книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

Гипотеза о корреляции двух величин. Инженера часто интере­ сует вопрос: значима ли корреляционная связь между рассматри­ ваемыми величинами X и Y, или ею можно пренебречь? Для про­ верки этой гипотезы необходимо найти величину

Раздел I I . РЕШЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ, СТОЯЩИХ ПЕРЕД КОНСТРУКТОРОМ И ИНЖЕНЕРОМ-РАСЧЕТЧИКОМ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА

Г л а в а 5.

О Ц Е Н К А Т О Ч Н О С Т И И Н Ж Е Н Е Р Н Ы Х Р А С Ч Е Т О В

ЯД Е Р Н Ы Х Р Е А К Т О Р О В

§5.1. Постановка задачи

Точность любого инженерного расчета количественно характе­ ризуется погрешностями результатов расчета. Естественно считать, что точность не может быть больше единицы или 100%, поэтому связь между точностью t и погрешностью А записывают в виде

Результатом инженерного расчета может быть одна величина г или целая группа (непрерывная функция или поле) величин Ги Задача оценки точности любого инженерного расчета может быть решена, если известна процедура вычисления погрешности отдель­ ного результата расчета

ческое значение. Основные факторы, влияющие на точность инже­ нерного расчета, следующие:

1) адэкватность принятой математической модели реальному явлению (глубина знания природы, физики конкретного явления или процесса в конечном итоге проявляется в выборе определенной методики расчета, которая всегда является каким-то приближением

кдействительности);

2)погрешности исходных данных (отклонение фактических ве­ личин от принятых в качестве исходных для расчета, связанное, например, с наличием допусков на параметры и т.п.);

3)погрешности эмпирических соотношений, формул и констант,

используемых в рамках принятой методики;

4)погрешности вычислительных операций, численных матема­ тических методов, округлений ит . д.;

5)грубые ошибки, описки, промахи.

Естественно, что грубые ошибки недопустимы в инженерных расчетах. Они должны обязательно исключаться, во-первых, путем физического осмысливания полученного результата; во-вторых, пу­ тем организации проверок по балансовым и прочим физическим

соотношениям; в-третьих, путем проведения повторных расчетов, тщательного анализа промежуточных результатов и всего хода вы­ числения.

При инженерных расчетах обычно приходится задаваться до­ пустимыми погрешностями вычислительных операций е в ы ч . Надо придерживаться следующего простого правила: погрешность вы­ числения должна быть приблизительно на порядок меньше мини­ мальной из погрешностей исходных данных. Использование элек­ тронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) позволяет вы­ полнять вычисления с достаточно высокой точностью.

Гораздо сложнее вопрос об адэкватности математической мо­ дели. Он должен обязательно ставиться и решаться при проведении любого инженерного расчета. Адэкватность может быть установлена прежде всего путем проверки совпадения результатов расчета с экспериментальными (фактическими) данными с точностью до по­ грешности эксперимента (допустимая величина которой в каждом конкретном случае должна устанавливаться особо). Когда данные для сравнения нельзя получить, можно поступить следующим образом. В качестве математической модели рассматривать только основные (фундаментальные) закономерности, многократно подтвержденные практикой; а все гипотетические места методики следует предста­ вить в виде приближенных эмпирических соотношений и коэффи­ циентов, погрешности которых должны учитываться (с макси­ мальной предосторожностью, в запас) как погрешности п.З выше­ приведенного перечня факторов. В этих условиях адэкватность можно считать априорно установленной. Естественно, это увели­ чит круг и влияние факторов п.З, что, в свою очередь, скажется на

для конкретных условий рассматриваемой инженерной задачи. Обычно задают номинальное (при котором проводится расчет) зна­

половиной допуска для этого размера, в случае эмпирической фор­

< ха + Д, т.е. х типичная непрерывная случайная величина,

ожидание М (л). В этих условиях задача заключается'в следующем: в результате расчета получено некоторое значение случайной вели­

тов .г,-, область возможных значений которых достаточно мала (х" —

— Д; < х , .г" + Д,), для вычисления ее дисперсии можно восполь­ зоваться формулой (2.28). Получим

/е

вестен, то производные следует вычислять по конечно-разностным

В формуле (5.5) ри — коэффициент корреляции (2.25) величин хг и Xj, вычисляемый по формуле (4.11). В условиях полного отсутствия данных по ри можно (это будет в запас) положить

Для практики инженерных расчетов в реакторостроении интерес­ ны следующие два частных случая.

1. Законы распределения / (хг-) аргументов функции г (5.3) сим­

Если законы распределения хг близки к нормальным с математи­ ческими ожиданиями М (хї) ж х", то максимальная погрешность

расчета Ал в соответствии с формулами (3.8), (3.12) и (5.5) равна Зс?г = 3 г D (г) или для зависимых х-,

Когда производные рассчитываются по формуле (5.6), вместо выражений (5.8) и (5.9) соответственно получаем:

ность расчета, вызванная максимальной погрешностью Аг одной величины хг .

