книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

казать это, заменим

в

уравнении

(6-34)

индекс k на

k+\.

Тогда

x{k\+\

\N)=x(k+

\

iN-iy+P-PZl^NlN-l),

(6-46)

где

Prz = E[x(k+

1)?(УѴ I N— 1)];

P^=-E[7{N

I /V — l)~(N

I tf-

1)].

xz

z

z

=

A (fe +

1) Л (fe + 2)... A (N -

1) К {N),

что и требовалось

показать.

Следовательно,

согласно

уравнению

(6-45), для по­

стоянного N иfe= 0, 1, ..., N—1 справедливо соотно­

шение

x(k

I N) =

x{k

I k) — A(k)x(k

+

l

I fe) +

+

Л

+

1 I N) = x{k

I

fe)-M(fe)X

X [Jc(ft + 1 I N) -

x(k

+ 1 1

fe)],

(6-47)

где согласно уравнению (6-18)

A(k)=P(k\k)0'(k+l,

k)P-l(k

+

l\k).

x(N — 1

I N)=x(N

- 1 I N — l)-f-

+ A(N—

\)[x{N\N)-x{N

I N — 1)].

x(N

— - I

I N),

можно

аналогичным

способом

вычислить

оценки

x(N — 2 | N), х(М~3

| N),

х{0

| N).

Следова­

тельно,

индекс

k в уравнении

(6-47) означает k = N — 1,

N — 2,...,Q,

а

граничным

условием

является

текущая

оптимальная

оценка x(N

| N).

Последовательность вы­

числений

схематически

показана

на шкале

времени

рйс. 6-3.

Совершенно ясно, что алгоритм

оптимального

Конец

Начало

1

І4-Н

Ч

1

1

*

время

О

1 Z • • • N-Z N-l

N

\

Рис. 6-3. Последовательность вычислений при оптималь­

ном сглаживании на закрепленном интервале.

сглаживания

на закрепленном интервале

не

рассчитан

на

обработку

данных

в

реальном

масштабе

времени,

ющего на закрепленном интервале,

приведена на рис. 6-4.

Здесь «невязкой»

является разность между оптимальным

сглаживанием на

закрепленном интервале x (k -f-1 | N) и

оптимальным предсказанием x(k-\-\

| k)'Для

каждого зна­

чения k корректирующий член A (k)

[x{k - f - 1

| N)—x(k-\-

;

Х(к\к)

х(к+1\к)

А(к)

53

Х(к+1\Ы)

/ г = / Ѵ - / , . . . , 0

Рис. 6-4.

Структурная

схема

оптимального

фильтра,

сглаживающего

на

закрепленном интервале.

ствии

будет

называться

матрицей

передачи

оптимально­

го

фильтра,

сглаживающего

на

закрепленном

интер­

вале.

Ошибка

сглаживания

и ее корреляционная

матрица

Ошибка оптимального сглаживания на закреплен­

ном интервале по определению

равна:

x(k

I N)=x(k)-x(k

I N).

Подставляя в это выражение уравнение

(6-47), полу­

чаем:

x

ft

I N) =

x (ft I ft) -

A (ft) [Je (ft - f

1 I N) — x(k +

1 I ft)]

(6-48)

Также по определению

jc(ft +

l I JV)==Jc(ft+l)-Jc(ft-f.l

I

N);

x{k+\

I ft) =

JC (ft+ \)-x{k+

1

I

ft),

откуда

x(k+ 1 I N) — x{k-\-1

I ft) = 3c(ft+ 1

I k)-x{k+l

I N).

x{k\N) =£(ft|ft) +A{k)[x(k+\\N)—x(k+\\k)\.

(6-49)

Так как

то ясно, что

x(k\N)=A{k)x(k

+ l\N)+x(k\k)

—

—A{k)x(k

+ \\k)=A{k)x{k

+ \\N) +

+[I—A(k)<b(k+1,

k)]x(k\k)—A

(k)T(k + \,

k)w(k),

где / — единичная матрица размера «X« .

(6-50)

Рассмотрим случайный

процесс

{x(k\N),

k = N,

N—1, ...,

0}, который описывается

уравнением

(6-50).

Из этого

уравнения

видно,

что x(k\N)

можно

рассма­

тривать как выход

линейной системы

первого

порядка,

работающей в обратном времени и

подверженной

воз­

действию

двух возмущающих

функций. Первой из них

является

ошибка фильтрации

{x{k\k),

/г = 0, 1 . . . } ,

пред­

тельность

с нулевым

средним. Вторая возмущающая

функция

{w(k), /г = 0,

1 ... } является гауссовской белой

X<K\N)

Шк\кѴ-

1-А(ЮФ(к+1,к)

k=N,N-1,...,0

А(к)

63

£YA-+/|A/)

Рис. 6-5.

Структурная схема формирования ошибок опти­

мального

сглаживания на закрепленном

интервале.

уссовская

марковская

последовательность,

то

процесс

с

обратным

временем

{x(k\k),

k = N—1,

Л"—2, ..., 0}

также гауссовский и марковский.

Граничным

условием

для разностного

уравнения

(6-50) является гауссовский

случайный «-вектор

x(N\N)

с

нулевым

средним. Структурная

схема

формирования

ошибки сглаживания изображена

на рис. 6-5.

ß

§ 4-2 показано,

ЧТО выходной сигнал

такой

систе­

мы,

в данном случае

x(k\N),

представляет

собой

гаус-

ка с нулевым

средним.

{x(k\N),

k = N, N—1, . . .

