книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

j=k+1,k+2 ...

x(k\j-r)

БЗ

Рис. 6-8. Структурная схема варианта оптимального фильтра,

сглаживающего

в закрепленной

точке.

для j = k + \,

k + 2. . . .,

имеющую

то

преимущество,

что

для всех / вектор K(j)z

—1)

вычисляется

непосред­

ственно при работе оптимального

фильтра. Структурная

схема

такого

сглаживающего

фильтра

приведена

на

рис. 6-8.

Ошибка

сглаживания

и ее

корреляционная

матрица

Анализ

ошибки

оптимального

сглаживания в за­

крепленной точке проводится в основном

так же, как и

для сглаживания

на закрепленном

интервале в § 6-3.

Из

определения

ошибки

оценки

и

из

уравнения

(6-63)

имеем:

x{k

I }) =

x(k)-x(k

! j) =

x{k)~x{k

I / — 1) —

~

В (/) [x(j

I /) -x{j\j~

1 ) ] = x(k I / — 1) —

-B(i)[x(i

I j)~x(j

\

j-l)].

(6-66)

Как и в §

6-3,

из

соотношений

x(j

I І) — х{і)-х{]

I /) ;

x(i

I

j - l

)

=

x(j)~x(j

I / — 1)

получаем:

x(j

I /) - x {

j \ j -

=

I У — 1) — x(j I y).

(6-67)

Согласно уравнению

(5-61)

x (У I У) Ht-~K(j)H(j)}x(j\j-\)-K(j)v(j).

(6-68)

Отсюда следует, что

x (у I У - 1 )

х (у) = /( (у) Я (у) Ж (у'| у—1) +K{j)v

(у). (6-69)

Из

уравнений (6-67)

и (6-69) ясно, что

уравнение

(6-66) можно представить в виде

x(k\j)=x(k[j-l)-B(j)K(j)H(j)X

Xx{j\j-l)~B(j)K(j)vU)

(6-70)

ной

системы

первого

порядка с

входными сигналами

в

виде

гауссовской

марковской

последовательности

{£(/1/—О»

/ = £ + 1 , k + 2 .. .} и гауссовской белой

после­

довательности

{У(у), / = & + 1 , k + 2 . . .} с нулевыми

мате­

x(k\k)

—гауссовский случайный вектор с нулевым сред­

ним,

то {x(k\j);

j=k, k + \, .. .} — гауссовская

марков­

ская

последовательность второго порядка с

нулевым

* ( у | у - 1 ) = Ф ( у , у - 1 ) х ( у - 1 | у - 1 ) +

+ Г(/,

/ - 1 ) а / ( / - 1 ) .

(6-71)

Уменьшая в уравнении (6-68) на единицу значения

индексов

времени и

подставляя

полученный

результат

в уравнение

(6-71), получаем:

= Ф ( / \

/ - ! ) [ / - # ( / - і ) Я ( / - і ) ] х

X x (у - 11 у - 2 ) ^ Ф (у, І-\)К

(У-1 ) ѵ(і-1

)

+

+ Г(у, у - І ) ш ( у - І )

(6-72)

для

j = k+l,

k-\-2 ...

Начальным

условием для

уравне­

ния (6-72) является гауссовский случайный

«-вектор

x(k\k— 1) с нулевым

средним.

Структурная схема системы

(6-70), (6-72)

показана

на

рис.

6-9.

Выходным

сигналом системы,

очевидно,

тическими

ожиданиями

{w(j—1);

/ = £ + 1 ,

k-\-2 . . . } ,

W ; - i ) ;

j=k+\,

k+2

. . . } и {v(j);

j=k + \,

k+2 . . . } .

ных условий x(k\k—1)

и x(k\k)—гауссовские

с нуле­

выми

математическими

ожиданиями

и не

зависят от

v(j-i)

_ _ і

3(j)KÖ)

x(k\j)

w(j-n=*\raH

•m)

63

x(b\j-l)

Ф(І,І-І)

b-K(j-№(H]\

Рис. 6-9. Структурная схема формирования случайного про­

цесса

ошибок сглаживания

в закрепленной

точке.

ной матрицы ошибки.

Чтобы получить

его,

вначале

перепишем

уравнение

(6-66) в виде

x(k

I j) +

B(])xtJ

I J) =

x{k

I / - 1)

+

Далее, поскольку в силу уравнения (5-10)

векторы

x(k\j)

и х ( Д / ) , а также

x(k\/—

1)

и x(j\j

—

l) неза­

висимы,

имеем:

P(k\j)

+ B(j)P_(j\j)B'U)=P(k\j-i)

+

+ ß(/)^l(/l/-l)ß'(/),

(6-73)

X

X

где

P(k j~l) = E[x (k\ï~

\)x'{k\i-

1)].

