книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

По методу греко-латинского квадрата при k уровнях можно исследовать до k факторов (полное число опытов /г2). Это позволяет очень существенно сократить объем эксперимента. Так, если про­ водить полный факторный эксперимент для пяти факторов на пяти уровнях, то число опытов составит 5Б = 3125. Если же восполь­ зоваться планированием по греко-латинскому квадрату, то потре­ буется всего 52 = 25 опытов. В табл. XVI работы [104] приведены греко-латинские квадраты для значений /г от 3 до 9. Интересно, что для k = 6 греко-латинского квадрата не существует и можно построить лишь латинский квадрат.

В заключение еще раз напомним, что планирование по греколатинскому квадрату (как и по-латинскому) целесообразно в усло­ виях, когда взаимодействием факторов можно пренебречь.

Ограничение на рандомизацию. В рассмотренном выше однофакторном дисперсионном анализе для нейтрализации действия неучтенных (побочных) факторов эксперимент проводился по рандо­ мизированному плану. Чтобы получить правильный результат, часто нельзя проводить опыты в произвольном порядке. Необ­ ходим строго случайный порядок опытов; в этом смысле наша свобо­ да ограничивается необходимостью вводить определенного рода рандомизацию. '

Рандомизацию (т. е. случайный порядок проведения опытов) используют для нейтрализации влияния не только побочных, трудно уловимых факторов, но и для исключения влияния явных, невторо­ степенных факторов. Например, нужно оценить влияние на отклик только одного фактора. Допустим (см. ранее приводимый пример), необходимо проанализировать влияние на qKV типа канала с закру­ ченным потоком (число типов каналов равно трем). Имеется только три канала каждого типа с тремя различными шагами закрутки, т. е. всего девять каналов. Можно было бы выбрать из них три канала разного типа с одинаковым шагом закрутки и провести однофакторный эксперимент. Однако более привлекательно поставить на испытания все каналы и на основе девяти опытов сделать вывод о влиянии типа канала на qKp. Это, во-первых, дало бы возможность сделать более общий вывод с учетом всех шагов закрутки (посколь­ ку, например, при одном шаге закрутки упомянутое влияние мо­ жет быть, при другом — нет); во-вторых, чем больше каналов по­ ставим на испытания, тем более точным будет результат, поскольку

разного типа с одним шагом закрутки, во второй — тоже три канала разных типов, но уже с другим шагом закрутки, в третьей — три оставшихся канала. Причем для усреднения (исключения) дейст­ вия всевозможных побочных факторов нужно в пределах каждой тройки каналов с фиксированным шагом закрутки устанавливать случайный порядок постановки их на испытание, т. е. необходимо случайно разыгрывать последовательность этих опытов, если они

проводятся один за другим, пли место испытания (петля,, гнездо, стенд), если опыты проводятся одновременно.

Анализ• результатов в таком эксперименте сохраняется таким же, как в двухфакторном полном эксперименте, с топ лишь раз­ ницей, что интересоваться будем одним фактором (например, А). Такое планирование называется рандомизированным блочным. Блоком в данном случае является серия из трех опытов при фикси­ рованном шаге закрутки. Отдельный блок всегда связан с конкрет­ ным значением (уровнем) того фактора, который .хотим нейтра­ лизовать.

ния на рандомизацию, а анализ действия одного фактора будет уже трехфакторным, который может проводиться по методу латинского квадрата. При наложении третьего ограничения (на qViV, например, может еще влиять форма кривой тепловыделения по высоте канала) анализ получается четырехфакторным. Для него пригоден греко-

дача исследователя заключается в оценке коэффициентов уравне­

[105, 106]. Однако при большом количестве исследуемых факторов k даже при сравнительно малом порядке полинома (9.32) этот анализ требует такого объема вычислений, что задачу практически оказывается невозможно решить с. помощью ЭВМ [105].

Однако если эксперимент по определению, функции отклика спланировать особым образом, то задача вычисления коэффициен­ тов уравнения регрессии до третьего порядка включительно стано-

в ущерб общности) ограничимся рассмотрением уравнения регрессии

Они позволяют записать уравнение регрессии (9.32) в удобном

если по какой-либо причине изменяется порядок уравнения рег­ рессии, например вводится еще один член, то все коэффициенты меняются, а, стало быть, все расчеты по их определению необходимо произвести заново. Этот недостаток исчезает (коэффициенты ста­ новятся независимыми, и существенно упрощаются выкладки), если в системе уравнений (9.36) остаются только диагональные

Поэтому всегда стремятся так спланировать эксперимент, чтобы он был ортогональным. На этом планировании подробно остано­ вимся ниже. Здесь лишь продемонстрируем, насколько существенно при ортогональном планировании упрощается задача вычисления коэффициентов at. Приравнивая нулю в системе (9.36) все члены.

типа 2 XijXij,

относительно неизвестных аг . Різ t'-ro уравнения сразу получаем

После вычисления искомых коэффициентов необходимо произвести статистический анализ полученного уравнения регрессии (9.34) на адекватность (правильно ли оно описывает опытные данные). Он заключается в сравнении по критерию Фишера (4.55) дисперсии эксперимента

число повторных опытов для каждой точки /; т — число членов уравнения регрессии (9.34), не считая нулевого (аох0), или число' уравнений (связей) в системе (9.36) без одного.

