книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

Итак,

Вероятность выхода канала в режим кризиса теплоотдачи при кипе­ нии, т. е. вероятность, что Пі <• 0, получим по формуле (3.10)

Для сравнения вероятностен (5.43) и (5.48) вычислим последнюю при тех же исходных данных, при которых рассчитывали первую (см. рис. 17)

Отсюда следует важный практический вывод: при вычислении показателя теплотехнической надежности реактора R — вероят­ ности, что ни один канал активной зоны не попадет в режим кризи­ са, несравненно удобнее и проще рассматривать абсолютный запас до кризиса х\г = Q n p — Q, так как это позволяет получить из фор­ мул (1.7) и (5.48) точное аналитическое выражение (см. стр. 129):

k = і

Здесь k* — число групп каналов в реакторе с одинаковыми усло­ виями теплоотвода; nh — число каналов в k-іл группе.

Разумеется, что все сказанное относительно запаса до кризиса теплоотдачи при кипении и законов его распределения в равной мере относится к запасу до любого-иного определяющего (теплотех­ ническую надежность канала) параметра реактора, например запаса до максимально допустимой температуры оболочки твэла, до темпе­ ратуры насыщения теплоносителя и т. д.

§ 5.4. Пример оценки точности

физического расчета реактора

В этом параграфе рассмотрим вопрос о влиянии производст­ венных погрешностей параметров активной зоны на точность рас­ чета ее физических характеристик и, в частности, на точность расчета запаса реактивности. Исходными данными для такого расчета на­ ряду с прочими являются характеристики конструкции активной

зоны, включая ее размеры, свойства материалов, количество урана в топливной композиции, необходимое обогащение делящимся изо­ топом, количество выгорающего поглотителя и т. д. (в дальнейшем будем называть их конструкционными параметрами). Интересующие инженера физические характеристики активной зоны и, в том числе,

Обычно нейтроннофизический расчет проводится при номи­ нальных значениях конструкционных параметров х*, т. е. при зна­ чениях, строго равных установленным соответствующими техниче­ скими условиями. В результате расчета получают:

зоны и при сборке ее в единое целое вследствие присущих производ­ ственному процессу случайных флуктуации конструкционные па­

и представляет собой искомую абсолютную погрешность рассмат­ риваемого расчета.

Пространственное распределение конструкционного параметра. Остановимся несколько подробнее на физическом смысле конструк­ ционного параметра л:г. Рассмотрим следующий пример. Имеется критический реактор. Внесем в него возмущение, связанное только с размножающими свойствами среды (будем считать, что диффу­ зионные свойства активной зоны при этом не изменяются). Тогда появившуюся реактивность можно записать в виде

тронный поток в точке с радиусом-вектором г; У — объем активной

где А1гх(г) и А2с (г) — приращения, связанные с рассматриваемым возмущением. Подставляя выражения (5.54) в формулу (5.53), по­ лучаем

Таким образом, внесенная реактивность пропорциональна воз­ мущению величин kM н Б.е, взвешенному с квадратом потока по объ­ ему активной зоны. Анализируя эти возмущения и отклонения кон­ струкционных параметров от номинала Дх; , можно найти связь меж­ ду ними:

bk„ (г) = Д ^ [Дхг- (г)1, ДЕС (г) = ДЕ С [Ах, (г)]. (5.56)

При написании этих соотношений использовано то обстоятельство, что фактические значения конструкционных параметров, вообще го­ воря, есть функции пространственных координат xt = xt (г), а сле­ довательно:

Різ уравнений (5.55) и (5.56) видно, что для нахождения Др необ­ ходимо знать пространственное распределение возмущения по ак­ тивной зоне и, в частности, Ахг (г) в любой точке зоны. Если возмущениями являются случайные отклонения конструкционных параметров, то относительно величин (5.56) можно сделать два пред­ положения, позволяющие получить Др из формулы (5.55) в аналити­ ческом виде:

Первое предположение позволяет оценить влияние на реактив­ ность отклонения какого-либо конструкционного параметра от номи­ нала в среднем или на максимальную величину (Дхг = х% — х" или Дх" а к с = х"акс) — х". Для второго предположения, при известных

Тогда

Соотношение (5.63) позволяет найти искомую связь между Др и Дхг . Основную трудность в его использовании представляет вычис­ ление частных производных (ф/<3л-г)ш т. е. вычисление коэффициен­ тов kt. Для этих коэффициентов можно в некоторых случаях зара­ нее найти аналитические выражения или найти численными метода­ ми параллельно с расчетом р п . Будем понимать под реактивностью

где £Эфф — эффективный коэффициент размножения в активной зо­ не. Величину &Эфф определим по одногрупповой диффузионной тео­ рии, модифицированной в соответствии с результатами работ [39, 40],

где v — число вторичных нейтронов, приходящихся на один акт за­ хвата теплового нейтрона в уране; р — коэффициент, учитываю­ щий размножение на быстрых нейтронах; ср — вероятность избежать резонансного захвата; 9 — коэффициент использования тепловых нейтронов; kT = 1 - f JcyW2; Х2 — геометрический лапласиан; М2 — квадрат длины миграции. Тогда

Таким образом, нашли в одногрупповом приближении связь между kt и частными производными по интересующему нас параметру от различных физических характеристик активной зоны. На рис. 18 представлены зависимости относительного отклонения реактивности Др/рн для водо-водяного реактора на тепловых нейтронах от откло­

расчета по обычно используемой инженерной методике (сплошные кривые) и путем линеаризации функции р = р(х1 , х2 , xh) (пунктир­ ные кривые). Из рисунка видно, что обе методики дают очень близкие результаты при небольших значениях у^уг <0,1) . Итак, если перед инженерами стоит задача расчета величины Др (5.52) для уже изго­ товленной активной зоны, то она решается следующим образом. В результате непосредственных измерений фактических значений кон­ струкционных параметров на комплекте каналов активной зоны вы­ числяются по формуле (4.6) величины xt. Затем находятся у0 kt по формулам (5.62), (5.66) и вычисляется Др (5.63).