X X

=

( Л ( / J / ) ]

И

х\х

(/1 / -

і ) = £ [*(Л У -

і) £

(/1 / - 1 ) ] .

Группируя члены в уравнении (6-73), запишем его в

виде

P(k\i)

=

P{k\j-\)

+

B(j)[P_(j\i~\)-

~Р^(І\МВ'{І).Х

(6-74)

X X

Заменяя

в

(6-55)

индекс

k на

/'—1 и N

на /, полу­

чаем:

Р^ЛІ

I / -

1) -

Р^

(/1 i)=P(i

\ i) - Р Щ І - О-

XX

XX

Следовательно, уравнение (6-74) принимает вид:

P(k\j)=P(k\j-\)+B(i)[P(j\j)-

для j — k+\,

k + 2,

_ / > ( / | / _ 1 ) ] В ' ( / )

B(j)

(6-75)

. .., где

матрица

описывается

уравнением

(6-62),

a P(j\j)

и

P(j\j—1)—корреляцион­

сказания. Начальным

условием

для уравнения (6-75),

очевидно, является

P(k\k).

Замечая, что в силу уравнения

(5-51)

Теорема 6-2.

1)

Оптимальное

сглаживание

в

закрепленной

точке

описывается

системой

уравнений

x(k\j)

= x{k\j-l)

+

B (/) [x (/ \f)-x

(/ \ j -

1)]

(6-76)

для

постоянного

k

и для j = k+l,

k + 2, . . ., с

начальным

условием

x(k\k).

2)

Матрица

передачи

сглаживающего

фильтра

B(j)

размера

пХп

определяется

с помощью

соотношений

B(j)Jjj

А(і);

(6-77)

i=k

А(і)=Р(і\і)Ф'(і+\,

1)Р-1{1+\\1)

(6-78)

для / = £ + 1 ,

k + 2 ...

3)

Случайный

процесс

ошибок

сглаживания

в

за­

крепленной

точке

{x(k\j),

j = k,

k + \, ..}

является

гаус-

совской

марковской

последовательностью

второго

поряд­

ка

с нулевым

средним

и корреляционной

матрицей,

удо­

влетворяющей

системам

уравнений

P(k\j)=P(k\j-\)+B(j)X

или

X[P(j\j)-P(j\j-l)]B'(j)

(6-79)

P(k\j)=p{k\i-l)-

-B(j)K(j)H(j)P(j\j-l)B'(j)

(6-80)

для

j — k + \,

k + 2, .. .,

при

начальном

условии

P(k\k).

Возможна и другая формулировка теоремы с заме­

ной уравнения

(6-76)

на

(6-65), а

уравнения

(6-77)

на

пример,

если ошибка при вычислении P~l(k+l\k)

была

сделана

только при одном значении & Œ [О, N], то

матри­

логичная

ошибка была

сделана при одном

значении

i>k

при сглаживании

в закрепленной

точке, то

значение

матрицы

ВЦ)

будет

ошибочным для

всех / > і , что ясно

из

уравнений

(6-77)

и

(6-78). Однако можно

получить

точке и без вычисления Р~і(і+

1

Этот

результат,

при­

надлежащий

Фрезеру [Л. 6-5], формулируется

здесь в ви­

де следствия к теореме 6-2.

Следствие 6-1.

1)

Оптимальное

сглаживание

в

закрепленной

точке

описывается

системой

уравнений

2 (k I j) = x [k

I j -

1 ) +

W (/) H' (/) R-1

(/) x

Х [ г ( / ) - # 0 ' ) Ф ( / .

\

- l ) x (

i - \ \ l - \ ) \ ,

(6-81)

где

j=k+\,

k+l2, ...,

с начальным

условием

x(k\k).

2)

Матрица

передачи

сглаживающего

фильтра

W(j)

размера

пхп

определяется

с

помощью

рекуррентного

соотношения

W(j)=W(j-l)0'(j,

j-l)[I-S(j)P{j\j)]

(6-82)

для

j=à+l,

k + 2,

...,

с начальным

условием

W{k)=P{k\k),

SdeS(j)=H'(j)R-i(j)H(j).

{x(k\j),

j=k,

k+l,

...}

3)

Ошибка

сглаживания

является

гауссовской

марковской

последовательностью

второго порядка

с

нулевым

средним и

корреляционной

матрицей,

удовлетворяющей

уравнению

P(k\j)=P(k\j-\)-W(j)X

X[S

(j) P (j

I / - 1 ) S (J) +S

(j) W

(j)

(6-83)

для

j = k+l,

k + 2 . . .

с начальным

условием

P(j\j).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство можно

легко

получить

с

помощью

теоремы 6-2. Оно предоставлено

читателю в качестве упражнения.

Здесь вычисление Р

_ 1 ( / + Ш ) заменено вычислением

R~l(j).