Так как последовательность

. . . 0} не

является гауссовской

марковской,

она не опи­

сывается

полностью своим (нулевым)

математическим

ожиданием

и

корреляционной матрицей

P(k\N)~

= E[x(k\N)x'(k\N)\.

Из § 4-2 известно,

что полное опи­

Хотя матрица P(k\N)

представляет

собой

только

часть

полного описания

случайного

процесса

{x(k\N);

k = N,

N—1, ..., 0}, она

может оказаться

довольно по­

лезной. В частности, она

полностью

описывает

распре­

kŒ{0,

N]. Если матрица P(k\N)

несингулярна, то

плот­

ность

распределения ошибки

сглаживания имеет

вид:

f [x(k

I N)]= r

1

exo[—lrx'(k I N)X

1 1

V

'

n

V (2п)" \P(k\N)\

'

L

2

XP-'ik

I N)x(k

I

tf)J.

Диагональные элементы

матрицы

P(k\N)

представ­

ляют

собой

дисперсии

компонент

случайного

вектора

ошибки

сглаживания

x(k\N).

Сравнивая

их,

например,

с соответствующими элементами матрицы P(k\k),

мож­

но оценить сравнительную точность алгоритмов опти­

мального

сглаживания

на

закрепленном

интервале и

оптимальной фильтрации. В силу этого в дальнейшем

вместо полного вероятностного описания случайного про­

цесса

[x{k\N)\

k = N, N—1,

..., 0} будет рассматривать­

ся только выражение для его корреляционной

матрицы.

Чтобы

получить

это

выражение,

вначале

запишем

уравнение (6-48) в виде

x{k\N)

+Л(ft) x { k +\ I N) = x(k

I k)-\-A(k)x(ft+

1 I ft)

(6-51)

В силу уравнения

(5-10)

E[x(k

I N) x'{k+l

I N)] = 0;

E[x(k

I

ft)jc'(ft+

1 Ift)]=

0

P(k\N)

=P(k\k)

+А (k) [P(k-\-l \N)—P(k

+ 1 \ k)]A'(k).

(6-56)

Уравнение (6-56) представляет собой матричное раз­

ностное

уравнение

первого порядка для

корреляционной

P(k\k) и P(k+l\k),

полученных

из

решения

задачи

оптимальной

фильтрации.

Индекс k

в уравнении

(6-56), очевидно, принимает

значения N—1, N—2,

..., 0.

Граничное условие

для это­

го уравнения

P(k+\\N)=P(N\N)

при

k =

N—\.

Теорема 6-1.

1)

Оптимальное

сглаживание

на

закрепленном

ин­

тервале

списывается

системой

уравнений

x{k

I N)=x(k

I

k)-\-A(k)

[x(k

+

l

I N)

— x(k+l

I

k)\

(6-57)

для

k=N

— 1,

N — 2,

0,

где

x(N

| N)—граничное

ус­

ловие

при k =

ZV — 1.

2)

Матрица

передачи

сглаживающего

фильтра

A (k)

определяется с помощью

соотношения

A(k)=P(k\k)<b'{k

+ \,

k)P~4k

+ \\k).

(6-58)

3)

Ошибка

оптимального

сглаживания

на

закреплен­

ном

интервале

{x(k\N), fe

= iV, JV—1,

. . . , 0 }

представляет

собой

гауссовскую

марковскую

последовательность

вто­

рого

порядка

с нулевым

средним

и

корреляционной

ма­

трицей, описываемой

системой

уравнений

P{k\N)

=P(k\k)

+A(k)

[P(k + \\N)—P(k

+

l\k)]A'(k)

k = N—1,

(6-59)

для

N—2, ..., 0, при

граничном

условии

P(N\N)

для

k=N—l,

A (ky= P\k

I к)\Ф' (к+\,кУ[Ф'[(к+

1,*)]-' X

Х Р - '

(ft I А ) Ф - ' ( А + 1 . А ! ) = Ф ( А . А ! +

1).

Подставляя этот

результат и

соотношение

x (k -J- 1, А) =

= Ф ( & + 1, ft) x (ft I А) в

уравнение

(6-57),

п о л у ч а е м :

x (ft I N) =

x (ft I k) + ф (k, k +

1) [x(k

+l\N)

—

— Ф(к + 1,

ft)x(ft I k)] = Ф ( £ , ft +

l)x(ft +

1 I ІѴ),

откуда следует, что

x(k

I УѴ) = Ф ( А , УѴ) x{N

I УѴ).

P(k\N)=P(k\k)+<D(k,

k+l)[P(k+\\N)

—

—Ф(к+\,

k)P(k\k)<b'(k+\,

k)]<b'(k, /г+1) =

= Ф(А, k+l)P(k+l\N)<D'(k,

k+l)

или, что то же самое,

Р ( е | Л 0 = Ф ( А , ^)Я(ЛГ [/Ѵ)Ф'(А,

N).

6-4. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ В ЗАКРЕПЛЕННОЙ

ТОЧКЕ

Оптимальный

сглаживающий

фильтр

Заменяя

в уравнении (6-34)

индекс

N на /

и на­

поминая, что матрицей

передачи

в этом уравнении

явля­

ется матрица

M(k\N),

имеем:

x(k\j)=x(k\

j

- l ) - f M ( f e

I i)z{j

I / - 1).

(6-60)

Однако из уравнения (6-44)

следует:

M(k

i /)

=

* ( / ) ;

(6-61)

из уравнения

(6-16)