t) =

—a,

G (i) = H {t) = 1,

Р (0) =

о 2 ,

Q(t) =

о 2 , R (0 а2 для всех

t >

t,

= 0.

разделения

переменных:

1

dP

Я2 + 2 7 а 2 р _ 0 2 а 2w

уравнения Р2 +

Обозначая

через

р,

и р2

корни квадратного

2

2

0

22

получаем:

+ 2 а а

Р — о Vа w = 0,

dP

rfP rfP Р -,

.2 Л ,

(/ : > —

Рі)

(Р— Ps)

Pi — Рг

• Рг

~

Pi — Рг

W

о

получаем:

dP

dP

= —

2 | /

а 2

-1

~ dt.

Обозначая

fj. =

у

а2

+

о^/о^,

получаом:

P(f І О - Р :

Я

(M

О - і

где а — постоянная

интегрирования.

Используя

устовие

Я

(0

] 0) =

Я ( 0 )

=

з2 ,,

получаем

°о

—Рі

° 0

— Ра

P(t I о-р,=

, 2 .

-ах + z ( 0 +

]/«2 +

x = — jj-x + —

z (t).

Рис.

7-2.

Оптимальный фильтр

из примера

7-1.

В частных случаях можно показать:

1)

если

я 2 > < з 2 / а 2

,

то

а V1

а 2

• а +

+

2)

если

а 2 ^ а ^ / 0 2 ,

то

р , ^

0 , 4 1 4 а 2 ;

3)

если

а2 <

а 2 ' а 2

,

то

р, =Ï= О Л .

Оптимальное

предсказание

Для

некоторого фиксированного U^t0

рассмотрим

задачу определения оптимального предсказания

x(t\t{),

l^ti

состояния x(t).

Решение

этой

задачи

приводится

ниже.

Теорема

7-2.

1)

При

известной

текущей оценке

x(tt\ti)

для

неко­

торого ti^t0

оптимальное

предсказание

удовлетворяет

уравнению

* С1'.) =

^

К )

(7-22)

для всех

ts^t1

с начальным

условием

х(^| £ , ) .

2) Случайный

процесс

{x(t\t^,

t

J f , } , где

x (t \ t,)

=

— x(t)

— x(t\tx)

— ошибка

предсказания,

является

гаус-

совским

марковским

процессом

с

нулевым

средним

и

корреляционной

матрицей

P(t\ti),

удовлетворяющей

дифференциальному

уравнению

P ( t | / i ) = / ; ' ( 0 / ' ( / | / i ) + / , ( f | / i ) / r , ( 0 + G ( 0 Q ( 0 G / ( O

(7-23)

для

t^ti

с

начальным

условием

P(ti\ti)

=

x (t + Ы | О == Ф (t +

At, г,) x(t,

1t,);

х(і\і1)

= Ф(і,

/,)*(',!*,).

где

t + àitp*ti

и At>0.

Из

этих двух

соотношений

следу­

ет,

что

^(г +

Д ф О ^ Ф ^

+ Дг, t)$(t,

Цх(Ц^)

=

=

Ф(г +

Дг,

і)х(і\іЛ.

(7-24)

Подставляя в уравнение (7-24) Ф(г+Дг, t) из урав­

нения (7-4), получаем:

x (t +

Д* I /,) =

[/

+

F (t) At + О (M2)}

x (t I /,).

(7-25)

Ясно, что

lim x(t-\-M\g

= jc(f IQ .

Переписав урзвнение (7-25) в виде

x(t

+ Дг|г,) -x{t

\t,)

= F(t)

x(t\t,)At

+ 0(At2),

разделив

обе

части

уравнения

на

At

и перейдя

к

преде­

лу при At—>-0, получим:

x(t\t1)

=

F(f)x(t\tl)

для

t^ti^to.

Соответствующее начальное

условие

явля­

ется, очевидно, оптимальной

текущей оценкой

x(ti\ti)

Из п. 2 теоремы 5-4 известно, что

случайный

процесс

ошибок

предсказания

{x(t

+ At\ti),

t = ti + jAt;

/ = 0.

