книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

трицы

P(k)=E[x(k\N)x'(k\k)]

через матрицы P(k\N) и

P(k\k).

6-5.

Составить блок-схему

программы

ЭВМ для

алгоритма

оптимального сглаживания на

закрепленном

интервале,

включаю­

x(k\k)y

x(k+l\k),

P(k\k)

и P(k+l,

k) можно получить из

памяти

ЭВМ при А=0, 1

N.

6-6.

Можно

ли изменить формулировку теоремы 6-1 для слу­

чая, когда в модель системы

включен

сигнал

управления,

т. е.

x(k + \)=.t$(k+l,

k)x(k)+T(k+ï,

k)w(k)+W(k+\,

k)u(k),

и

если

можно, то каким

образом?

Р(0|0) = 10 и R(k+\)

= \Q

6-7. Пусть в

системе из примера 5-2

для

всех £ = 0 , 1 . . . Полагая,

что

оптимальное

сглаживание

для

этой

задачи проводится

на закрепленном

интервале [0, 4],

опреде­

этого интервала и сравнить результаты

с точностью

оптимальной

фильтрации. Составить структурную схему

сглаживающего

фильтра.

6-8. Полагая оценку

x (k \ N)

известной для некоторого

&= k* на

интервале [0, N] вместе

с ее

корреляционной матрицей

ошибки

P(k*\N)=E{S(k*\N)x(k*\N)],

получить

рекуррентный

в

прямом

тервале для k—k*, k* + l,

...,

N. Составить

структурную

схему

по­

лученного сглаживающего

фильтра.

6-9. Доказать следствие 6-1.

6-10. Для задачи оптимального сглаживания в закрепленной

точке

без возмущения,

т. е. при Q(i)=0 для всех »=0,

1,

.... пока­

зать, что

»

(А | / ) =

ф (*./') * (/"!/);

IP (k i /) = Ф (*./)/>(/1

/ ) Ф ' ( М

при І ='ß'e+A,

£ +

2 ...

6-11. Всегда ли при оптимальном сглаживании в закрепленной

точке

необходимо

выполнение

неравенств

Sp P(k\j) ^ S p

P(k\j—1)

или Sp P(k\j)

^ S p P(k\k)f

Объяснить

ответ.

6-12. Рассмотреть задачу оптимального сглаживания на закреп­

ленном интервале для скалярной системы

x(k+1) =ax(k)•

z(k+l)

=

= bx(k+l)+v(A+l);

k=0,

1, .... где a и

b — постоянные.

При ка­

ких

условиях,

наложенных

на a, b и (или) любые другие

парамет­

ры

задачи, выполняется

неравенство

P(0\j)<P(0\j—1)?

6-13. Рассмотреть скалярную систему

x{k+l)=2-bx(k)+w(k);

z(k+l)=x(k+l);

£ = 0 ,

1, . . . .

где х[(0) имеет нулевое среднее и {дисперсию

Og=LconstJ>[0;

{w(k),

fe =

0,

1,"...}

— гауссовская

белая

последовательность с

нулевым

средним, независимая от х(0).

Дисперсия

последовательности

=

ношения x(ft+l I

ft+ 1 + N)=E[x(k

+ 1) 1 z (1), z(2),

...,z(ft+/V)

ï(k+l+N\k

+

N)}.

6-16. Как следует модифицировать результаты теоремы 6-3, если

*(0), {w(k);

ft=0,

1 ... } и {v(k+l);

ft=0,

1 ... } имеют математи­

ческие ожидания, отличные от нуля?

6-16. Получить уравнения алгоритма

оптимального сглаживания

с единичным

запаздыванием для системы из задачи

6-7.

положить запаздывание N равным нулю.

6-19.

Используя модель

системы с коррелированной ошибкой

из­

мерения

из задачи

4-13, составить алгоритмы

для

вычисления

опти­

мальных

оценок вида x (ft -J-

1 | ft),

x (ft + 1 | ft -f-

1)

и х (ft | ft +

1)

в предположении,

сделанном

также

в п. «б» задачи

4-13,

что

изме­

рения имеют вид

%(k)^z(k

+

1 ) _ 8(ftJ+

1 .ft)zT(ft) = [tf(ft+

1)Ф(й +

l.ft) —

—'6(ft

+ l,ft)

H(k)\x(k)

+

[H(k+

1) T (ft+

1,ft)]да(ft) + 5 (ft).

Впоследствии

аналогичный подход был применен Рау-

хом

и др. [Л.

7-2] для вывода алгоритма

оптимального

сглаживания

на

закрепленном интервале

и Медичем

[Л.

7-3, 7-4]

для

получения алгоритмов

оптимального

x =

F(t)x-r-G(t)w(t);

(7-1)

z{t)=H{t)x(t)+v{t)

(7-2)

для

t^t0,

где x — я-вектор; w — р-вектор, a z

и ѵ — m-

векторы.