Применение метода Монте-Карло для оценки точности расчета запаса реактивности на этапе проектирования реактора. В период проектирования активной зоны не известны фактические значения конструкционных параметров, а следовательно, и величины xt (5.58). Поэтому для решения поставленной задачи можно либо использо­ вать предельную методику, предполагая, что все | хг —х" \ = At (где А; — половина допуска) и все отклонения Арг имеют одинако­ вый знак, либо использовать метод статистических испытаний. Пре-

NN//

//

//// //

Л-5

/

-10

дельная методика, позволяя быстро оценить интересующий нас эф­ фект, дает чрезмерно завышенную погрешность Ар (5.63). Результа­ ты предельной методики можно несколько улучшить, если восполь­ зоваться выводами § 11.2 и брать в качестве максимального откло­ нения для \xt — х" | величину 0,73 А;, а не Аг [см. формулу (11.25)]. Метод статистических испытаний трудоемок, но он позволяет более точно оценить вероятность того или иного значения Ар. Процедура вычисления погрешности расчета для величины, являющейся извест­ ной функцией многих аргументов, с помощью метода Монте-Карло подробно описана в § 5.2. Здесь рассмотрим два наиболее интерес­ ных частных случая.

1. Конструкционные параметры активной зоны распределены по равновероятаому закону в интервале [х? — Дг ; х" -f- АЛ. В этом случае отдельное (случайное) значение параметра xt можно выразить

через случайную величину £, равновероятно распределенную в ин­ тервале [0,1]:

Х і = хї + А, {21- 1).

Отсюда, используя формулы (5.62), находим

уt = (Д,/*;') ( 2 £ - 1 ) ;

(5.67)

Если рассматриваем k независимых конструкционных параметров [см. формулу (5.50)], то для проведения одного статистического испы­ тания надо k раз «разыграть» величину \ (каждый раз для нового конструкционного параметра), найти Др1 ( Ар2 , . . ., Дрй (5.67) и по формуле (5.63) вычислить Ар. Для получения необходимых статисти­ ческих характеристик Ар достаточно провести несколько сотен таких испытаний [см. выражение (5.21)]. После их проведения можно легко вычислить любую интересующую инженера погрешность расчета р по формулам (5.16) — (5.19).

Необходимо отметить, что предположение о равномерном распре­ делении случайной-величины xt в пределах поля допуска завышает Др. Поэтому такое допущение может быть использовано для верхней

(3.11). Подробнее об усеченном нормальном законе и его характери­ стиках см. § 11.2. Отдельное статистическое испытание в данном случае организуется одинаково с описанным в предыдущем пункте, только величины хг теперь вычисляют по формуле (5.68).

Влияние пространственного распределения конструкционных параметров на погрешность расчета Др запаса реактивности. Воз­ можна ситуация, когда средние по зоне значения конструкционных параметров будут строго равны номинальным, однако расчетное зна-

чение запаса реактивности р н будет отличаться от фактического р. Причиной такого отличия будет пространственное распределение конструкционных параметров по объему активной зоны. Ранее было замечено, что учет этой погрешности Др = р — р п возможен, когда известна функциональная зависимость хг (г), т. е. если заданы значе­ ния конструкционных параметров в любой точке активной зоны. Ра­ зумеется, на этапе проектирования зоны такую зависимость получить нельзя. Тем не менее можно оценить максимальную или минималь­ ную погрешность Др, которую следует ожидать из-за указанных причин.

Без ущерба для общности рассмотрения будем считать, что каж­ дый из конструкционных параметров xi распределен равномерно по высоте отдельного технологического канала, но среднее по каналу значение параметра xt для различных каналов различно (в пределах допуска х" ± Д;)- Таким образом, размещая каналы по активной зо­ не тем или иным способом, можно, не изменяя средних по зоне значе­ ний л'г = л-", получить различные запасы реактивности р. Макси­ мальная разница между фактическим и расчетным значениями Др = = т а х (р — рв ) и будет искомой погрешностью расчета.

При сделанных предположениях наибольшая погрешность Др при расчете запаса реактивности может возникнуть в двух крайних случаях: а) вес горючего в технологических каналах возрастает в пределах допуска по мере продвижения от центра к периферии ак­

ности от номинала в отрицательную и положительную стороны соот­ ветственно. Оценим величину этого отклонения. Для определен­ ности будем рассматривать случай б).

Если пренебречь угловой неравномерностью распределения кон­ струкционных параметров по активной зоне, то в условиях нашей задачи отклонение от номинала і -го конструкционного параметра будет функцией только одной координаты-радиуса Ахг = хг — х" (г) (одномерный случай). Следовательно, уравнение (5.55) можно переписать в виде

где R — радиус активной зоны; At — коэффициенты пропорцио­ нальности, связывающие отклонения конструкционных параметров от номинала с соответствующими изменениями реактивности. Они вычисляются путем линеаризации функций Ak^ и Д 2 С (5.56) по

AXi(r):

Подставляя найденное выражение для rdr (5.72) в формулу (5.69), получаем

существенно меньше второго, и им можно пренебречь. Оставшийся интеграл можно вычислить, имея в виду, что exp [—(a/a)2] являет­ ся наиболее резко меняющейся функцией в подынтегральном выра­ жении. Для оценки величины Ар допустимо слабо меняющиеся функ-