1,

. . . } — гауссовская

марковская

последовательность

с

нулевым средним, которая

описывается

соотношением

г ( / + Д*|*і)=Ф(/ + А*. t)x(t\ti)+T(t

+ M,

t)w(t).

(7-26)

Кроме

того,

из уравнения

(5-40)

следует,

что

соот­

ветствующая

корреляционная

матрица

удовлетворяет

уравнению

Р(* + д/|*,) = Ф(* +

Д*,

0 р № . ) Ф ' ( ' +

Д*.

0

+

+ Г ( * + Д * .

t)^V'(t

+

M,

t).

(7-27)

Проводя такие же преобразования, как и ранее, при­

ведем уравнение

(7-26) к виду

x(t + M\ti)—3é(t\ti)

=

= F(t)x(t\tl)At

+ G{t)w(t)At

+ 0{AP),

(7-28)

откуда следует

уравнение

x (t\t,) =

F(t)x

(t\tt)

+ G(f)w (ft

для t^ti,

соответствующее

гауссовскому

марковскому

процессу с нулевым средним {x(t\ti),

t^ti}.

<b(t + At, t)

Подставляя

в

уравнение

(7-27) матрицы

и

T{t + At,

t)

из

(7-4)

и

(7-5)

и группируя

члены,

полу­

чаем:

P (t +

Д ^ ) =

[/ +

F {t) At +

О {At*)}

X

XP(t\t,)[I

+

F(t)At+0{Af)Y

+

+ [G (0 At +

O (At*)) Ш

[G (0 At+O

(At*)}' =

P (t\t,)

+

+

[F (t) P (Щ

+

P (t\tt) F' (t) +

G (0 Q (0 G' (01 At +

O (At*),

откуда при At—+0

P(t\t,)

= F(t)P

(t\tt)

+

P (t\t,) F' (t) +

G (0 Q (t) G' (0,

ных матриц ошибки

фильтрации

и предсказания показы­

вает, что они отличаются слагаемым

—PH'itjR-HtjH^P,

которое фигурирует

только в

первом

уравнении. Это

член, ограничивающий

рост корреляционной

матрицы

ошибки

фильтрации

в

уравнении (7-9). Ясно,

что если

R{t)—ьоо,

т. е. если

измерения настолько зашумлены,

что их можно считать

бесполезными, эти два уравнения

становятся идентичными.

x(t

I tl)=—ax(t

I г,),

и отсюда следует, что

*ля t > U > 0.

x (t

i r , ) = е-а

<'-'•> х ( / , I tx)

Заметим,

что оптимальный предсказатель здесь является просто

аттенюатором,

поскольку

0^ехр[ — a(t — /і)]^1

для всех

l^ti.

В отсутствие

измерений для t^ti оптимальный

предсказатель

про­

x(ti\ti) в качестве начального

условия. Иначе говоря, оптимальный

предсказатель экстраполирует

самую последнюю оптимальную оцен­

ку для получения оптимального предсказания.

Уравнение (7-23) для корреляционной матрицы ошибки пред­

сказания имеет вид:

P(t\tt)=

-

2аР (* | *,) + «*.

где Я(Гі | / i I =рі . Легко показать,

что решение этого уравнения имеет

вид:

. 2

е-2а (/-*,) +

"2а

+ 2 # = Р ^ 2 а ( < - М

+ 2 Т П - ^ ° ( ^ ) ] .

для t

• 0, где Р =

Р (0 = E [X2 (t)]

и Р (0)

=

а2.

7-4. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ НА ЗАКРЕПЛЕННОМ

ИНТЕРВАЛЕ

В задаче

сглаживания

на

закрепленном

интервале

рассматривается

интервал

^ о ^ / ^ ^ і

с закрепленными

to

и ti.

Разделим

интервал

на

N

частей,

каждая

длины

Ai={ti—to)/N>0.