Если окажется, что

то уравнение (9.34) адекватно описывает опытные данные (на уров­

каждого переменного (фактора л'; ), т. е. к оценке значимости коэф­ фициентов СІІ уравнения регрессии (9.34). Для этого необходимо рассчитать дисперсии этих коэффициентов. Поскольку коэффициен­

нирования) для вычисления дисперсии D (at) можно воспользовать­ ся формулой (2.29):

так как D {ijj) з= S%IN [см. формулу (9.39)1. Например, для орто­ гонального планирования, используя выражение (9.38), по форму­ ле (9.42) получаем:

ичисле степеней свободы п (N — 1).

Вслучае незначимости каких-то коэффициентов at члены с эти­ ми коэффициентами исключаются из уравнения (9.34), а коэффи­ циенты при оставшихся членах (в общем случае — неортогональ-

ного планирования) рассчитываются заново. Новое уравнение ре­ грессии также проверяется на адекватность.

Физика явления или опыт исследования могут подсказать, ка­ ким должно быть уравнение (9.34), в частности, какого порядка. Если такого рода данные отсутствуют, то уравнение регрессии на­ ходится путем последовательных приближений. Поиск разумно на­ чинать с достаточно простои (например, линейной) модели. При ее неадекватности в первоначальное уравнение включаются дополни­ тельные члены.

Ортогональное планирование. Полный факторный эксперимент «2*». Для того чтобы избавиться от основного недостатка регрессион­ ного анализа, необходимо так расположить экспериментальные точки в факторном пространстве (в области возможных значений факторов л',-), чтобы выполнялось условие ортогональности (9.37). Наибольшее распространение в ортогональном планировании по­ лучил специальный случай факторного эксперимента, в котором каждый из k факторов исследуют на двух уровнях (обычно близких к граничным значениям возможного диапазона изменения фактора).

Введем фиктивную переменную х0 - 1 и закодируем верхние значения уровней факторов Лв через - Ы , а нижние h n — через — 1 , •что эквивалентно переходу от переменных Xt к переменным л'/:

(для простоты записи штрих ниже опустим). Тогда эксперимент можно представить так называемой матрицей планирования, кото­ рая показывает, при каких сочетаниях уровней факторов должен измеряться отклик у (табл. 9.10).

Нетрудно убедиться, что такой план обладает свойством ортого­ нальности:

Поэтому они могут полностью характеризовать роль (вес) каждой независимой переменной (фактора) в уравнении регрессии (9.45). При коррелированных коэффициентах о* оценивать вклад отдель­

Дробные реплики. Если требуется получить чисто линейное

сто трудно объяснить), то нецелесообразно проводить полный фак­ торный эксперимент — достаточно провести часть опытов, входя­ щих в него, или, как говорят, достаточно организовать дробные реп­

вертьрепликой и т. д. Преимущества дробного факторного экспери­ мента особенно явно сказываются при большом числе факторов х,. Он также применим, когда не представляется возможным провести все опыты полного эксперимента.

Для организации ортогональной полуреплики эксперимента с k факторами нужно в матрице полного факторного эксперимента «2*-'» поменять наименование столбца, характеризующего взаимо­ действие самого высокого порядка, на столбец хк. Так, если иссле­

план можно записать в более компактной форме, обозначив х1 — а, х2 = Ь, х3 — с и подставив в матрицу всюду вместо + 1 соответст­ вующие буквы. Тогда каждую строку этой матрицы можно закоди­ ровать буквами, имеющимися в ней (табл. 9.11).

Код (с, a, b, abc) и является сокращенной записью плана рас­ сматриваемого эксперимента.

Наряду с полурепликой (см. табл. 9.11) можно организовать еще одну (вторую) полуреплику полного факторного эксперимента

К о д и р о в а н и е п о л у р е п л и к и п р я н о г о ф а к т о р н о г о э к с п е р и м е н т а « 2 3 »

Сравнив табл. 9.10 и 9.12 с матрицей полного факторного эксперимента «23» (табл. 9.13), нетрудно убедиться, что они, дейст­ вительно, являются его полурепликами.

(Столбцы взаимодействий не принимаются во внимание, посколь­ ку они являются производными столбцов факторов). Как видно, в первую полуреплику (см. табл. 9.11) вошли строки с нечетным количеством букв кода матрицы «23», а во вторую (см, табл. 9.12)— с четным количеством и строка (1). Отсюда нетрудно сформулировать формальное правило разбиения полного факторного эксперимента на полуреплики. Сначала строим код матрицы полного факторного

Переход от xi к xt легко осуществляется по формуле кодирова­ ния (9.46).

Эта полуреплика полного факторного эксперимента 25 органи­ зована заменой в полном факторном эксперименте 2'1 взаимодейст­ вия самого высокого порядка (хх х2 х3 х4) на фактор Kz- Экспери­ мент можно было бы построить на основе четвертьреплнки. При этом число опытов сократилось бы с 21 = 16 до 23 = 8. Четвертьреплику можно получить, воспользовавшись полным факторным экспериментом «23» («2*—2»). Она позволяет определить восемь коэф­ фициентов а,-, т. е. кроме свободного а0 и линейных членов а ь . . . , о 5 можно оценить еще два парных взаимодействия. Из полученного уравнения регрессии (9.48) видно, что наибольшее влияние на мощ­

ствиях, то выбор парных взаимодействий, оставляемых в уравнении