распределена практически нормально. В этом случае максимальную погрешность расчета можно вычислять по общей формуле

Заметим, что Аг является максимальной погрешностью инженер­ ного расчета. Из выражения (3.12) следует, что с вероятностью 0,997

2. Некоторые законы распределения / (хг) несимметричны отно­ сительно середины интервала х" (5.4), т.е. М (xt) Ф х", так что М(г) Ф г,., = г{х\, л-!,', л-/'). В этом случае прежде чем оценивать точность результата расчета г„, необходимо определить математиче­ ские ожиданиями (Л-,-) для аргументов х-, функции г. Это можно сде­ лать, если не известен закон / (х,-), по формулам для эмпирического среднего (4.6), считая M(Xj) =ixh То есть предварительно надо про­ вести серию повторных наблюдений (замеров) фактических значений каждого л-,. Математическое ожидание М (г) для функции г (хи х2 ,

случае, а отточки М (г), то полученные формулы для Аг (5.8)—(5.12)

стическим данным наблюдений, воспользовавшись формулой (4.9).

с максимальной погрешностью расчета Д/"м а к с (5.15) можно рассмат­

погрешности могут не совпадать друг с другом (рис. 16). Вычисление всех трех погрешностей возможно при условии знания закона рас­ пределения / (/•) или F (г).

Метод статистических испытаний (Монте-Карло). В самом общем

Рассмотрим несколько конкретных процедур оценки погрешности расчета с помощью метода статистических испытаний (Монте-Карло), Начнем со случая, когда не требуется определение закона распреде­

Агс р достаточна серия из N статистических испытаний, в процессе которых получено N возможных значений случайной величины г (выборка объемом N), i\, г2, гп, ... Гц. Тогда неизвестная величина М (г) может быть рассчитана по формуле (4.6) для эмпири­ ческого среднего и, следовательно,

Отдельное статистическое испытание (заключающееся в опреде­ лении величины гп) организуется следующим образом. Для каждого аргумента xt функции г (5.3) из области его возможных значений (5.4) выбирается случайным образом («разыгрывается») одно значение х\"\ Это «разыгрывание» производится в соответствии с конкретным

вав N таких испытаний, получим искомую выборку и на ее основе по формуле (5.19) вычислим погрешность Агс Р .

Очень важным вопросом для инженера является выбор числа статистических испытаний /V, которое существенно влияет на точ­ ность расчета и на время счета. Из выражения (4.32) следует, что погрешность определения М(г) по формуле (4.6) для эмпири­

нее квадратическое отклонение для г, вычисляемое по формуле (4.9).

Исходя из формулы (5.21), можно сделать принципиальный вывод: погрешность метода Монте-Карло обратно пропорциональ­ на квадратному корню из числа испытаний є ~ 1/У~Ы и, наоборот, N — 1/е2. Таким образом, чтобы вдвое уменьшить погрешность, надо в 4 раза увеличить число испытаний, а следовательно, и вре­

между собой. Тогда для проведения расчета необходимо иметь

так: сначала в соответствии с законом f{xt) разыгрывается значение

* В о п р о с о т о м , к а к п о л у ч и т ь с л у ч а й н ы е ч и с л а с з а д а н н ы м з а к о н о м р а с ­ п р е д е л е н и я , п о д р о б н о и з л о ж е н в р а б о т а х [35, 36] .

2. Полная оценка точности инженерного расчета. Несколько более трудоемкой, но зато дающей наиболее полное решение, яв­ ляется процедура вычисления погрешности результата г„ инже­ нерного расчета методом Монте-Карло, базирующаяся на опреде­ лении закона распределения величины /-, например интегрального закона F(r).

Исходным для построения эмпирического закона F^ (г) (см. рис. 16) служит полученный ранее ряд значений случайной ве­

показывет, что ориентировочное число подынтервалов можно выби­ рать по формуле

где N — полное число статистических испытаний, или объем вы­ борки.

На основе соотношения (4.48) можно оценить погрешность є между найденным эмпирическим законом и истинным законом рас­ пределения величины F(r) (даже если последний не известен):

(5.18). Заметим, что максимальную погрешность можно оценить по формуле

§ 5.3. Пример оценки точности поверочного теплогидравлического расчета реактора

Постановка задачи. Одной из основных целей теплогидравли­ ческого расчета реактора является оценка надежности теплоотвода из активной зоны или", как говорят, оценка теплотехнической на­ дежности реактора [6]. Будем для определенности рассматривать гетерогенный реактор с водяным теплоносителем. Для таких реак-