В пределе

устремим

N—*оо

и

At—У0

таким образом, что NAt = ti—^о-

Поскольку

рассматриваемый

интервал является

3£

множестве

индексов

вида

t = tQ + jAt;

/ = 0, 1,

N}.

Задача заключается в исследовании предельного по­

ведения оценки x(t

+ At,

t\) при At—>~0.

После этих предварительных замечаний сформули­

руем и докажем следующую

теорему.

Теорема

7-3.

1)

Оптимальное

сглаживание

на

закрепленном

ин­

тервале для системы (7-1),

(7-2), описывается

диффе­

ренциальным

уравнением

X (t\tA =

F(t)x

{Щ +

А (0 [X m

-

X {t\t)\

(7-29)

для t0<t<tl,

где

х(t\t)

— оптимальная

текущая

оцен­

ка,

a

A(t)

— матрица

передачи

сглаживающего

фильт­

ра

размера

nyji.

Система

уравнений

(7-29)

имеет

граничное

условие

х(^|г,).

2)

Матрица

передачи

фильтра,

сглаживающего

на

закрепленном

интервале

времени,

задается

соотношением

A(t)

= G(t)Q(t)G'(t)P~4t\t),

(7-30)

где

P(t\t)—корреляционная

матрица

ошибки

опти­

мальной

фильтрации.

3)

Случайный

процесс

{x(t\ti),

t^t^to],

где

x(t\ti)

= x(t)

—x(t\t\)—ошибка

сглаживания

на

закреп-

ленном

интервале,

является

гауссовским

марковским

процессом

второго

порядка

с нулевым

средним

и

корре­

ляционной

матрицей,

удовлетворяющей

матричному

дифференциальному

уравнению

р ( / | / , ) = [ F ( о + А

(/)] р m

+

р

m

[F(t)+A

( о ] ' -

-G(t)Q(t)G'(t)

(7-31)

для

to^t^ti.

Граничным

условием

уравнения

(7-31)

является

корреляционная

матрица

ошибки

фильтрации

в момент

ti : P(ti[ti)

= E[x(ti\ti)x'

(ti\ti)].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заменяя

в

уравнениях

(6-57)

и (6-58) теоремы

6-1 N

на

tu

k

на

t, a k+\

на

t+At,

получаем:

x(t\t,)

= x{t\t)

+

A (t) [x(t

+

АЩ

-x(t

+

Щі)];

Л(/) = Я(*|0Ф'(' +

А*. ЦР^Ѵ

+ Щі).

(7-32)

Перепишем эти уравнения в виде

x (t + At\t,) - x (t +

At\t) = А'1

(0 [xДО,)-

je (f |0];

(7-33)

Л-і (/) = Я (f+At I /){ф'

+ д*,

O h 1

^ - 1 ( Л 0

=

= /> (<+Л^|0Ф, (А

^ + АО-Р-ЧЛО

(7-34)

при

условии, что

матрица

P~x(t\t)

существует.

Напом­

ния, существует

всегда.

Вначале получим разложение A-l(t)

в ряде

по сте­

пеням А*. Из

уравнений (7-14),

(7-4)

и (7-5)

следует,

что

+ Ы, 0 +

Р(*-|-Д* |0 = Ф(* - т - Дг, ЦРЩЦФ'Ц

+

г(^+дг, І)ШГ'(І

+

Ы,

0 =

= [/ +

F (t) At +

О (At*)} P (t\t) Ф' (f + Д*. 0

+

+ G(f)Q(t)G'(t)AtArO(At3).

(7-35)

Умножая матрицы в обеих частях

уравнения (7-35)

справа на 0'(t,

t + At)

и замечая, что

Ф'(і,

t + At)=I—F'(t)At

+

0(At2),

получаем:

P(t + At\t)&'(4,

t+At)={I

+ F(t)At]P(t\t)

+

+

G(t)Q(t)G'(t)At

+

0(At2).