книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

A~l(k)

=P(k+\\к)[Ф'(k+l,

k)]'lP-1

(k\k)

=

Так как

=

P(k+l\k)<b'(k,

P(k + l\k)=0(k+\,

k)P(k\k)0'(k+l,

k)

+

то

+ T(k+l,

k)Q{â)T'(k+l,

k),

A-*{k)-<S>(k+\,

k) =

P(k-\-\\k)Q>'{k,

É +

1 ) X

xp-*(k\k)-<î>(k+l,

А) = [ Ф ( £ +

1, £ ) X

ХР^\к)Ф'(к

+ 1,

*) +

Г(* + 1,

k)Q{k)X

Х Г ' ( * +

і,

k)]&{k,

k+\)P-'{k\k)-<s>(k

+

\, k)

=

=

Ф ( Й + 1 , £) +

Г ( £ + 1 ,

*)Q(*)T'

(£ + 1,

£ ) X

Х Ф ' ( * . Л + О Я - ^ А І ^ - Ф ^ + І, *) =

=

Г(£ +

1, k)Q(k)F'(k

+

l, k)<b'(k,

Ä +

1 ) X

Х ^ ' О Ч * ) -

(6-90)

Обозначая

( 7 ( 6 ) = Л - 1 ( £ ) — Ф ( & + 1 ,

k),

можно

пред­

ставить уравнение (6-89) в виде

* ( £ + І І Л О = Ф(£ +

І, £)Jt(6|/v)-t-

+

U{k)

[x(k\N)-x{k\k)\.

x{k+l\k

+ N) =

<l>{k-{-l,k)x(k\k.-\-N)

+

+

U(k)[x{k\k

+ N)-x{k\k)].

(6-91)

x(k\j) = x(k\j-l)

+

M{k\j)

г ( / | / - 1 ) ;

M(k\j)

= ff

Л ( / ) ! * ( / )

для

j = k+\,

k + 2 .

Заменяя индекс k на k+\,

а /

на

k+'\-\-N,

получаем:

'x(k

+ 1 \k+

1 + ^ ) = J c ( Ä + l

|Ä + Л 0 +

+

/V/ (

+

11 k +

1 +

N) ~z (k +

1 + N I k +

ZV);

(6-92)

M (k + 1 1 k + 1+ N) =

k + N

K{k+\+N)

(6-93)

П л(<)|

для

k = 0,

1 ...

Подставляя

x (fe-j- 1 1 /г -f- Л/) из

уравнения

(6-91) в

уравнение (6-92), получаем:

î(fe + i|fc +

i + t f ) = < i > ( f e + i ,

£)х(&і& + ло-Ь

С ( / г + 1 +

Л 0 = [f

Л(і).

(6-94)

Из уравнения (6-93) тогда

следует:

+ 1

+ Л0 = С ( £ + 1 + # ) # ( & + 1 +

jc(lfe+l

+JV) =

<&(fe-t-l,

*) 3c(fe| (г +

іѴ)

+

+ C ( f c + 1 +

Л/)X(fe +

1 + tf)z(fc

+

l - f'JVp +

/V)

+

4- и {k) [x {k

i k -f- /V) -

*;(& i k)].

Итак,

уравнения

(6-84) —(6-86)

теоремы

доказаны.

Ясно, что начальным условием здесь является

оценки

x(0\N).

{x(k\N),

k = N,

Из

теоремы

6-1

известно,

что

N—1,

... ,

0} — гауссовский

марковский процесс

второго

порядка с нулевым средним для всех N^k.

То же спра­

ведливо,

если

значения

индексов

времени

следуют

в обратном порядке,

т. е. для

процесса {x(k\N)\

k — 0,

1, . . . , N}. Так

как это

утверждение

справедливо

для

всех N^k,

оно выполняется и для частного

случая,

ког­

да N

заменяется

на

k + N.

Следовательно,

{x(k\k

+ N);

6 = 0, 1

. . .} — гауссовский марковский процесс второго

порядка

для всех целых положительных N.

Легко получить рекуррентное матричное уравнение

сглаживания с постоянным

запаздыванием

P(k+\\k+\+N)

=

E{x{k+\\k+

+

\+N)x'{k+\\k

+ \+N)].