Так как число

переменных измерения обычно

тирующего члена к оценке x(k\j—1),

полученной в мо­

• • • •

Время

к

к+і к+2

к+3

••••

для /=1, 2,

3,

4, где

W(0) = Р ( 0 | 0 ) = 100. Ясно, что здесь fe=0, так

как требуется

оценить

х(0).

Далее,

с

учетом

M(0\j) = W(j)/l5

уравнение (6-81) принимает

вид:

ж ( 0 | / ) = * ( 0 | / - 1 ) +

+ W(j)[z(j)-ZU-

\ І / - 1 ) ] / 1 5

Т а б л и ц а 6-2

№(/)

М(0|/)

РЩІ)

0

О', 71 Г

100

1

10,70

28,60

2

2,98

0,199

26,45

3

0,883

0,0588

26,27

4

0,262

0,0175

26,25

\zQ)-x(H\H)]

M(û\j)

ßJO\j)

От оптимального

фильтра

БЗ

J = 1,2,3,4-

Рис. 6-12. Оптимальный фильтр, сглаживающий

в закреплен­

ной точке, из

примера

6-3.

зается результат первого измерения, и дальнейшее

улучшение точно­

сти

является сравнительно

скромным.

Структурная

схема сглаживающего фильтра

изображена на

рис.

6-12.

Теорема 6-3.

1)

Оптимальное

сглаживание

с

постоянным

запаз­

дыванием

x {k -f-11 k -f-1 +

JV)

описывается

системой

уравнений

x{k'+l\k

+

\ + Л 0 =

Ф(6 +

1, k)x{k\kA-N)

+

+ С ( £ + 1 + Л 0 / С ( 6 + Г 1 + Ѵ Ѵ ) 2 ( & + 1

+

N\k

+

N)4r

+ C/(Ä+l)[x(ß|)fe + A/)-3c(feU)]

(6-84)

для k = 0,

1 . . . с начальным

условием

x(0\N).

2)

Матрицы

передачи

сглаживающего

фильтра

C(k +

+ N)

и U(k+l)

размера

пХп

определяются

с

помощью

соотношений

C(* +

l + t f )

=

ff

A(i),

(6-85)

где

i=k+l

А(І)=Р(І\І)Ф'{І+І,

/)я - ч« + і | 0 ;

}

£ / ( £ + 1 ) =

Г ( £ + 1 ,

k)Q(k)ÏÏ{k+U

k)X

(6-86)

3)

Ошибка сглаживания

с постоянным

запаздыва­

нием

{x(k\k + N), k — 0,\ ...}

является гауссовской

мар-

ковской

последовательностью

второго

порядка

с нуле­

вым

средним и

корреляционной

матрицей,

удовлетворя­

ющей

уравнению

P(k+l\k+l

+ N) =P(k+\\k)—C{k+\+N)

X

XK{k+l+N)H{k

+

\+N)P(k+l+N\k+N)X

XC'(k+l+N)—A-l(k){P(k\k)

—

-P(k\k+N)}[A'(k)]-i

(6-87)

для

k — 0,\ ...

с начальным

условием

P(0|JV).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

было

указано

в

начале

главы,

теорема

доказывается

с использованием

резуль­

соотношение

x(.k+\\k+l+N)

=E[x(k+\)

\z(\), z(2), . . .

.. ., z(k+N),

z(k+\-\-N\k

+ N)\ Последний способ дока­

Уравнение (6-57) из теоремы 6-1 для оптимального

сглаживания на закрепленном

интервале

x(k\N)

=

x(k\k)-\-

A(k)[x(k+\

\N) — x{,k+\

\k)\

представим

в виде

x{k+

1 |Л0 =

Ф ( £ +

1,

k)x{k\k)

+

+

A~l{k)

[x(k\N)-x(k\k)]

(6-88)

с

учетом

соотношения

x{k-{-1

j £) =

Ф(&-(- 1,

k)x(k\k) и

в

предположении,

что

матрица

A (k)

несингуляона.

Прибавляя

к обеим

частям

уравнения (6-88) выраже­

ние Ф(/fe —f- 1, k)x(k\N)

и

затем

гоуппируя

члены,

полу­

чаем:

х(/г +

1|/Ѵ) =

Ф(/г +

1,

fe)^(fe|/V)

+ Ф ( А

+

1,

k)x(k\k)~

- Ф ( / г +

1,

k)x{k\N)

+

A-1

{k)$c(k\N)

— x{k\k)]

=

=

Ф ( £ + 1 ,

k)x(k\N)

- Ф(& +

1, k)[x(k\N)

—

— x(k\k)]-\-A~l(k)[x(k\N)~x(k\

k)]

=

=

Ф(£ +

1, k)x{k\N)-j-\A-*{k)-<S>{k-\-\,

k))X

X

[x(ti\N)

—

x{k\k)].

(6-89)