Матрицы

F(t), G(t)

и H(t) имеют

размеры

пХп,

пХр

и шХп

и являются

непрерывными

функция­

ная по времени — точкой сверху, а

фиксированное на­

чальное время — U.

Случайные процессы {w(t),

t^U)

и {v(t),

t^t0)

пред­

ставляют собой гауссовские

белые

шумы

с нулевыми

E[w(t)w'(x)]

=

Q(t)à(t—x);

E[v(t)v'(x)]=R(t)à(t-

т)

соответственно для всех t, x^t0,

где Е обозначает

мате­

матическое

ожидание;

штрих — операцию транспониро­

вания, ô(t—т)—дельта-функцию

Дирака. Матрицы

Q(t)

размера

рХр

и R(t)

размера тХт непрерывны и поло­

жительно определены для t.^t0.

Предполагается

также, что два указанных случайных

процесса

независимы, т. е.

£ [ да(/)а'(т)]=0

для всех

/„ т^г^о- Это допущение в действительности не

зависит

от {w(t),

t^to}

и {v(t),

t^t0}.

Корреляционная

матрица

x(t0),

обозначаемая P(t0) —Е[х(t0)x'(t0)],

неот­

рицательно определена.

Оптимальная

оценка

Для обозначения состояния х системы с непрерыв­

ным временем

заменим

дискретные

индексы

времени k

и / в прежних обозначениях на непрерывные

переменные

ti и t

Тогда оценка состояния

х в

некоторый

момент

времени

ti^t0

на

основе измерений

z(x)

на

интервале

^о^.т^1 ^ обозначается

x(U\t).

Если

tt^>t,

то xtyilf)

является поедсказанием, если

ti = t,

то это текущая оценка, а если ti<t,

то это сглажи­

вание или интерполяция, так же как и в случае

дискрет­

ного времени.

Ошибка оценки

определяется

выражением

x{tl\f)

=

x{tl)-x(t1\f),

а качество

оценки

характеризует критерий качества

/ ï * ( / 1 | / ) ] = £ { L [ î ( / 1 | O Ï } ,

где

L — некоторая

допустимая функция потерь

(соглас­

но определению в §

5-1).

Оценка

x(ti\t),

минимизирующая

J[x(ti\t)],

называ­

ется

оптимальной

оценкой.

Постановка

задачи

Для

системы

(7-1), (7-2) по измерениям

{.г(т);

to^r^lt}

определить

оптимальную

оценку

состояния

x{U).

7-2. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ З А Д А Ч А С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Чтобы использовать для решения

поставленной за­

зуется переменная / *. Точнее, для любого М>0

симво­

лом

t обозначаются

дискретные моменты

времени {t =

— t0

+ jM\ j — 0, 1 .. .}. Для любого

такого

г

в

§ 4-3 по­

казано, что дискретная модель системы (7-1)

представ­

ляет

собой

гауссовскую марковскую

последовательность

с нулевым

средним,

описываемую уравнением

где

x(t+At)=0(t+At,

t)x(t)+T(t+M.

t)w{t),

(7-3)

Q)(t+At, t)=I+F(t)Ml+0(At2);

(7-4)

T(t + At,

t) = G{i)At+0{AP),

(7-5)

Здесь /

и

т

обозначают

дискретное

время,

причем

{x = U-\-kAt;

/г = 0,

1 . . .}; Q(t)

неотрицательно

определен­

ная матрица для всех t^to,

a öjk — символ

Кронекера.

Начальное

состояние x(to)

представляет

собой гауссов­

ский случайный п-вектор, независимый

от [w(t),

t = U-{-

+ jAt; / = 0,

1 . . .}, с нулевым

средним

и

неотрицательно

определенной

корреляционной

матрицей

E[x(t0)x'(t0)]

=

= P(to).

Дискретная модель уравнения измерений (7-2)

имеет

вид:

= H(t + At)x{t

+ At) + v{t+At),

z(H-Af)

(7-6)

£ И* + At) V' (т +

Л/)] =

8J k ,

где т — дискретное

время,

а

матрица

R(i

+ At)

положи­

тельно определена

для

всех

t^t0.

Здесь предполагается, что две гауссовские белые по­

следовательности в уравнениях

(7-3)

и

(7-6)

незави­

симы.

Пусть ti = to + iAt,

і = 0 ,

1,

. . . — дискретное

время,

а оценки состояния х обозначаются x(ti\t).

Как

и ранее,

эти оценки классифицируются в соответствии

со

значе­

нием t относительно ti.

Определения ошибки оценки, критерия качества и

оптимальной оценки остаются

теми же, что и в § 7-1, за

дующий вид.

Постановка

задачи

Для

системы

(7-3),

(7-6) по

измерениям {z{x);

% =

— ta + At,

U + 2At,

. . ., t)

определить

оптимальную

оценку

состояния

x(ti).