Вначале перепишем уравнение (6-59) в следующем

виде:

P(k+

1 \N) =P(k+l\k)~

A-Hk) X

P(k+

l\k+N)

=P(k + l \k)— A-^k)

X

X[P (k I k) -P

(k I k+N)

] {A' (k) Г1-

(6-95)

Заменяя в уравнении (6-80)

индекс k

на k + l

и / на

k+\+N, получаем:

P{k+\\k+\+N)=P{k+\\k

+ N) —

—B{k

+

\+N)K{k+\+N)H{k+\+N)X

XP{k+\+N\k

+

N)B'{k+\+N).

Так как

k+N

B(k + l + N)=

Ц

A(i) =

C{k+l+N),

(6-96)

то

P(k+\\k+l+N)=P(k+l\k+N)

—

-C(k

+

l+N)K(k+l+N)H{k+l+N)X

XP(k+l +N\k+N)

C'(k+\+N).

Подставляя

в это выражение

уравнение (6-95), полу­

чаем уравнение (6-87) теоремы.

Необходимое начальное

условие, как легко убедиться, составляет P(0\N).

Теоре­

ма доказана.

вых,

чтобы начать

оптимальное

сглаживание,

при k = 0

в

уравнении

(6-84) требуется

знание

векторов z(N +

+

1|УѴ),

Х(0|0)

И X(0\N).

Первые два

вектора

вычисля­

ются

в

результате

работы

оптимального фильтра, точ­

K(N+\)z(N+\\N),

а х ( 0 | 0 ) = 0 .

Для получения вектора

x(0\N) следует использовать

начиная с х(010)

=

0.

Обрабатывая

с

помощью

этого

алгоритма измерения

при k=l,...,

N , получаем

оценки

л:(ОI 1 ), х(0\2)

и,

наконец, x(0\N).

Очевидно,

что опти­

мальный сглаживающий фильтр с постоянным

запаздыва­

нием бездействует

на

интервале [О,

N],

где

N — время

тимального фильтра (фильтр

Калмана),

который

выдает

ему значения векторов

К (k -f-1 - j - N) z(k-{-l-{-N

\ k-{-N) и

x{k\k).

Заметим, что

оценка

x (k -\- \\ k

- j - l-\-N)

являет­

фильтров, сглаживающих

на закрепленном интервале и

в закрепленной точке,

в оптимальном сглаживающем

вый из этих членов включает в себя матрицу

передачи

Калмана K(k+l+N)

и невязку измерения

z {k +1 + NI k+N)

= z {k +1+N)

—

—H(k+l+N)0(k+l+N,

k+N)

x(k

+ N\k

+ N).

Назначение матрицы передачи

C(k

+ l+N)

можно

трактовать как «отражение» новой информации,

полу­

ченной

в результате измерения в момент k+1+N

«об­

ратно»

на момент времени оценки k+l.

Попутно

заме­

тим, что согласно уравнению (6-96) две

матрицы

пере-

18—85

273

живания с постоянным

запаздыванием — переменное.

Сравнение этих двух

вадов

сглаживания

показывает,

что

B(k)=[[A{i),

fe

=

const,

/ =

fc+l,

ft

+

2,...;

k + N

C{k+l+N)=

Д

A(i),

/V =

const;

k =

0, 1 ...

(6-86) ясно,

что £ /(/?+1)=0

и этот член

не играет ника­

кой роли в

сглаживании с

постоянным

запаздыванием.

Заметим, что первое слагаемое в правой

части

урав­

нения

(6-84)

ф ( £ - | _ 1 , k)x(k\N)

аналогично

слагаемому

Ф ( & +

1, k)x{k\k)s

фильтре Калмана, слагаемому x

(k \ k)

в оптимальном фильтре, сглаживающем на

закрепленном

интервале,

и слагаемому x(k\}—

1) в оптимальном^фильт-

Очевидно,

что алгоритм оптимального

сглаживания

с постоянным

запаздыванием является

рекуррентным

Времв

Время

оценіт

,

измерения

к+1

I

1

k+1+N

_J

I

I

1—j

1—i

1

*

0

1

Z

3 I

- 1 —

I

I

^

- L

N

измерений

мени измерения,

а левый — времени оценки, как пока­

зано на рис. 6-13.

Заметим, что

оптимальный сглаживающий фильтр

18*

275

^•x(k+i\k+n-N)

k=0

C(k+1+N)

x<k\k+N)

БЗ

Ф(к+1,к)

k=0

U(k+1)

БЗ Я

БЗ

k + N—1

C(k

+ N) =

[ j А(і),

можно записать:

C(k+\

+N)

=A-t(k)

C(k + N)A (k+N)

(6-97)

для k = 0, 1, ... , где

A (i) =P(i\

i)Ф'(і+

1, i)p-i(i+11

i).