1)

Оптимальная

оценка

для

системы

(7-1),

(7-2)

удовлетворяет

уравнению

x =

F(t)x

+ K(t)[z(t)-H(t)x]

(7-7)

для

t -J*t0, где х~x(t

\ t), x

(ta \ t0) — 0, a

К (t) — мат­

рица

передачи

фильтра

размера

пХ.т.

2)

Матрица

K(t)

определяется

с помощью

соотноше­

ния

K(t)=P(t\t)H'(t)R-4t)

(7-8)

для

t^t 0 ,

где

P(t\t)—корреляционная

матрица

ошиб­

ки

фильтрации

x(t\t)

=

x{t)

~x{t\t)

размера

пхп.

3)

Случайный

процесс

{x{t\t),

t^U}

—

гауссовский

марковский

с нулевым

средним

и корреляционной

матри­

цей,

удовлетворяющей

матричному

дифференциальному

уравнению

P = F(t)

P + PF'{t) —PH'

(t) R-i

(t) H(t)P + G{t)Q

(t) G' (t)

(7-9)

для

V^to,

где P = P(t\t),

a

P(t0\tQ)

= P(t0)

=

E[x(tQ)x'{t0)].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

уравнению

(5-48)

теоремы 5-5 оптимальный

фильтр

для

системы

(7-3),

(7-6)

имеет

вид:

х ( / +

А/|/ +

А/) =

Ф(/ + Д/,

t)x(t\t)-j-

-f- К (t - f At) [z {t - f

At)

-

H (t - f At) Ф {t

+

-

f

t)x(t\t)\,

где

x ( f 0

| g

=

0.

Ф(г +

At,

f)x{t\t)

=

=

[/ - f F (О

+

о (ДО] je (r I f).

Тогда уравнение фильтра можно записать

в виде

x{t +

M\t-\-At)-x(t\t)

=

F(t)x{t\1)At

+

+

К (t

At)[z(t

+

At) - H (t + At) Ф(і

+

- f At, t)x{t}t)]

+

О (At2).

(7-10)

и

lira [г (t + Ar) — Я (f +

ДО Ф {t +

Д*,

0

JC]

при условии, что эти пределы

существуют.

Вначале рассмотрим второй предел. Используя урав­

нение

(7-4), сразу получаем:

l i m [ z ( *

+

A0

— Я ( * +

Д Г ) Ф ( * +

Д Г .

t)x]

=

=

z(t) — H{t)x{t\t).

(7-12)

Возвращаясь

к первому пределу, из уравнений (5-49)

и (5-50) теоремы 5-5 получаем:

K.{t

+

At).= P{t +

àt\t)H'(t

+

M)X

X

H{t-\-At)P{t-\-At\t)

Я '

( /

+ Д 0 + / г ( д " І " А ° ] " 1 =

=

Р(г +

Д г | 0 Я ' ( ^ +

Д 0 [ я

( ^ + Д 0 р ( ^

+

+

At 10 Я ' (* -f- ДО Д^ +

R (t +

At)}-1

At;

(7-13)

/ , ( г - Г - д * | 9 = ф ( * + ДЛ о ^ С Ю Ф ' С + Д'- 0 +

+

Г (f +

Af, 0 4 г ~

Г" (* +

àt,

t).

(7-14)

x =

[F(f)-K(f)

Ч (t)] x - f G (t) w (t) — K(l)o (0

(7-20)

для t^to,

где использован предел (7-17) и определение

матрицы

K(t).

Так

как

случайный процесс {x(t + At\t + At),

t = t0 +

+ jAt;

/ = 0,

1 . . . } является гауссовской марковской по­

P(t + At\t + At)=P(t

+ At\t)—K(t

+ AL)X

XH(t

+ At)P(t

+

At\t).

Подставляя в последнее выражение уравнение

(7-15)

и вспоминая, что матрица

K(t + At)

не имеет

членов раз­

ложения нулевого порядка по At, получаем:

P(t + At\t + At)=P(t\t)+[F

(t)P(t\t) +

+

P(t\t)F'(t)

+

G(t)Q(t)G'(t)]At-

—K(t+At)H(t

+

At)P(t\t)+0(AV),

откуда

ясно, что

P(t\t)

= F(t)P(t\t)

+

P(t\t)F'{t)

+

G(t)Q(t)G'(t)~

_ UmK { t

+

à t ) H { t +

& t ) P { t l t )

nui

. .

д<-»о

M

С учетом

уравнения

(7-17)

это

означает,

что

Р = F (t) Р - f PF' (t) -

PH' (t) R'1 (t) H (t) P - f

+

G (/)<?(/) G'(0,

(7-21)

где P =

P(t]t).

Из теоремы 5-5 следует, что соответствующее

урав

нению

(7-21)

начальное

условие

имеет

вид

P{to\t0)=-

= P(t0).

Теорема доказана,

19—85

289