Начальным

условием для

уравнения

(6-97),

очевид­

но, является матрица

С ( Л 0 = П ' Л ( 0 ,

(6-98)

( = 0

го

фильтра,

U(k+\),

описываемой уравнением (6-86),

достаточно просто. Этот расчет не является

рекуррент­

ным, он проводится отдельно для каждого k.

При

вычислении

обеих

матриц

передачи

приходится

в

каждый

момент

времени

обращать

корреляционные

матрицы. В

уравнении

(6-86)

для

каждого

k

требуется

вычислять матрицу Р-1(к\1г),

а в уравнении

(6-97) при

определении

Л- 1 (&)

и

A(k + N)

необходимы матрицы

P-*{k\k)

и P-i(k+l+N\k

+

N).

Аналогичная трудность возникает и в уравнении для

корреляционной матрицы

ошибки

сглаживания (6-87),

где нужно определять

матрицы A~l(k)

и

\А'{к)]-1-

ное условие Р(0\М)

для уравнения (6-87)

нужно

полу­

чить,

последовательно

решая уравнения

(6-79) или

(6-80)

для

Р ( 0 | 1 ) ,

Я(0|2) . . .

и,

наконец,

для

P(0\N).

Кроме

того,

в уравнение

(6-87) входят матрицы

P(k\k)

и

P(k+\+N\k+N),

получаемые

в результате

решения

задачи

оптимальной

фильтрации

для

k = 0, 1 . . .

Пример

6-4.

Применим

теорему

6-3

для получения уравнений

исследованной в примерах

6-1 и 6-3. Напомним еще раз,

что

для

рассматриваемой системы

Ф ( £ + 1 , k)=T(k+\,

k)=H(k+l)

= \,

a

Q(k)=25.

Однако C(k+l)=A(k),

так что C(ft + 2) =А(ft+1).

Значения Л (ft+1)

приведены в табл. 6-1. Два искомых коэф­

фициента передачи сглаживающего

фильтра даны в табл. 6-3.

Т а б л и ц а

6-3

k

C(ê + 2)

U(k +

l)

0

0,349

0,250

1

0,302

1,865

2

0,324

2,135

х

(ft + 1 I ft+ 2) = х (ft I ft+

1) + С (ft + 2)

(ft + 2) X

X

7(ft + 21 ft+ l) - f у (ft +;i)

[X (ft I ft+ 1 ) -

X (ft I ft)]

(рис. 6-15).

•

x(k+l\k+2)

к(к+г)

*z(k+z\k+1)

БЗ

\-,x(k\k+1)

C(k+Z)

U(k+1)

Xv(k\k)

-X

+

Рис. 6-15. Оптимальный сглаживающий фильтр с по­

стоянным запаздыванием из примера 6-4.

Дисперсия ошибки оптимального сглаживания с единичным за­

паздыванием определяется с помощью уравнения

Р (ft + 1 I ft+ 2) = Р (ft +

1 Ift)— C 2

(ft + 2) К (ft + 2) X

X P ( f t + 2 I ft+ 1). A»(k) \P(k \

k)-P(k)k+\))

ХК

(ft + 2) Я (k + 2 I * +

I)—3i\fef

[/> (* I A) - P.(* I * -LOI-

В

табл. 6-4 приведены

значения

дисперсии ошибки оптималь­

Для

сравнения здесь

же приведены

соответствующие значения дис-

Та б л и ц а

6-4

/

Предсказание

Фильтрация

Сглаживание на за­

Сглаживание с

еди­

РІІІІ-П

Р{№

крепленном интер­

ничным запазды­

вале Р(Ц4)

ванием

0

100

26,25

28,60

1

125

13,40

9,84

10,04

2

38,4

10,80

8,30

8,51

3

35,8

10,57

8,37

8,37

живания согласно классификации §

6-1

относится этот результат?

6-3. Получить

соотношения для

математических

ожиданий и

корреляционных

матриц, необходимых

при описании

следующих

мального сглаживания на закрепленном

интервале:

f[S(N—l\N),

x(N\N)] а }[х(к\Щ\x(k+1

]N),

S(k+2\N)}

(для k^N—2,

N—l,

0).

6-4. Показать, что в задаче

оптимального

сглаживания на за­

крепленном интервале случайный

процесс

{у(к),

&=JV, N—1, ... , 0},

где

» (ft

I N)

fr (ft I

ft)